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历年高考数学真题考点归纳 三角函数及三角恒等变换 第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式


历年高考真题考点归纳 2010 年 第四章 三角函数及三角恒等变换 第 一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式
一、选择题 1.(2010 浙江理) (9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不 存在零 . 点的是 (A) ? ?4, ?2? 答案 A (B) ? ?2,0? (C) ?0, 2

? (D) ? 2, 4?

解析:将 f ?x ? 的零点转化为函数 g ?x ? ? 4 sin?2 x ? 1?与h?x ? ? x 的交点,数形结合可知答案 选 A,本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点,突出了对转化思想和 数形结合思想的考察,对能力要求较高,属较难题 2.(2010 浙江理) (4)设 0<x< (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 答案 B 解析:因为 0<x<

?
2

1 ”是“ x sin x<1 ”的 ,则“ x sin x<
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2

π 2 2 ,所以 sinx<1,故 xsin x<xsinx,结合 xsin x 与 xsinx 的取值范围相 2

同,可知答案选 B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想和 处理不等关系的能力,属中档题 3.(2010 全国卷 2 文) (3)已知 sin ? ? (A) ?

2 ,则 cos( x ? 2? ) ? 3

1 1 5 5 (B) ? (C) (D) 9 9 3 3

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3,

cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? ?


1 9
)

4.(2010 福建文)2.计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【答案】B
-1-

【解析】原式= cos 45 =

2 ,故选 B. 2

【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 5.(2010 全国卷 1 文) (1) cos 300? ? (A) ?

3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

【答案】 C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 cos 300? ? cos ? 360? ? 60? ? ? cos 60? ?

1 2

6.(2010 全国卷 1 理)(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

1? k2 A. k

1? k2 B. k

C.

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

二、填空题 1. (2010 全国卷 2 理) (13) 已知 a 是第二象限的角,tan(? ? 2a ) ? ? 【答案】 ?

4 tn a ? , 则a 3



1 2

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生 的计算能力.

?(? a 2 ?) ? 得 tan 2a ? ? 【解析】由 tan

4 2 t a? n 4 2? ? ? ,解得 , 又 t a na 2 3 1? t a n ? 3 1 1 tan ? ?? 或 t? an ? ,又 2 a 是第二象限的角,所以 tan ? ? ? . 2 2 4 3

2.(2010 全国卷 2 文) (13)已知α 是第二象限的角,tanα =1/2,则 cosα =__________

2 5 5 【解析】 ?
tan ? ? ?


:本题考查了同角三角函数的基础知识

1 2 5 cos ? ? ? 2 ,∴ 5

-2-

sin a ? 3. (2010 全国卷 1 文) (14)已知 ? 为第二象限的角,
答案 ?

3 ,则 tan 2? ? 5

.

24 7

【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式, 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为 ? 为第二象限的角,又 sin ? ?

tan(2? ) ?

2 tan ? 24 ?? 2 1 ? tan ? 7

3 4 sin ? 3 ? ? ,所 , 所以 cos ? ? ? , tan ? ? 5 5 cos ? 4

4. ( 2010 全 国 卷 1 理 ) (14) 已 知

? 为 第 三 象 限 的 角 , cos 2? ? ?

tan(

?
4

3 ,则 5

? 2? ) ?

.

三、解答题 1.(2010 上海文)19.(本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 2
解析:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx) ?0.
2

2.(2010 全国卷 2 理) (17) (本小题满分 10 分)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

由 cos∠ADC=

>0,知 B<

.

由已知得 cosB=

,sin∠ADC=

.

-3-

从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=

=

.

由正弦定理得

,所以

=

.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现. 这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留, 不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或 将边角互化. 3.(2010 全国卷 2 文) (17) (本小题满分 10 分)

ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD 。 13 5

【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 ?ADC 与 ? B 的差求出 ? BAD ,根据同角关系及差角公式求出 ? BAD 的正弦,在三角形 ABD 中,由正弦定理可求得 AD。 4.(2010 四川理) (19) (本小题满分 12 分) 1 证明两角和的余弦公式 C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ; (Ⅰ)○ 2 由 C? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ?? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? . ○ (Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

1 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力。 解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α 、β 与-β ,使角 α 的始边 为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边 为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα ,sinα )

P3(cos(α +β ),sin(α +β )),P4(cos(-β ),sin(-β ))
由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cosα ] +[sin(-β )-sinα ] 展开并整理得:2-2cos(α +β )=2-2(cosα cosβ -sinα sinβ )
-42 2 2 2

∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ .????????4 分

? ? -α )=sinα ,sin( -α )=cosα 2 2 ? ? sin(α +β )=cos[ -(α +β )]=cos[( -α )+(-β )] 2 2 ? ? =cos( -α )cos(-β )-sin( -α )sin(-β ) 2 2
②由①易得 cos( =sinα cosβ +cosα sinβ ??????????????6 分 (2)由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 则 S=

1 1 bcsinA= 2 2

AB ? AC =bccosA=3>0

∴A∈(0,

? ),cosA=3sinA 2
2

又 sin A+cos A=1,∴sinA=

2

10 3 10 ,cosA= 10 10

由题意,cosB=

3 4 ,得 sinB= 5 5

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=

10 10 10 ??????????12 分 10

故 cosC=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=- 5.(2010 天津文) (17) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,

AC cos B ? 。 AB cos C

(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角 的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. ( Ⅰ ) 证 明 : 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得

sin B cosB = .于是 sin C cosC

sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C.
-5-

(Ⅱ)解:由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA= 又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? cos2 2B =

1 . 3

2 2 . 3

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

7 4 2 2 2 ,cos4B= cos 2 B ? sin 2 B ? ? . 9 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 B cos

?
3

? cos 4 Bsin

?
3

?

4 2 ?7 3 18

-6-


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