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1.2 一般形式的柯西不等式

时间:2013-07-15


1.2 一般形式的柯西不等式
1.已知 a,b,c 大于 0,且 a+b+c=1,则 a2+b2+c2 的最小值为( ) A.1 B.4 1 1 C. D. 3 2 解析:选 C.根据柯西不等式,有(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=1, 1 ∴a2+b2+c2≥ . 3 2.设 a、b、c 为正数,且 a+2b+3c=13,则 3a+ 2b+

c的最大值为( ) A.13 B. 13 13 3 3 C. D. 3 3 1 解析:选 C.(a+2b+3c)[( 3)2+12+( )2] 3 1 2 ≥( a· 3+ 2b· 1+ 3c· ) 3 2 =( 3a+ 2b+ c) . 132 ∴( 3a+ 2b+ c)2≤ . 3 13 3 ∴ 3a+ 2b+ c≤ . 3 a 2b 3c 当且仅当 = = 时取等号. 1 1 3 3 又 a+2b+3c=13, 3 1 ∴此时 a=9,b= ,c= . 2 3 13 3 ∴ 3a+ 2b+ c有最大值 . 3 x2 x2 x2 1 2 3 3.设 x1,x2,x3∈R+,且 x1+x2+x3=1,则 + + 的最小值为( ) 1+x1 1+x2 1+x3 1 A.1 B. 3 1 1 C. D. 2 4 2 x2 x2 x3 1 2 解 析 : 选 D.(1 + x1 + 1 + x2 + 1 + x3)( + + ) = [( 1+x1 )2 + ( 1+x2 )2 + 1+x1 1+x2 1+x3 x1 2 x2 2 x3 2 ( 1+x3)2]· [( ) +( ) +( )] 1+x1 1+x2 1+x3 x1 x2 ≥( 1+x1· + 1+x2· + 1+x3 1+x1 1+x2 x3 2 · ) 1+x3 =(x1+x2+x3)2=1, 2 x1 x2 x2 1 2 3 ∴ + + ≥ . 1+x1 1+x2 1+x3 4 4.已知 a、b、c 均大于 0,A= A.A>B C.A<B a2+b2+c2 a+b+c ,B= ,则 A,B 的大小关系是( 3 3 B.A≥B D.A≤B
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)

解析:选 B.∵(12+12+12)· 2+b2+c2) (a a2+b2+c2 ?a+b+c?2 ≥(a+b+c)2,∴ ≥ , 3 9 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 又 a、b、c 均大于 0,∴a+b+c>0, a2+b2+c2 a+b+c ∴ ≥ ,故选 B. 3 3 1 1 1 5. (2013· 南通调研)若正数 a, c 满足 a+b+c=1, b, 则 + + 的最小值是( ) 3a+2 3b+2 3c+2 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 A.因为正数 a,b,c 满足 a+b+c=1, 1 1 1 1 1 所以( + + )[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥(1+1+1)2 ,即 + + 3a+2 3b+2 3c+2 3a+2 3b+2 1 ≥1, 3c+2 1 当且仅当 3a+2=3b+2=3c+2,即 a=b=c= 时,原式取最小值 1. 3 2 2 2 2 2 2 6.已知 a1+a2+?+an=1,x1+x2+?+xn=1,则 a1x1+a2x2+?+anxn 的最大值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.不确定 2 2 解析:选 A.∵(a2+a2+?+a2)(x1+x2+?+xn)≥(a1x1+a2x2+a3x3+?+anxn)2, 1 2 n 2 2 ∴(a1x1+a2x2+a3x3+?+anxn) ≤1. 即 a1x1+a2x2+?+anxn≤1. 7.(2013 湖南卷) 8. 已知 a、 c 均为正数, a+b+c=1, 4a+1+ 4b+1+ 4c+1的最大值是________. b、 且 则 解析:由柯西不等式得: ( 4a+1+ 4b+1+ 4c+1)2 =(1× 4a+1+1× 4b+1+1× 4c+1)2 ≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=21, 1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3 答案: 21 9.设 a,b,c,x,y,z 都是正数,且 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30, a+b+c 则 =________. x+y+z 解析:由柯西不等式知:25×36=(a2+b2+c2)· 2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36, (x a b c 当且仅当 = = =k 时取“=”. x y z 5 2 2 由 k (x +y2+z2)2=25×36,解得 k= . 6 a+b+c 5 所以 =k= . 6 x+y+z 5 答案: 6 10.已知 a,b,c,d,e 满足 a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求 e 的范围. 解:∵4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2, ∴4(16-e2)≥(8-e)2, ∴5e2-16e≤0. 16 解得 0≤e≤ . 5
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11.(2013· 淮南质检)已知 x2+3y2+4z2=2,求证:|x+3y+4z|≤4. 证明:由柯西不等式知 (x2+3y2+4z2)(1+3+4)≥(x+3y+4z)2. 又∵x2+3y2+4z2=2, ∴2×8≥(x+3y+4z)2, ∴|x+3y+4z|≤4. 12.设 x,y,z∈R+,且 2x+3y+5z=29,求 2x+1+ 3y+4+ 5z+6的最大值. 解:∵2x+3y+5z=29, ∴( 2x+1+ 3y+4+ 5z+6)2 ≤(1· 2x+1+1· 3y+4+1· 5z+6)2 ≤(1 +1 +1 )[( 2x+1)2+( 3y+4)2+( 5z+6)2] =3(2x+3y+5z+11)=120, ∴ 2x+1+ 3y+4+ 5z+6≤2 30. 当且仅当 2x+1= 3y+4= 5z+6, 37 28 22 即 x= ,y= ,z= 时,等号成立. 6 9 15 ∴ 2x+1+ 3y+4+ 5z+6的最大值为 2 30.
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