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2015年全国卷高考押题数学(文、理)试题(含答案)

时间:2015-05-15


《当代中学生报》2015 年高考泄露天机 数学
一、选择题 1.(文)已知集合 A ? {?1, 2} , B ? x ? Z 0 ? x ? 2 ,则 A (A) {0} (B) {2} (C) {0,1, 2} (D) ?

?

?

B =(



1, 2?

知 A 1.B 由 B ? x ? Z 0 ? x ? 2 ? B ? ?0,
(理)若集合 A ? {x x ? 0} ,且 A (A) ?1, 2? 1.A 由 A (B) {x x ? 1}

?

?

B ? ?2? .
) (D) R

B ? B ,则集合 B 可能是(
(C) {?1, 0,1}

B ? B 知 B ? A ,故选 A .
z1 z2 等于( i


2.已知复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 (A) 2i 2.B (B) ? 2i

(C) 2 ? i

(D) ?2 ? i

z1 ? z2 (1 ? i)(1 ? i) 1 ? i 2 2 ? ? ? ? ?2i . i i i i


x 3.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R , e ? 1 ,则(

(A)命题 p ? q 是假命题 (C)命题 p ? ? ?q ? 是真命题

(B)命题 p ? q 是真命题 (D)命题 p ? ? ?q ? 是假命题

x 3.D 因为命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? lg x 是真命题,而命题 q : ?x ? R , e ? 1 ,由复合命

题的真值表可知命题 p ? ? ?q ? 是真命题. 4.已知 ?2, a1 , a2 , ?8 成等差数列, ?2, b1 , b2 , b3 , ?8 成等比数列,则

a2 ? a1 等于( b2
(D)



(A)

1 4

(B)

1 2

(C) ?

1 2

1 1 或? 2 2

?8 ? (?2) ? ?2 . 又 ?2, b1, b2 , b3 , ?8 3 成 等 比 数 列 , 所 以 b22 ? ?8 ? (?2) ? 16, b2 ? 4 ( 舍 去 ) , b2 ? ?4 , 所 以 a2 ? a1 ?2 1 ? ? . b2 ?4 2
4.B 因为 ?2, a1 , a2 , ?8 成等差数列,所以 a2 ? a1 ?

5.已知 log 1 a ? log 1 b ,则下列不等式一定成立的是(
2 2



1 1 (A) ( )a ? ( )b 4 3

(B)

1 1 ? a b

(C) ln(a ? b) ? 0

(D) 3a ?b ? 1

1 1 1 5.A 由 log 1 a ? log 1 b 得, a ? b ? 0 ,所以 ( )a ? ( )b ? ( )b . 4 4 3 2 2

6.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的为 ( (A)若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ∥ ? (C)若 m ∥? , n ∥? ,则 m ∥ n (B)若 m ? ? , n ? ? , 则 m ∥ n (D)若 m ∥? , m ∥ ? , 则 ? ∥ ?

)

6.B A 中 ? , ? 可以是任意关系;B 正确;C 中 m, n 平行于同一平面,其位置关系可以为 任意.D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行. 7.(文)“ x ? 0 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的( ) (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7.B ∵ ln(x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ? 0 ,∴“ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的必要不充分条件.

(0, +?) (理)已知 m ? R ,“函数 y ? 2x ? m ? 1 有零点”是“函数 y ? log m x 在 上为减
函数”的( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (A)充分不必要条件 (C)充要条件

x 7.B 函 数 y ? 2 ? m ? 1 有 零 点 时 , m ? 1 ? 0,m ? 1, 不 满 足 0 ? m ? 1 , 所 以 “ 函 数

(0, +?) (0, +?) 上为减函数”不成立;反之,如果“函数 y ? logm x 在 上 y ? log m x在
为减函数”,则有 0 ? m ? 1 , m ? 1 ? 0, 所以,“函数 y ? 2 ? m ? 1 有零点”成立,故选 B.
x

?x ? ? ) (其中 | ? |? 8. 函数 f ( x) ? sin(
象,只需把 y ? f ( x) 的图象上所有点(

?
2

)的图象如图所示,为了得到 y ? sin ? x 的图 )

(A)向左平移

? 个单位长度 6

(B)向右平移

? 个单位长度 12

(C)向右平移

? 个单位长度 6

(D)向左平移

? 个单位长度 12
2 ? 2 ,又 sin(?

8.C 由 图 可 知

| ? |?

?
2

T 7? ? ? ? ?T ?? 4 12 3

则??

2?

?
3

可知 ? ?

?

3

( 2 x? , 即 f ( x) ? s i n

?
3

?

?? ) ? , 0 结合

) , 为 了 得 到 y ? sin 2 x 的 图 象 , 只 需 把

? ? ? ? ? ?? y ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin ?2 ? x ? ?? 的图象上所有点向右平移 个单位长度. 6 3 6 ?? ? ?
9.某工厂对一批新产品的长度(单位: mm )进行检测,如图是检测结果的频率分布直方 图,据此估计这批产品的中位数为( )

(A) 20

(B) 25

(C) 22.5

(D) 22.75

9.C 产品的中位数出现在概率是 0.5 的地方.自左至右各小矩形面积依次为 0.1, 0.2, 0.4, 设 中位数是 x ,则由 0.1 ? 0.2 ? 0.08 ? ( x ? 20) ? 0.5 得, x ? 22.5 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,以坐标原点 O 为 a 2 b2 圆心, O F1 为半径的圆与该双曲线左支交于 A 、 B 两点,若 ?F2 AB 是等边三角形,则双
10. 如图, F 1 、 F2 分别是双曲线 曲线的离心率为 ( )

(A) 3 10.D

(B) 2

(C) 3 ? 1

(D) 3 ? 1

依 题 AF2 ? 3AF 1 ? 1F 2 ? 2 AF 1 , 所 以 2a ? AF2 ? AF 1 , 2c ? F

?

3 ? 1 AF1 ,

?

e?

c ? a

?

2 AF1 3 ? 1 AF1

?

? 3 ?1.

11. 如 图 , 在 6 ? 6 的 方 格 纸 中 , 若 起 点 和 终 点 均 在 格 点 的 向 量 a , b , c 满 足

c ? x a? y, b ( ,x ? y ,则 )R x ? y ? (



(A) 0

(B) 1

(C) 5 5

(D)

13 5
,4) 由 (3,

11.D 设 方 格 边 长 为 单 位 长 1 . 在 直 角 坐 标 系 内 , a ? (1, 2), b ? ( 2, ? 1), c? 得, (3, 4) ? x(1, 2) ? y(2, ?1),(3, 4) ? ( x ? 2 y, 2 x ? y), c ? xa ? yb ,( x , y ? R )

11 ? x? ? ?x ? 2y ? 3 13 ? 5 所以 ? ,解得 ? ,所以, x ? y ? ,选 D . 5 ?2 x ? y ? 4 ?y?2 ? 5 ?
12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( )

(A)

2 2

(B)

5 2

( C)

6 2

(D) 3

12.B 由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,平面 AED ? 平面 BCDE ,四棱锥的 高 为 1 , 四 边 形 B C D是E 边 长 为 1 的 正 方 形 , 则

1 5 1 1 1 2 . S AED ? ?1?1 ? , S ABC ? S ABE ? ?1? 2 ? , S ACD ? ?1? 5 ? 2 2 2 2 2 2

13.(文) 在区间 [? π , π] 内随机取两个数分别记为 a , b ,则使得函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b2 ? ? 2 有零点的概率为( (A) ) (B)

7 8

3 4

(C)

1 2

(D)

1 4

13.B 若使函数有零点,必须 ? ? (2a)2 ? 4(?b2 ? ? 2 ) ? 0 ,即 a 2 ? b 2 ? ? 2 .在坐标轴上将 a , b 的取值范围标出,如图所示当 a , b 满足函数有零点时,坐标位于正方形内圆外的部 分,因此概率为 1 ?

?2 3 ? . 4? 2 4

b 2? 2? -2? -? O -2? ? a

2 (理) ( x ?

1 ? 2)3 展开式中的常数项为( 2 x
(B)-12 (C)-20 (D)20



(A)-8

2 13.C ∵ ( x ?

1 1 1 r 6?r r ? 2)3 ? ( x ? )6 ,∴ Tr ?1 ? C6 x (? ) r ? C6 (?1) r x 6? 2 r , 2 x x x

3 令 6 ? 2r ? 0 ,即 r ? 3 ,∴常数项为 C6 (?1)3 ? ?20 .

14. 若程序框图如图示,则该程序运行后输出 k 的值是(



(A) 5 14.A

(B) 6

(C) 7

(D) 8

k? 1 第一次循环运算: n ? 3 ? 5 ? 16, ;第二次: n ?

16 ? 8, k ? 2 ;第 三次: 2

8 4 2 ? 4, k ? 3 ;第四次: n ? ? 2, k ? 4 ;第五次: n ? ? 1, k ? 5 ,这时符合条件 2 2 2 输出 k ? 5 . n?
15. 已 知 {an } 是 首 项 为 32 的 等 比 数 列 , S n 是 其 前

n 项和,且

S 6 65 ? ,则数列 S 3 64

{| log2 an |} 前 10 项和为(
(A) 58 15.A 根据题意

) (C) 50 (D) 45

(B) 56

1 1 S 6 - S3 1 = = q3 , 所 以 q = , 从 而 有 an = 32 ? n - 1 4 4 S3 64

27 - 2 n , 所 以

log2 an = 7 - 2n , 所 以 有 log2 an = 2n - 7 , 所 以 数 列 的 前 10 项 和 等 于 2(5 +1) 2(1 +13) 5 + 3 +1 +1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 +13 = + = 58 . 2 2
16.若 G 是 ?ABC 的重心, a , b , c 分别是角 A, B, C 的对边,若

aG? ? bG? ?
(A) 90

3 cGC ? 0 ,则角 A ? ( 3
(B) 60

) (C) 45 (D) 30

16.D 由于 G 是 ?ABC 的重心,?GA ? GB ? GC ? 0 ,?GC ? ? GB ? GA ,代入得

?

?

aGA ? bGB ?
?a ? b ? 3 c 3

? ? 3c ? 3c ? 3c a ? GA ? b ? GA ? GB ? 0 ,整理得 ? ? ? ? ? ? ? ? GB ? 0 , 3 3 3 ? ? ? ?

?

?

? 3 ? ? 3 ? c ? ? c2 ? ? c? ? 2 2 2 3 ? 3 ? b ?c ?a 3 ? ? ? ? cos A ? ,因此 A ? 300 . ? 2bc 2 3 2c c 3
17.(文)函数 f ? x ? ?

2

2

sin x 的图象大致为( x2 ? 1



17.A

函数 f ? x ? 定义域为 R ,又

f ??x? ?

sin ? ? x ?

??x?

2

?1

??

sin x ? ? f ? x ? ,? 函数 f ? x ? x2 ? 1

为奇函数.其图像关于原点对称.故排除 C、D,又当 0 ? x ? π 时, sin x ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 可排除 B,故 A 正确. (理)如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下 液体(滴管内液体忽略不计),设输液开始后 x 分钟 , 瓶内液面与进气管的距离为 h 厘 米,已知当 x ? 0 时, h ? 13 .如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完. 则函数 h ? f ( x) 的图 像为( )

17.C 由题意得,每分钟滴下药液的体积为 ?cm
2

3

当 4 ? h ? 13 时, x? ? ? ? 4 ? (13 ? h), 即 h ? 13 ?

x , 此时 0 ? x ? 144 ; 16 x , 此时 144 ? x ? 156 4

当 1 ? h ? 4 时, x? ? ? ? 42 ? 9 ? ? ? 22 ? (4 ? h), 即 h ? 40 ?

所以,函数在 ?0,156? 上单调递减,且 144 ? x ? 156 时,递减的速度变快,所以应选(C) 18 已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C
2

的一个交点,若 PF ? 3QF ,则 QF =( (A)

) (C) 3 (D) 6

5 2

(B)

8 3
2

18.B 如下图所示,抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F ? 2, 0 ? ,准线为 l : x ? ?2 ,准线与 x 轴的交点为 N ? ?2,0? , | FN |? 4

过点 Q 作准线的垂线,垂足为 M ,由抛物线的定义知 | QM |?| QF |

又因为 PF ? 3QF ,所以, | PQ |? 2 | QF |? 2 | QM | 所以,

QM FN

?

PQ

2 8 ? QM ? ? 4 ? PF 3 3
8 3

所以, QF ? QM ?

? x ? y ? 2 2 ? 0, ? ? 19. 已知不等式组 ? x ? 2 2, 表示平面区域 ? , 过区域 ? 中的任意一个点 P , 作圆 ? ? ?y ? 2 2 ) x2 ? y 2 ? 1的两条切线且切点分别为 A, B ,当 ?APB 最大时, PA ? PB 的值为(
(A) 2 19.B (B)

3 2

(C)

5 2

(D) 3

如 图 所 示 , 画 出 平 面 区 域 ? , 当 ?APB 最 大 时 , ?APO 最 大 , 故

AO 1 ? 最大,故 OP 最小即可,其最小值为点 O 到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 OP OP 1 APO ? ? 2 ? A P 60? O 0, 且 的 距 离 d ? 2 , 故 s i?n , 此 时 ?A P B 2 3 ,故 P A ? P ?B 4 1 ? ? 3 PA ? PB ? PA ? PB cos ?APB ? . 2 sin ?APO ?

4 3 2

y

A
–4 –3 –2 –1

P
1 2 3 4

1

O
–1 –2 –3 –4

x

B

20.设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) , ?x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? x ,在 (0,??) 上 f ?( x) ? x ,若 f (4 ? m) ? f (m) ? 8 ? 4m ,则实数 m 的取值范围为( )
2

(A) [?2,2]

(B) [2,??)

(C) [0,??)

(D) (??, ?2] [2, ??)

20.B 设 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 2 x 2
2

因为对任意 x ? R, f ? ?x ? ? f ? x ? ? x 所以, g ? ? x ? ? g ? x ? ? f ? ? x ? ? 所以,函数 g ? x ? ? f ? x ? ?



1 1 2 ? ? x ? ? f ? x ? ? x 2 = f ? ? x ? ? f ? x ? ? x2 ? 0 2 2

1 2 x 为奇函数; 2

又因为,在 (0,??) 上 f ?( x) ? x , 所以,当时 x ? 0 , g? ? x ? ? f ? ? x ? ? x ? 0 即函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 2 x 在 (0,??) 上为减函数, 2
1 2 x 为奇函数且在 R 上存在导数, 2 1 2 x 在 R 上为减函数, 2

因为函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 所以函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

所以, g ? 4 ? m ? ? g ? m ? ? f ? 4 ? m ? ?

1 1 2 ? 4 ? m ? ? f ? m ? ? m2 2 2

? f ? 4 ? m? ? f ? m? ? ?8 ? 4m? ? 0
所以, g ? 4 ? m? ? g ? m? ? 4 ? m ? m ? m ? 2 所以,实数 m 的取值范围为 [2,??) . 二、填空题 21.(文)已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 , 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则 m ? 21. 8 由题意得 6 ? m , m ? 8 . 3 4 . .

(理)已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 , 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们之间的距离是 21. 2

由题意得 6 ? m , m ? 8 ,即 6 x ? 8 y ? 14 ? 0 ? 3x ? 4 y ? 7 ? 0 ,所以它们之间的距离 3 4 | 7 ? ( ?3) | ?2 是 32 ? 42 22. 执行如图所示的程序框图,如果输入 ?2 ,那么输出的结果是 .

开始 输入 x 是

x?0


y?2

log2 x

y ? 3? x ? 1

输出 y 结束

22.10 10.

? ?2 若输入 ?2 ,则 x ? 0 不成立,所以 y ? 3 ? ? ? 1 ? 32 ? 1 ? 10 ,所以输出的值为

23. (文)采用系统抽样方法从 600 人中抽取 50 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 001, 002, , 600,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为 003 ,抽到的 50 人中,编号落入区间 [001,300] 的人做问卷 A ,编号落入区间 [301, 495] 的人做问卷 B ,编号 落入区间 [496,600] 的人做问卷 C ,则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 23.8 由于 .

600 ? 12 ,抽到的号码构成以 3 为首项,以 12 为公差的等差数列,因此得等 50 ,600? 的人做问卷 C 满足 差数列的通项公式为 an ? a1 ? ?n ?1?d ? 12n ? 9 ,落在区间 ?496 1 9 496 ? 12 n ? 9 ? 600 ,得 42 ? n ? 50 ,由于 n 是正整数,因此 43 ? n ? 50 ,人数 12 12
为 8 人. (理)2014 年 11 月,北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议,出席 会议的有 21 个国家和地区的领导人或代表.其间组委会安排这 21 位领导人或代表合影留 念,他们站成两排,前排 11 人,后排 10 人,中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两 国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求, 那么不同的排法共有 种(用排列组合表示).
2 18 23. A2 A18 先安排美俄两国领导人:中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人

站在与中国领导人相邻的两侧,所以美俄两国领导人的安排有 A2 种不同方法;再安排其余
18 2 18 人员,有 A18 种不同方法;所以,共有 A2 A18 种不同方法.

2

24.函数 f ( x ) ? lg( a ?

2 ) 为奇函数,则实数 a ? 1? x

.

24.-1

因为函数 f ( x ) ? lg( a ?

2 ) 为奇函数,所以 f ?? x ? ? ? f ?x ? , 1? x

即 lg(a ?

2 2 2 1 ) ? ? lg(a ? )?a? ? 1? x 1? x 1? x a ? 2 1? x

?a?

2 1? x ? ? 1 ? x 2 ? (a ? 2)2 ? a 2 x 2 ? a ? ?1 1 ? x a(1 ? x) ? 2

25.已知正实数 x, y , z 满足 2 x ? x ?

? ?

? 1 1? 1 ?? 1? ? ? ? yz ,则 ? x ? ?? x ? ? 的最小值为 y z? y ?? z? ?

.

25. 2

由题知 2 x ? x ?

? ?

x x yz 1 1? ? ? ? yz 即 x 2 ? ? ? 于是可将给定代数式 y z 2 y z?

化简得 ? x ?

? ?

1 ?? 1? x x 1 yz 1 yz 1 2 ? 2 ?? x ? ? ? x ? ? ? ? ? ? 2 y ?? z? y z yz 2 yz 2 yz

当且仅当 yz ? 2 时取等号. 26. 如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 M 点测得 A
? 点 的 俯 角 ?NMA ? 30 , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? 已知山高 BC ? 200m ,则山高 MN ? m.

26.300 在 ?ABC 中,

?BAC ? 45?, ?ABC ? 90?, BC ? 200

? AC ?

200 ? 200 2 ,在 ?AMC 中, ?MAC ? 75?, ?MCA ? 60?, sin 45?
AM AC AM 100 2 ? ,即 ? , sin ?ACM sin ?AMC sin 60? sin 45?

??AMC ? 45?, 由正弦定理可得
解得 AM ? 200 3 ,

在 Rt ?AMN 中 MN ? AM ? sin ?MAN ? 200 3 ? sin 60? ? 300(m) . 27.(文)如下图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为 1 ,由下往上的六个点: 1 , 2 ,

3 , 4 , 5 , 6 的横、纵坐标分别对应数列 ?an ? ( n ? ?? )的前12 项,如下表所示:

按如此规律下去,则 a2013 ? a2014 ? a2015 ?



27. 1007

a1 ? 1 , a2 ? 1 , a3 ? ?1 , a4 ? 2 , a5 ? 2 , a6 ? 3 , a7 ? ?2 , ? 2, 3, ? 3,偶 数 项 为 1, 2, 3, , 故 a8 ? 4 , , 这 个 数 列 的 规 律 是 奇 数 项 为 1,? 1, 2, a2 0 1 3? a 2 0 1? 5 0 , a2014 ? 1007 ,故 a2013 ? a2014 ? a2015 ? 1007 .
,第

(理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 .如三角形数 1,3, 6,10,

n(n ? 1) 1 2 1 ? n ? n .记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ( k ? 3 ),以下列出 2 2 2 了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:

n 个三角形数为

三角形数

N ? n,3? ? N ? n,5 ? ?

1 2 1 n ? n 2 2 3 2 1 n ? n 2 2

正方形数

N ? n, 4? ? n2

五边形数

六边形数

N ? n,6? ? 2n2 ? n
.

可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24? ? 7. 1000

N ? n,3? ? 1 ? 2 ? 3 ?

?n?

N ? n, 4? ? 1 ? 3 ? 5 ?
N ? n,5 ? ? 1 ? 4 ? 7 ?

N ? n,6? ? 1 ? 5 ? 9 ?

? ? 2n ?1? ? n2 3 1 ? ? 3n ? 2 ? ? n 2 ? n 2 2 2 ? ? 4n ? 3? ? 2n ? n ,

1 2 1 n ? n, 2 2


从中不难发现其中的规律: N ? n, k ? 就是表示以 1 为首相, ? k ? 2? 为公差的等差数列前 n 项的和, 即有 N ? n, k ? ? 1 ? ? ?1 ? ? k ? 2 ? ? ??? ?1 ? 2 ? ? k ? 2 ? ? ??

?? ?1 ? ? n ? 1? ? ? k ? 2 ? ? ?

n ?1 ? 1 ? ? n ? 1? ? ? k ? 2 ?? ?, ? ? 2

所以 N ?10, 24 ? ?

10 ? ?1 ? 1 ? ?10 ? 1? ? ? 24 ? 2 ?? ? 2

? 1000 .

28.已知矩形 ABCD 的周长为 18 ,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体 积最大时,它的外接球的表面积为 .

28. 13?

设正六棱柱的的底面边长为 x ,高为 y ,则 6 x ? y ? 9 ,所以 0 ? x ?

3 ,正六 2

3 2 3 3 x y? (9 x 2 ? 6 x3 ) , V '( x) ? 27 3( x ? x2 ) , 令 4 2 3 2 得1? x ? , V ' (x ? ) 2 7 x ? 3 2 ( x ?,解得 ) 0 ? x ? 1 ,令 V '( x ) ? 27 3( x? x ) ? 0 2 3 即函数 V ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1, ) 是减函数,所以 V ( x) 在 x ? 1 时取得最大值,此 2 时 y ? 3 .易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点,如图所示,外接球的半
棱 柱 的 体 积 V ( x) ? 6 ? 径为 OE ?

y 13 x 2 ? ( )2 ? , 所以外接球的表面积为 S ? 4? R2 ? 13? . 2 2

x2 y 2 5 ?1 29. 我们把离心率 e ? 的双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 称为黄金双曲线.如图是 a b 2 2 2 x y 2 2 双曲线 2 ? 2 ? 1 a ? 0, b ? 0, c ? a ? b 的图象,给出以下几个说法: a b

?

?

2 y2 ? 1是黄金双曲线; ①双曲线 x ? 5 ?1
2
2 ②若 b ? ac ,则该双曲线是黄金双曲线;

③ 若 F1 , F2 为 左 右 焦 点 , A1 , A2 为 左 右 顶 点 , B1 ( 0 , b ) , B2 ( 0 , ﹣ b ) 且

?F1B1 A2 ? 900 ,则该双曲线是黄金双曲线;
④若 MN 经过右焦点 F2 且 MN ? F1F2 , ?MON ? 90 ,则该双曲线是黄金双曲线.
0

其中正确命题的序号为 _________ .

29. ① ② ③ ④ 对 于 ① , a 2 ? 1, b 2 ?
2 2

5 ?1 5 ?3 , 则 c2 ? a 2 ? b2 ? , 2 2

c2 5 ? 3 ? 5 ?1? ? , ? e ? 5 ? 1 , 所 以双 曲 线是 黄 金双 曲 线 ;对 于 ②, e ? 2 ? ?? ? ? a 2 2 ? 2 ?
b 2 ? c 2 ? a 2 ? ac ,整理得 e 2 ? e ? 1 ? 0
解 得
2

e?
2

F1B1 ? c ? b2 , B1 A2 ? b2 ? a2 , F1 A2 ? ?a ? c?
2 2

1? 5 2

, 所 以 双 曲 线 是 黄 金 双 曲 线 ; 对 于 ③
2















1? 5 所以双曲线是黄金双曲 2 c2 y2 b2 ? ? 1 y ? ? ? ? F c , 0 线;对于④由于 2 ,把 x ? c 代入双曲线方程得 2 ,解得 , a b2 a b2 b2 2 NF2 ? ,由对称关系知 ?ONF2 为等腰直角三角形,? c ? ,即 b ? ac ,由①可知 a a 1? 5 所以双曲线是黄金双曲线. e? 2
2 c2 ? b2 ? b2 ? a2 ? ?a ? c? ,整理得 b 2 ? ac 由②可知 e ?

30. 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 D , 如 果 存 在 非 零 常 数 T , 对 于 任 意 x ? D , 都 有 f ( x ? T) ? T ? f ( x), 则 称 函 数 y ? f ( x) 是 “ 似 周 期 函 数 ” , 非 零 常 数 T 为 函 数 y ? f ( x) 的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题: ①如果“似周期函数” y ? f ( x ) 的“似周期”为-1,那么它是周期为 2 的周期函数; ②函数 f ( x) ? x 是“似周期函数”; ③函数 f ( x) ? 2 是“似周期函数”;
-x

④如果函数 f ( x) ? cos ? x 是“似周期函数”,那么“ ? ? k? , k ? Z ”. 其中是真命题的序号是 30.①③④ ① 如 果 “ 似 周 期 函 数 ” y ? f ( x ) 的 “ 似 周 期 ” 为 -1 , 则 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 则 f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,所以它是周期为 2 的周期函数; .(写出所有 满足条件的命题序号) ..

②假设函数 f ( x) ? x 是“似周期函数”,则存在非零常数 T ,使 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 对于

x ? R 恒成立,即

x ? T ? Tx ,即 (T ? 1) x ? T ? 0 恒成立,则 T ? 1 且 T ? 0 ,显然不成立;
③设 2
? ( x ?T )

? T ? 2 ? x ,即 2 ?T ? T , 易知存在非零常数 T ,使 2 ?T ? T 成立,所以函数

f ( x ) ? 2- x 是“似周期函数”;


f( x ?) ?c o是 xs“ 似 周 期 函 数 ” , 则 , 由 诱 导 公 式 , 得 , 当 T ?1 时 , c ? o (x s ?T) ? c o ?x ? s ?T () ?Tc ? ox s ? ? 2k? , k ? Z ,当 k ? ?1 时, ? ? (2k ? 1)? , k ? Z ,所以“ ? ? k? , k ? Z ”;
如 果 函 数

故选①③④. 三、解答题 31.设函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 3 , x ? R .

π 3

(Ⅰ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)已知函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 1 有交点,求相邻两个交点间的最短距离. 解析:(Ⅰ)解:因为 f ( x) ? 4cos x( sin x ?

π 2

1 2

3 cos x) ? 3 2

? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2x ? 3 cos2x
= 2sin(2 x ? ) ,

π 3

因为 0≤x≤

π , 2 π 2π ≤ , 3 3

所以 ? ≤2 x ?

π 3

所以 ?

3 π ≤sin(2 x ? )≤1 , 2 3

即 ? 3≤f ( x)≤2 , 其中当 x ?

5π 时, f ( x ) 取到最大值 2;当 x ? 0 时, f ( x ) 取到最小值 ? 3 , 12

所以函数 f ( x ) 的值域为 [? 3, 2] .

(Ⅱ)依题意,得 2 sin(2 x ?

π π 1 ) ? 1, sin(2 x ? ) ? , 3 3 2

所以 2 x ?

π π π 5π ? ? 2kπ 或 2 x ? ? ? 2kπ , 3 6 3 6

所以 x ?

π 7π ? kπ 或 x ? ? kπ (k ? Z) , 4 12 π . 3

所以函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 1 的两个相邻交点间的最短距离为

32. (文)某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加 工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件 平均数都为 10 .



组 乙 组 8 7 0 n 9 m 2 0 1 0 1 2

(1)分别求出 m , n 的值;
2 2 (2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差 s甲 和 s乙 ,并由此分析

两组技工的加工水平;

[来源:gkstk.Com]

(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检 测,若两人加工的合格零件个数之和大于 17 ,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量 合格”的概率.
2 2 2 (注:方差 s = [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ?

1 n

? ( xn ? x) 2] ,其中 x 为数据 x1 , x2 ,

, xn 的平

均数). 解 析 : ( 1 ) 根 据 题 意 可 得 : x甲 ?

1 (7 ? 8 ? 10 ? 12 ? 10 ? m) ? 10 , ∴ m ? 3 , 5

1 x乙 ? (9 ? n ? 10 ? 11 ? 12) ? 10 ,∴ n ? 8 ; 5
(2)根据题意可得:

1 2 s甲 ? [(7 ? 10)2 ? (8 ? 10) 2 ? (10 ? 10) 2 ? (12 ? 10) 2 ? (13 ? 10) 2 ] ? 5.2 , 5 1 2 s乙 ? [(8 ? 10)2 ? (9 ? 10)2 ? (10 ? 10)2 ? (11 ? 10)2 ? (12 ? 10)2 ] ? 2 , 5
∵ x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 ,∴甲乙两组的整体水平相当,乙组更稳定一些; (3)质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检 测,设两人加工的合格零件数分别为 ( a, b) ,则所有的 ( a, b) 有 (7,8) , (7,9) , (7,10) ,
2 2

(7,11) , (7,12) , (8,8) , (8,9) , (8,10) , (8,11) , (8,12) , (10,8) , (10,9) , (10,10) , (10,11) , (10,12) , (12,8) , (12,9) , (12,10) , (12,11) , (12,12) , (13, 8) , (13,9) , (13,10) , (13,11) , (13,12) ,共计 25 个,而 a ? b ? 17 的基本事件有 (7,8) , (7,9) , (7,10) , (8,8) , (8,9) , 共 计 5 个 基 本 事 件 , 故 满 足 a ? b ? 17 的 基 本 事 件 共 有 25 ? 5 ? 20 ,即该车间“质量合格”的基本事件有 20 个,故该车间“质量合格”的概率 20 4 ? . 为 25 5
(理)在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生的 6 次培训成绩(百分制)制 成如图所示的茎叶图:

(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择 1 人参加该知识竞赛,你会选哪位?请运用统计学的知识 说明理由; (Ⅱ)若从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个,记选到的分数超过 87 分的个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 解析:(Ⅰ)学生甲的平均成绩 x甲 ? 学生乙的平均成绩 x乙 ?

68 ? 76 ? 79 ? 86 ? 88 ? 95 ? 82 , 6

71 ? 75 ? 82 ? 84 ? 86 ? 94 ? 82 , 6

1 又 s2甲 ? [(68 ? 82)2 ? (76 ? 82)2 ? (79 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (88 ? 82)2 ? (95 ? 82)2 ] ? 77 , 6

1 167 , s2乙 ? [(71 ? 82)2 ? (75 ? 82)2 ? (82 ? 82)2 ? (84 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (94 ? 82)2 ] ? 6 3
则 x甲 ? x乙 , s 2甲 ? s 2乙 , 说明甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,则乙发挥更稳定,故应选择学生乙参加知识 竞赛. (Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,则
P(? ? 0) ?
2 1 1 2 C4 C4 C2 8 C2 2 1 ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? , , , 2 2 2 C6 5 C6 15 C6 15

? 的分布列为 ?
P 0
2 5

1
8 15

2
1 15

2 8 1 2 所以数学期望 E(? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 5 15 15 3
33.( 文 ) 如 图 , 已 知 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 的 侧 棱 与 底 面 垂 直 , 且 ?ACB ? 90 ,

?BAC ? 30 , BC ? 1 , AA1 ? 6 ,点 P 、 M 、 N 分别为 BC1 、 CC1 、 AB1 的中点.
(1)求证: PN // 平面 ABC ; (2)求证: A1M ? 面 AB1C1 ;

(1)证明:连接 CB1 ,

P 是 BC1 的中点 ,?CB1 过点 P ,

N 为 AB1 的中点,? PN //AC ,


AC ? 面 ABC , PN ? 面 ABC ,? PN // 平面 ABC ;

( 2 ) 证 明 : 连 结 AC1 , 连 接 AC1 , 在 直 角 ?ABC 中 ,

BC ? 1 , ?BAC ? 30 ,

? AC ? AC 1 1 ? 3,

CC1 A1C1 ? ? 2 ,? Rt ?AC 1 1M ~ Rt ?C1CA , A1C1 MC1

??AMC1 ? ?CAC1 ,??AC1C ? ?CAC1 ? ?AC1C ? ?A1MC1 ? 90 ,
即 AC1 ? A 1M ,

B1C1 ? C1 A1 , CC1 ? B1C1 ,且 C1 A1 CC1 ? C1 , ? B1C1 ? 平面 AAC 1 1C ,? B 1C1 ? A 1M ,又 AC1
B1C1 ? C1 ,故 A1M ? 平面 AB1C1 ;

( 理 ) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形, ?BCD ? 120 , AB ? PC ? 2 ,

AP ? BP ? 2 .
P

A D

B

C

(Ⅰ)求证: AB ? PC ; (Ⅱ)求二面角 B ? PC ? D 的余弦值. 解析:(Ⅰ)证明:取 AB 的中点 O ,连接 PO, CO,AC . ∵ AP ? BP ,∴ PO ? AB 又四边形 ABCD 是菱形,且 ?BCD ? 120? , ∴ V ACB 是等边三角形,∴ CO ? AB 又 CO I PO ? O ,∴ AB ? 平面 PCO , 又 PC ? 平面PCO ,∴ AB ? PC

(Ⅱ)由 AB ? PC ? 2 , AP ? BP ? 2 ,易求得 PO ? 1 , OC? 3 ,
2 2 2 ∴ OP ? OC ? PC , OP ? OC

以 O 为 坐 标 原 点 , 以 OC , OB , OP 分 别 为 O ? xyz ,

x 轴, y 轴, z 轴建立空间直坐标系

则 B(0,1, 0) , C( 3,0,0) , P(0, 0,1) , D( 3, ?2,0) , ∴ BC ? ( 3, ?1,0) , PC ? ( 3,0, ?1) , DC ? (0, 2,0)

设平面 DCP 的一个法向量为 n1 ? (1, y, z) ,则 n1 ? PC , n1 ? DC , ∴?

? ?n1 ? PC ? 3 ? z ? 0 ? ?n1 ? DC ? 2 y ? 0

,∴ z ? 3 , y ? 0 ,∴ n1 ? (1,0, 3)

设平面 BCP 的一个法向量为 n2 ? (1, b, c) ,则 n2 ? PC , n2 ? BC , ∴?

? ?n2 ? PC ? 3 ? c ? 0 ? ?n2 ? BC ? 3 ? b ? 0

,∴ c ? 3 , b ? 3 ,∴ n2 ? (1, 3, 3)

∴ cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 4 2 7 , ? ? 7 | n1 | ? | n2 | 2 ? 7
2 7 . 7

∵二面角 B ? PC ? D 为钝角,∴二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ?

34.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 c ? 1 , 且 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 . (1)求角 C 的大小; (2)求 a 2 ? b 2 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的值. 解析:(1)由 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 , 可得 cos B sin C ? ?a ? sin B?cosC ? 0 , 即 sin A ? a cos C ,又 c ? 1 ,所以 c sin A ? a cos C , 由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C , 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0,从而 sin C ? cos C ,即 C ?
2 2
[来源:学优高考网 gkstk]

?
4

.

2 2 2 (2)由余弦定理 a ? b ? 2ab cosC ? c ,得 a ? b ? 2ab ? 1 ,

又 ab ?

? a2 ? b2 2? 2 ??a ? b 2 ? ? 1,于是 a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 , ,所以 ?1 ? ? 2 ? 2 ? ?
3 ? 时, a 2 ? b 2 取到最大值 2 ? 2 . 8

当A? B?

x2 y 2 35.如图, F1 、 F2 为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点, D 、 E 是椭圆的两个顶点,椭 a b x y 3 3 圆的离心率 e ? , S?DEF2 ? 1 ? .若 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,则点 N ( 0 , 0 ) 称为 a b 2 2

点 M 的一个“好点”.直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点, A 、 B 两点的“好点”分别为 P 、 Q ,已知以 PQ 为直径的圆经过坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) ?AOB 的面积是否为定值?若为定值,试求出该定值;若不为定值,请说明理由. 解析:(Ⅰ)由题意得 e ?

1 c 3 3 ,故 c ? ? a ,b ? a . 2 a 2 2

1 1 3 a 1 3 2 3 , S?DEF2 ? (a ? c) ? b ? (a ? a) ? ? (1 ? )a ? 1 ? 2 2 2 2 4 2 2
故 a ? 4 ,即 a ? 2 ,所以 b ?
2

1 a ? 1, c ? 3 2

x2 ? y 2 ? 1. 故椭圆的标准方程为: 4
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 P(

x1 x , y1 ) 、 Q( 2 , y1 ) . 2 2

①当直线 AB 的斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点可得 OP ? OQ , 即

x1 x2 x2 ? ? y1 y2 ? 1 ? y12 ? 0 ,解得 x12 ? 4 y12 , 2 2 4 4 y12 2 ? y12 ? 1 ,解得 | y1 |? ,| x1 |? 2 , 4 2

又点 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 所以 S ?AOB ?

1 | x1 | ? | y1 ? y2 |? 1 . 2

②当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 ,消 y 得, (4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

由根与系数的关系可得 x1 ? x2 ?

4m 2 ? 4 ?8km x x ? , 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
x1 x2 ? ? y1 ? y2 ? 0 , 2 2

由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点可得 OP ? OQ ,即



x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 4



x1 x2 1 ? 4k 2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 4 4

1 ? 4k 2 4m 2 ? 4 ?8km ? ? 2 ? mk ? 2 ? m2 4 4k ? 1 4k ? 1 ? 2m 2 ? 1 ? 8k 2 m2 ?0 4k 2 ? 1

2 2 整理得 (2m2 ?1)(4k 2 ? 1) ? 8k 2 m2 ? 0 ,即 2m ? 4k ? 1 ? 0 .

2 2 所以 4k ? 1 ? 2m .

?8km 2 4m 2 ? 4 ) ? 4? 2 而 | x1 ? x2 | ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ( 2 4k ? 1 4k ? 1
2 2

?

16 (4k 2 ? 1 ? m2 ) 2 2 (4k ? 1)
2

4 1? k 2 故 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 4k 2 ? 1
而点 O 到直线 AB 的距离 d ?

4k 2 ? 1 ? m2


|m| 1? k 2

所以 S?AOB ?

1 1 4 1? k 2 | AB | ?d ? ? 2 2 4k 2 ? 1

4k 2 ? 1 ? m2 ?

| m| 1? k 2

?

2|m| 2|m| 4k 2 ? 1 ? m 2 ? 2m 2 ? m 2 ? 1 . 2 2 4k ? 1 2m

综合①②可知 ?AOB 的面积为定值 1. 36.(文)在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点 O, EC ? 底 面 ABCD , F 为 BE 的中点.

(1)求证: DE / / 平面 ACF ; (2)若 AB ? 2CE ,在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ? 平面 BDE ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. 解析:(1)证明:连接 OF 由四边形 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 的中点 又 F 为 BE 的中点,所以 OF / / DE 又 OF ? 平面 ACF , DE ? 平面 ACF 所以 DE / / 平面 ACF (2)解法一:若 CG ? 平面 BDE ,则必有 CG ? OE 于是作 CG ? OE 于点 G 由 EC ? 底面 ABCD ,所以 BD ? EC ,又底面 ABCD 是正方形 所以 BD ? AC ,又 EC ? AC ? C ,所以 BD ? 平面 ACE 而 CG ? 平面 ACE ,所以 CG ? BD 又 OE ? BD ? O ,所以 CG ? 平面 BDE 又 AB ? 2CE ,所以 CO ? 所以 G 为 EO 的中点,所以
2 AB ? CE 2

EG EO

EG 1 ? EO 2

解法二:取 EO 的中点 G ,连接 CG ,在四棱锥 E ? ABCD 中
AB ? 2CE , CO ?
2 AB ? CE ,所以 CG ? EO 2

又由 EC ? 底面 ABCD , BD ? 底面 ABCD ,所以 EC ? BD 由四边形 ABCD 是正方形可知, AC ? BD 又 AC ? EC ? C 所以 BD ? 平面 ACE

而 BD ? 平面 BDE 所以,平面 ACE ? 平面 BDE ,且平面 ACE ? 平面 BDE ? EO 因为 CG ? EO , CG ? 平面 ACE ,所以 CG ? 平面 BDE 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ? 平面 BDE 由 G 为 EO 的中点,得

EG 1 ? EO 2

(理) 已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 2, AA 1 ? 4. (1)求证: BD ? AC 1 ; (2)求二面角 A ? AC 1 ?D 1 的余弦值;

? 平面 PBD ,若存在,求出 (3)在线段 CC1 上是否存在点 P ,使得平面 ACD 1 1
值;若不存在,请说明理由.

CP 的 PC1

证明:(1)因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正四棱柱, 所以 AA1 ? 平面 ABCD ,且 ABCD 为正方形. 因为 BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? AA 1 , BD ? AC . 因为 AA1

AC ? A ,

所以 BD ? 平面 A 1 AC . 因为 AC ? 平面 A1 AC , 1 所以 BD ? AC 1 .

(2)如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .则

D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), A1(2,0,4), B1 (2,2,4), C1 (0, 2, 4), D1 (0,0, 4)
所以 D1 A1 ? (2,0,0), D1C ? (0, 2, ?4) . 设平面 A1D1C 的法向量 n ? ( x1 , y1 , z1 ) .

uuuu r

uuur

uuuu r ? ? x1 ? 0, ?n ? D1 A1 ? 0, 所以 ? uuur .即 ? ? 2 y1 ? 4 z1 ? 0 ? ?n ? D1C ? 0
令 z1 ? 1,则 y1 ? 2 . 所以 n ? (0, 2,1) . 由(1)可知平面 AA1C 的法向量为 DB ? (2,2,0) . 所以 cos ? DB, n ??

uuu r

uuu r

4 10 . ? 5 5 ?2 2

因为二面角 A ? AC 1 ?D 1 为钝二面角,

10 . 5 uur uuu r (3)设 P( x2 , y2 , z2 ) 为线段 CC1 上一点,且 CP ? ? PC1 (0 ? ? ? 1) .
所以二面角 A ? AC 1 ?D 1 的余弦值为 ? 因为 CP ? ( x2 , y2 ? 2, z2 ), PC1 ? (? x2 , 2 ? y2 , 4 ? z2 ) . 所以 ( x2 , y2 ? 2, z2 ) ? ? (? x2 , 2 ? y2 , 4 ? z2 ) .

uur

uuu r

即 x2 ? 0, y2 ? 2, z2 ? 所以 P(0, 2,

4? . 1? ?

4? ). 1? ?

设平面 PBD 的法向量 m ? ( x3 , y3 , z3 ) . 因为 DP ? (0, 2,

uuu r

r 4? uuu ), DB ? (2, 2, 0) , 1? ?

uuu r 4? ? ? z3 ? 0, ?m ? DP ? 0, ?2 y3 ? 所以 ? .即 ? . 1? ? uuu r m ? DB ? 0 ? ? ? ?2 x3 ? 2 y3 ? 0
令 y3 ? 1 ,则 x3 ? ?1, z3 ? ? 所以 m ? (?1,1, ?

1? ? . 2?

1? ? ). 2?

? 平面 PBD ,则 m ? n ? 0 . 若平面 ACD 1 1
即2?

1? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? . 2? 3

所以当

CP 1 ? 平面 PBD . ? 时,平面 ACD 1 1 PC1 3
*

37. 设 n ? N ,函数 f ( x) ?

ln x ex ,函数 , x ? (0, ??) . g ( x ) ? xn xn

(Ⅰ)当 n ? 1 时,写出函数 y ? f ( x) ? 1 零点个数,并说明理由; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分别位于直线 l: y ? 1 的两侧,求 n 的所有可能取 值. 解析:(Ⅰ)证明:结论:函数 y ? f ( x) ? 1 不存在零点. 当 n ? 1 时, f ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,求导得 f ?( x) ? , x x2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

x
f ?( x )

(0, e)

e
0

(e, ??)

?

?

f ( x)





所以函数 f ( x ) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减, 则当 x ? e 时,函数 f ( x ) 有最大值 f (e) ?

1 . e 1 ?1 ? 0 , e

所以函数 y ? f ( x) ? 1 的最大值为 f (e) ? 1 ? 所以函数 y ? f ( x) ? 1 不存在零点. (Ⅱ)解:由函数 f ( x) ?
1

ln x 1 ? n ln x 求导,得 f ?( x) ? , n x x n ?1

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e n . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

x
f ?( x ) f ( x)

1

1

(0, e n )

en
0

(e n , ??)

1

?


?


所以函数 f ( x ) 在 (0, e ) 上单调递增,在 (e , ??) 上单调递减, 则当 x ? e 时,函数 f ( x ) 有最大值 f (e ) ?
1 n

1 n

1 n

1 n

1 ; ne

ex e x ( x ? n) ? 由函数 g ( x) ? n , x ? (0, ??) 求导,得 g ( x) ? , x x n ?1
令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? n . 当 x 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化如下表所示:

x
g ?( x) g ( x)

(0, n)

n
0

(n, ??)

?


?


所以函数 g ( x) 在 (0, n) 上单调递减,在 (n, ??) 上单调递增, 则当 x ? n 时,函数 g ( x) 有最小值 g ( n) ? ( ) .
n

e n

因为 ?n ? N ,函数 f ( x ) 有最大值 f (e n ) ?
*

1

1 ?1, ne

所以曲线 y ?

ln x ex y ? 在直线 的下方,而曲线 在直线 l: l : y ? 1 y ? 1的上方, xn xn

所以 ( ) ? 1 ,解得 n ? e .
n

e n

所以 n 的取值集合为 {1, 2} . 38.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 0 , a1 ? a2 ? a3 ? (Ⅰ) 求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; (Ⅱ) 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , b1 ? 1 ,点 (Tn?1 ,Tn ) 在直线

? an ? n ? an?1 , n ? N* .

x y 1 ? ? 上,若不等式 n ?1 n 2

b1 b ? 2 ? a1 ? 1 a2 ? 1

?

bn 9 ?m? 对于 n ? N* 恒成立,求实数 m 的最大值. an ? 1 2 ? 2an
? an ? n ? an?1 ,

解析:(Ⅰ)由 a1 ? a2 ? a3 ? 得 a1 ? a2 ? a3 ?

? an?1 ? n ? 1 ? an (n ? 2) ,

两式相减得 an?1 ? 2an ? 1 , 所以 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? 2 ), 因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 1 ? 1, a2 ? a1 ? 1 ? 1 , a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1) 所以 {an ? 1} 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 得 an ? 2n?1 ?1 , 因 为 点 (Tn?1 ,Tn )在 直 线

x y 1 ? ? 上,所以 n ?1 n 2

Tn ?1 Tn 1 ? ? , n ?1 n 2
故{

Tn T 1 } 是以 1 ? 1 为首项, 为公差的等差数列, n 1 2



Tn 1 n( n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ,所以 Tn ? , n 2 2

当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? n, 2 2

因为 b1 ? 1 满足该式,所以 bn ? n 所以不等式

b1 b ? 2 ? a1 ? 1 a2 ? 1
?

?

bn 9 , ? m? an ? 1 2 ? 2an

即为 1 ?

2 3 ? 2 22 2 3 ? 2 22

n 9 ? m? n , n ?1 2 2 ? n 1 1 2 3 ,则 Rn ? ? 2 ? 3 n ?1 2 2 2 2 2 ? n , 2n

令 Rn ? 1 ?

两式相减得

1 1 1 1 (1 ? ) Rn ? 1 ? ? 2 ? 3 2 2 2 2
所以 Rn ? 4 ? 由 Rn ? m ? 又 (4 ?

?

1 n n?2 ? n ? 2? n , n ?1 2 2 2

n?2 2n ?1

9 2n ? 5 ? m 恒成立, 恒成立,即 4 ? n 2 2n

2n ? 3 2n ? 5 2n ? 7 ) ? (4 ? ) ? n ?1 , n ?1 n 2 2 2
2n ? 5 2 ? 3 ? 5 31 } 单调递减;当 n ? 3 时, 4 ? ? ; n 2 23 8

故当 n ? 3 时, {4 ? 当 n ? 4 时, {4 ? 则4?

2n ? 5 2 ? 4 ? 5 61 } 单调递增;当 n ? 4 时, 4 ? ? ; n 2 24 16

2n ? 5 61 61 的最小值为 ,所以实数 m 的最大值是 n 2 16 16

39. 已 知 抛 物 线 C1 : y 2 ? 2 px 上 一 点 M ? 3,y0 ? 到 其 焦 点 F 的 距 离 为 4 ; 椭 圆

y 2 x2 2 C2: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,且过抛物线的焦点 F . a b 2
(I)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; ( II ) 过 点 F 的 直 线 l1 交 抛 物 线 C1 于 A 、 B 两 不 同 点 , 交 y 轴 于 点 N , 已 知

NA ? ? AF, NB ? ? BF ,求证: ? ? ? 为定值.
( III )直线 l2 交椭圆 C2 于 P , Q 两不同点, P , Q 在 x 轴的射影分别为 P? , Q? ,

OP ? OQ ? OP? ? OQ? ? 1 ? 0 ,若点 S 满足: OS ? OP ?OQ ,证明:点 S 在椭圆 C2 上.
解析:(Ⅰ)抛物线 C1 : y 2 ? 2 px 上一点 M (3, y0 ) 到其焦点 F 的距离为 4 ;

抛物线的准线为 x ? ?

p 2

抛物线上点 M (3, y0 ) 到其焦点 F 的距离 | MF | 等于到准线的距离 d 所以 d ? 3 ?

p ? 4 ,所以 p ? 2 2

抛物线 C1 的方程为 y 2 ? 4 x

y 2 x2 2 椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且过抛物线的焦点 F (1,0) a b 2
所以 b ? 1 , e ?
2

1 c2 a2 ? 1 ? 2 ? 2 ,解得 a 2 ? 2 2 a a y 2 x2 ? ?1 2 1

所以椭圆的标准方程为

(Ⅱ)直线 l1 的斜率必存在,设为 k ,设直线 l 与椭圆 C2 交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , N (0, ?k )

? y2 ? 4x 联立方程组: ? ? y ? k ( x ? 1)
所以 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0
2 2 2 2

? 2k 2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? ? 16k ? 16 ? 0 ,所以 ? k2 ?x x ? 1 ? 1 2
2

(*)

由 NA ? ? AF , NB ? ? BF 得:

? (1 ? x1 ) ? x1, ?(1 ? x2 ) ? x2
得: ? ?

x1 x ,? ? 2 1 ? x1 1 ? x2 x1 x x (1 ? x2 ) ? x2 (1 ? x1 ) x ? x ? 2 x1 x2 ? 2 ? 1 ? 1 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1x2

所以 ? ? ? ?

将(*)代入上式,得 ? ? ? ?

x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? ?1 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2

(Ⅲ)设 P( xp , y p ), Q( xQ , yQ )

所以 S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) ,则 P ( xP ,0), Q ( xQ ,0)
' '

由 OP ? OQ ? OP' ? OQ' ? 1 ? 0 得 2xP xQ ? yP yQ ? ?1(1)

yP 2 ? xP 2 ? 1 ,(2) 2
(1)+(2)+(3)得:

yQ 2 2

? xQ 2 ? 1 (3)

( yP ? yQ )2 2

? ( xP ? xQ ) 2 ? 1

即 S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) 满足椭圆 C2 : 命题得证 40.(文)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;

y 2 x2 ? ? 1 的方程 2 1

1 2 x ? (1 ? a) x( x ? 0) ,其中 a 为实数. 2

(2)若函数 f ( x) ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. (3)证明,对于任意的正整数 m, n ,不等式

1 1 ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2)
解:(1) f ?( x) ?

1 n ? 恒成立. ln(m ? n) m(m ? n)

( x ? a)( x ? 1) ( x ? 0) x

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0 , 1) 上递减,在 (1, ? ?) 上递增 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (0 , a) , (1, ? ?) 上递增,在 (a ,1) 上递减 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上递增 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0 , 1) , (a , ? ?) 上递增, (1, a) 上递减 (2)由(1)知当 a ? 0 时 f ( x) ? f (1) ? ? 当 a ? 0 时, f (1) ? ? 综上: a ? ?

1 1 ? a ? 0 , ?a ? ? 2 2

1 ? a ? 0 , ? f ( x) ? 0 不恒成立 2

1 2

(3)由(2)知 a ? ?

1 时, f ( x) ? 0 恒成立 2

1 1 1 ? ln x ? x 2 ? x ? 0 2 2 2
? ln x ? x ( x ? 1) 当且仅当 x ? 1 时以“=”
? x ? 1 时, ln x ? x( x ? 1) ,

1 1 ? ln x x( x ? 1)

?

1 1 1 1 ? ? ? ln(m ? 1) m(m ? 1) m m ? 1

1 1 1 1 ? ? ? ln(m ? 2) (m ? 1)(m ? 2) m ? 1 m ? 2
??

1 1 1 1 ? ? ? ln(m ? n) (m ? n)(m ? n ? 1) m ? n ? 1 m ? n ? 1 1 ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2)
2

?

1 1 1 n ? ? ? ln(m ? 1) m m ? n m(m ? n)

(理) 设函数 f ( x) ? x ? m ln( x ? 1) . (1)若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围;
3 (2)若 m ? ?1 ,试比较当 x ? (0, ??) 时, f ( x) 与 x 的大小;

0 ?1?4 ? e ?2?9 ? (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 e ? e

? e(1?n ) n ?

2

n(n ? 3) 成立. 2

解析:(1)∵ f ?( x ) ? 2 x ? ∴

m 2 x2 ? 2x ? m ? 又函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数. x ?1 x ?1

f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立

若 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上 恒 成 立 , 即 函 数 f ( x ) 是 定 义 域 上 的 单 调 地 增 函 数 , 则

1 1 1 m ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? 在 ( ?1, ??) 上恒成立,由此可得 m ? ; 2 2 2
若 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上 恒成 立, 则 f ?( x ) ? 2 x ?

m ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒 成立 . 即 x ?1

1 1 m ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? 在 ( ?1, ??) 上恒成立. 2 2
2 ∵ ?2( x ? ) ?

1 2

1 在 ( ?1, ??) 上没有最小值 2

∴不存在实数 m 使 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立. 综上所述,实数 m 的取值范围是 [ , ??) . (2)当 m ? ?1 时,函数 f ( x) ? x 2 ? ln( x ? 1) . 令 g ( x) ? f ( x) ? x3 ? ? x3 ? x 2 ? ln( x ? 1) 则 g ?( x ) ? ?3x ? 2 x ?
2

1 2

[来源:学优高考网 gkstk]

1 3x 3 ? ( x ? 1)2 ?? x ?1 x ?1

显然,当 x ? (0, ??) 时, g ?( x ) ? 0 , 所以函数 g ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减 又 g (0) ? 0 ,所以,当 x ? (0, ??) 时,恒有 g ( x ) ? g (0) ? 0 , 即 f ( x) ? x ? 0 恒成立.
3

故当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? x (3)数学归纳法

3

0 证明:1、当 n ? 1 时,左边= e ? 1 ,右边=

1? 4 ? 2 ,原不等式成立. 2

[来源:gkstk.Com]

2、设当 n ? k 时,原不等式成立,
0 ?1?4 ? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ? 即e ? e
2

k (k ? 3) 2

则当 n ? k ? 1 时,
0 ?1?4 ? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ? e (1? k ?1)?( k ?1) ? 左边= e ? e
2 2 2 k (k ? 3) ? e ? k ?( k ?1) 2

只需证明

2 k (k ? 3) (k ? 1) ? (k ? 4) ? e ? k ?( k ?1) ? 2 2

即证 e ? k?( k ?1) ? k ? 2 即证 ? k ? (k ? 1) ? ln(k ? 2)
2

2

由(2)知 x ? x ? ln(x ? 1), x ? (0,??)
2 3

即 x (1 ? x) ? ln(x ? 1),
2

2 令 x ? k ? 1 ,即有 ? k ? (k ? 1) ? ln(k ? 2)

所以当 n ? k ? 1 时成立

由 1、2 知,原不等式成立

补充试题 1. 平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD⊥CD ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A? ? BCD ,使平面 A?BD ? 平面 BCD ,若四面体 A? ? BCD 的顶点在同一个 球面上,则该球的体积为 ( ) (A) 1.A

3 ? 2

(B) 3?

(C)

2 ? 3

(D) 2?

根据题意,如图,可知 Rt ?A?BD 中, AB ? AD ? 1, BD ? 2 ,在 Rt? BCD 中,

BD ? 2, CD ? 1, BC ? 3, 又因为平面 A?BD ? 平面 BCD ,所以球心就是 BC 的中
点,半径为 r ?

4? 3 3 3 ,所以球的体积为: V ? r ? ?. 3 2 2

2. 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AB / / CD , ?ABC ? 900 , AB ? 2 BC ? 2CD , 则 c o? sDAC ?( ) (A)

10 10

(B)

3 10 10

(C)

5 5

(D)

2 5 5

2.B 由已知条件可得图象如下, 在 ?ACD 中, CD2 ? AD2 ? AC 2 ? 2 AD ? AC ? cos ?DAC , ∴ a2 ? ( 2a)2 ? ( 5a)2 ? 2 ? 2a ? 5a ? cos ?DAC ,∴ cos ?DAC ?

3 10 . 10

3. 如图是一个空间几何体的三视图,该几何体的外接球的体积记为 V1 ,俯视图绕底边所 在直线旋转一周形成的几何体的体积记为 V2 ,则 V1 : V2 ? ( (A) 12 2 (B) 8 2 (C) 6 2 ) ( D) 4 2

3.D

三视图复原的几何体如图, 它是底面为等腰直角三角形,一条侧棱垂直底面的一个

顶点,它的外接球,就是扩展为长方体的外接球,外接球的直径是 2 2 ,该几何体的外接 球的体积 V1 = ?

4 3

? 2?

3

?

8 2 ?1 ? 2 ? , V2 = 2 ? ? ?12 ?1? ? ? ? ? 3 ?3 ? 3



∴ V1 : V2 =

8 2 2? ?: ? 4 2 ,故选 D 3 3

. 4. 设函数 f 则称函数 f

? x ? 的定义域为 D,如果 ?x ? D,?y ? D ,使得 f ? x ? ? ? f ? y ? 成立, ? x ? 为“Ω 函数” 给出下列四个函数:① y ? sin x ;② y ? 2x ;③
) (D)4 个

y ?

1 ;④ f ( x) ? ln x , 则其中“Ω 函数”共有( x ?1
(B)2 个 (C)3 个

(A)1 个 4.C

?x ? D,?y ? D ,使得 f

? x?

? ?f

? y ? ,等价于 ?x ? D,?y ? D ,使得
? x?
? ?f

f ? x ? ? f ? y ? ? 0 成立
①因为 y ? sin x 是奇函数,所以 f ? x ? ? ? f ? ? x ? ,即当 y ? ? x 时, f 立,故 y ? sin x 是“Ω 函数”; ②因为 y ? 2 ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? y ? ? 0 不成立,所以 y ? 2 不是“Ω 函数”;
x x

? y?成

③y?

1 1 1 ? ? 0 ,整理可得 时,若 f ? x ? ? f ? y ? ? 0 成立,则 x ?1 x ?1 y ?1
1 是“Ω x ?1

y ? 2 ? x, ? x ? 1? 即当 y ? 2 ? x, ? x ? 1? 时, f ? x ? ? f ? y ? ? 0 成立,故 y ?
函数”; ④ f ? x ? ? ln x 时,若 f ? x ? ? f ? y ? ? 0 成立,则 ln x ? ln y ? 0 ,解得 y ? 时, f ? x ? ? f ? y ? ? 0 成立,故 f ? x ? ? ln x 是“Ω 函数” 5. 设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

1 1 即y? x x

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别交 a2 b2

于点 A, B ,若点 P ( m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心率是________.

5.

解 得 A(

? am ? bm ? am bm , ), B ( , ) , 由 PA ? PB 得 , 设 AB 的 中 点 为 Q , 则 a ? 3b a ? 3b a ? 3b a ? 3b ? am ? am ? bm bm ? ? y c 5 . Q( a ? 3b a ? 3b , a ? 3b a ? 3b ) ,PQ 与已知直线垂直,故 Q ? ?3 ,则 e ? ? a 2 2 2 xQ

5 2

由双曲线的方程可知,渐近线为 y ? ?

b x ,分别于 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 联立, a

6. 向面积为 S 的 ?ABC 内任投一点 P ,则 ?PBC 的面积大于

S 的概率为________. 3

S ”,由图可知, D, E 分别是三角形的边上的三 3 2 等分点,事件 A 构成的区域是图中阴影部分,因为 ?ADE 与 ?ABC 相似,相似比 , 3
6. 事件 A ? “ ?PBC 的面积大于

4 9

S S 4 ?2? 4 ? ?ADE ? ? ? ? ,由几何概型的概率计算公式得 P? A? ? ?ADE ? . S ?ABC 9 S?ABC ? 3 ? 9

2

7. 在 ?ABC 中 , 三 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c 且 a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,

a= 3 , S 为 ?ABC 的面积,则 S ? 3 cos B cos C 的最大值为
2 2 2 7. 3 . ∵ a ? b ? c ? bc ,∴ cos A ?

.

b2 ? c 2 ? a 2 1 2? ? ? ,∴ A ? , 3 2bc 2

设 ?ABC 外接圆的半径为 R ,则 2 R ?

a 3 ? ? 2 ,∴ R ? 1 , sin A sin 2? 3

∴ S ? 3 cos B cos C ?

1 3 bc sin A ? 3 cos B cos C ? bc ? 3 cos B cos C 2 4

s 的最大值为 ? 3sin B sin C ? 3 cos B cos C ? 3 cos( B ? C) , 故 S ? 3 c o sB c o C
3.
8. (文)如图, 已知平面 ABCD ? 平面 BCEF , 且四边形 ABCD 为矩形, 四边形 BCEF 0 为直角梯形, ?CBF ? 90 , BF //CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 . (1)作出这个几何体的三视图(不要求写作法). (2)设 P ? DF ? AG, Q 是直线 DC 上的动点,判断并证明直线 PQ 与直线 EF 的位置关系. (3) 求三棱锥 F ? ADE 的体积.

解析:(1)该几何体的三视图如下图所示:

(2)连接 PQ, CF , 因为 DC ? EF , EF ? CF ,所以 EF ? 平面 DCF , 所以 EF ? PQ .

D A

P Q C B
(3)因为 AD 又平面 ABGF 点.

G

E

F

BC ,所以 AD

平面 BCEF ,

平面 BCEF ? FG , AD

FG ,从而 FG

BC ,所以点 G 是 CE 的中

由此可得 DG

AF ,从而 DG

平面 AFE .

所以过 E 作 VF ? ADE ? VD ? ADEVF ? AFE ? VG ? AFE ? VA? EFG ?

1 1 8 ? ? 2? 2? 4 ? . 3 2 3

( 理 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 ? ? ??CD 中 , 侧 棱 ?? ? 底 面 ?? CD , ?D//? C , ???C ? 90 , ?? ? ?? ? ?C ? 2 , ?D ? 1 , ? 是棱 ?? 中点.

(1)求证: ?? // 平面 ?CD ; (2)设点 ? 是线段 CD 上一动点,且 D? ? ? DC ,当直线 ?? 与平面 ??? 所成的角最 大时,求 ? 的值. 解析:(1)以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则

A(0,0,0), B(0,2,0), C (2,2,0), D(1,0,0), P(0,0,2), M (0,1,1)
则 AM ? (0,1,1), PD ? (1,0,?2), CD ? (?1,?2,0)
P
M

B

C

A

D

设平面 PCD 的法向量是 n ? (x ,, y z) ,则

? ? PD ?n ? 0 ? x ? 2 z ? 0, 即? ? ? ?? x ? 2 y ? 0, CD ? n ? 0 ?
令 z ? 1 ,则 x ? 2, y ? ?1 ,于是 n ? (2, ? 11) , ∵ AM ? n ? 0 ,∴ AM ? n , ∴AM//平面 PCD 6分

(2)因为点 N 是线段 CD 上的一点,可设 DN ? ? DC ? ? (1,2,0)

AN ? AD ? DN ? (1,0,0) ? ? (1,2,0) ? (1 ? ? ,2? ,0) MN ? AN ? AM ? (1 ? ? ,2? ,0) ? (0,1,1) ? (1 ? ? ,2? ? 1,?1)
又面 PAB 的法向量为 n1 ? ?1, 0, 0 ? 设 MN 与平面 PAB 所成的角为 ? 则 sin ? ?

(1 ? ? , 2? ? 1, ?1) ? (1, 0, 0) (1 ? ? ) ? (2? ? 1) ? 1
2 2

?

1? ? 5? 2 ? 2? ? 3

?

1? ? 5(1 ? ? ) 2 ? 12(1 ? ? ) ? 10

? 5?
?当

1 12 1 2 ? 10( ) 1? ? 1? ?

? 10(

1 1 3 7 ? )2 ? 1? ? 5 5

2 1 3 ? 时, 即 5 ? 3 ? 3?,? ? 时, sin ? 最大, 1? ? 5 3

所以 MN 与平面 PAB 所成的角最大时 ? ?

2 3

9. (文)每年 5 月 17 日为国际电信日,某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客 户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可 获得优惠 500 元,选择套餐三的客户可获得优惠 300 元电信日当天参与活动的人数统计结 果如图所示,现将频率视为概率 (1) 求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率;

(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人,再从该 6 人中随机选出两人, 求这两人获得相等优惠金额的概率

解析:(1) 设事件 A =“某人获得优惠金额不低于 300 元”,则 P( A) ?

150 ? 100 5 ? 50 ? 150 ? 100 6

(2) 设事件 B =“从这 6 人中选出两人,他们获得相等优惠金额”,由题意按分层抽样方 式选出的 6 人中,获得优惠 200 元的 1 人,获得优惠 500 元的 3 人,获得优惠 300 元的 2 人, 分别记为 a1 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 ,从中选出两人的所有基本事件如下: a1b1 , a1b2 , a1b3 , a1c1 , a1c2 , b1b2 , b1b3 , b1c1 , b1c2 , b2 b3 , b2 c1 , b2 c2 , b3 c1 , b3 c2 , c1c2 ,共 15 个, 其中使得事件 B 成立的为 b1b2 , b1b3 , b2 b3 , c1c2 ,共 4 个, 则 P( B) ?
4 15

(理)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题,按照题目要求独立完成规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过已知 6 道备选题中 应聘者甲有 4 道题能正确完成, 2 道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是 每题正确完成与否互不影响 (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大? 解:(1)设甲正确完成面试的题数为 ? , 则 ? 的取值分别为 1, 2,3
1 2 C4 C 1 P(? ? 1) ? 3 2 ? ; C6 5 2 1 C4 C2 3 ? ; 3 C6 5

2 ,且 3

P(? ? 2) ?

3 0 C4 C2 1 P(? ? 3) ? ? ; 3 C6 5

考生甲正确完成题数 ? 的分布列为

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 5 5 5
设乙正确完成面试的题数为? ,则? 取值分别为 0,1, 2,3

1 0 1 3 ( ) ? ; P(? ? 0) ? C3 3 27
6 1 2 1 1 2 P(? ? 1) ? C3 ( )( ) ? , 3 3 27 12 2 2 2 1 P(? ? 2) ? C3 ( ) ( )? , 3 3 27 8 3 2 3 P(? ? 3) ? C3 ( ) ? 3 27
考生乙正确完成题数? 的分布列为:

E? ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2 27 27 27 27
1 3 1 2 ? (2 ? 2) 2 ? ? (3 ? 2) 2 ? ? , 5 5 5 5

2 (2)因为 D? ? (1 ? 2) ?

D? ? (0 ? 2) 2 ?

1 6 12 8 2 ? (1 ? 2) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (3 ? 2) 2 ? ? 27 27 27 27 3 2 ) 3

(或 D? ? npq ?

所以 D? ? D? (10 分) (或:因为 P (? ? 2) ?

3 1 12 8 ? ? 0.8 , P(? ? 2) ? ? ? 0.74 , 5 5 27 27

所以 P(? ? 2) ? P(? ? 2) )

综上所述,从做对题数的数学期望考查,两人水平相当; 10. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 2ln x, 函数
2

f ( x)与 g ( x) ? x ?

a 有相同极值点. x

(1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)求实数 a 的值; (3)若 ?x1 , x2 ? [ ,3] ,不等式 解析:(1) f ?( x) ? ?2 x ?

1 e

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1恒成立,求实数 k 的取值范围. k ?1
[来源:学优高考网 gkstk]

2 ? 2( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 0) , x x

由?

? f ?( x ) ? 0 ? f ?( x ) ? 0 得 0 ? x ? 1;由 ? 得 x ? 1. ?x ? 0 ?x ? 0

? f ( x) 在 ? 0,1? 上为增函数,在 (1,??) 上为减函数. ? 函数 f ( x) 的最大值为 f (1) ? ?1 .
(2)因为 g ( x) ? x ?

a a ,所以 g ?( x) ? 1 ? 2 . x x a 有相同极值 x

由(1)知, x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点.又因为函数 f ( x) 与 g ( x) ? x ? 点,

? x ? 1 是函数 g ( x) 的极值点.? g ?(1) ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 .
经检验,当 a ? 1 时,函数 g ( x) 取到极小值,符合题意(6 分) (3)因为 f ( ) ? ?

1 e

1 ? 2 , f (1) ? ?1 , f (3) ? ?9 ? 2 ln 3 , e2

? ? 9 ? 2 ln 3 ? ?

1 1 ? 2 ? ?1 ,即 f (3) ? f ( ) ? f (1) , 2 e e

1 ? ?x1 ?[ ,3] , f ( x1 ) min ? f (3) ? ?9 ? 2 ln 3 , f ( x1 ) max ? f (1) ? ?1, e
由(2)知 g ( x) ? x ?

1 1 ,? g ?( x) ? 1 ? 2 . x x

1 ? g ( x) 在 [ ,1) 上, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (1,3] 时, g ?( x) ? 0 . e

1 ? g ( x) 在 [ ,1) 上为减函数,在 (1,3] 上为增函数. e

1 1 1 10 1 10 ,而 2 ? e ? ? , ? g ( ) ? e ? , g (1) ? 2 , g (3) ? 3 ? ? 3 3 e e e 3 1 ? g (1) ? g ( ) ? g (3) . e
10 1 ? ?x2 ?[ ,3] , g ( x2 ) min ? g (1) ? 2 , g ( x2 ) max ? g (3) ? , 3 e
①当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对于 ?x1 , x2 ? [ ,3] ,不等式 即 k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? 1 ,

1 e

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立, k ?1

? f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (1) ? g (1) ? ?1 ? 2 ? ?3 ,? k ? ?3 ?1 ? ?2 ,
由?

?k ? 1 得 k ? 1. ?k ? ?2

②当 k ? 1 ? 0 时,即 k ? 1 ,对于 ?x1 , x2 ? [ ,3] ,不等式 即 k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]min ? 1 ,

1 e

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立, k ?1

? f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (3) ? g (3) ? ?9 ? 2 ln 3 ?
?k??

10 37 ? ? ? 2 ln 3 , 3 3

34 ? 2 ln 3 . 3
34 ? 2 ln 3] ? (1,?? ) . 3

综上所述,所求的实数 k 的取值范围为 (?? ,?


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