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正切函数图像及性质

时间:2014-01-14


第 14 讲 正切函数的性质与图像

第一部分 知识梳理

1. 正切函数的图像

y
y

3 ? ? 2

?

?
2

?
2

?

3 ? 2

2. 正切函数 y ? tan x 的性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性 3. 函数 y ? A tan(? x ? ?) 的周期为 T ?

? ?

第二部分

精讲点拨

考点 1 正切函数的图像的应用 (1) 直线 y ? a ( a 为常数)与正切曲线 y ? tan x 相交的相邻两点间的距离是( )

A. ?

B.

? 2

C. 2?

D 与 a 值有关

1

? EX .1?

解不等式 tan x ? ?1

考点 2 正切函数性质应用 (2)不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小 ① tan167 与 tan173 ; ②
0 0

? 11? tan ? ? ? 4

? ? 13? ? ? 与 tan ? ? ? ? ? 5 ?

(3)求函数 y ? tan 2 x 的定义域、值域和周期,并且求出它在区间 ? ?? , ? ? 内的图像

考点 3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例 2】 求函数 y ? tan( x ?

?

3

) 的定义域,并讨论它的单调性

? EX .1? 求函数 y ? 3 tan(

?
4

? 2 x) 的单调区间

2

考点 4 正切函数综合应用

【例 3】试判断函数 f ( x) ? lg

tan x ? 1 的奇偶性 tan x ? 1

【例 4】已知 ? 求相应 x 的值

?
3

?x?

?
4

, f ( x) ? tan x ? 2 tan x ? 2 ,求 f ( x) 的最大值与最小值,并且
2

第三部分

检测达标

一、选择题 1.函数 y ? tan(x ?

?
4

) 的定义域是 (

) B. D.

A. ?x | x ? R, 且x ? 2k? ? C.

?
4

,k ? Z

?

?x | x ? R, 且x ? k? ? 3? , k ? Z ?
?
4 4 ,k ? Z

?x | x ? R, 且x ? k? , k ? Z ?
?
4 ?? ?

?x | x ? R, 且x ? 2k? ?

?

2.若

?
2

, 则(

) B. cos? ? tan? ? sin ? D. tan? ? sin ? ? cos?

A. sin ? ? cos? ? tan? C. sin ? ? tan? ? cos?

3

? )的图象的对称中心是( ) 4 ? ? ? k? ? k? A. ( ,0) B. ( ,0) C. ( ? ,0) D. (? ? ,0) 8 4 8 4 8 4 ? 4.若函数 f ( x) ? 2 tan(kx ? ) 的最小正周期 T 满足 1 ? T ? 2 ,则自然数 k 的值为( ) 3
3.若函数 y=2tan(2x+ A.1,2 5. 函数 y=tan (2x+ A π B.2
? )的周期是 6

C.2,3 ( C

D.3 ) D ( ) D.b<a<c ( )

B 2π

? 2

? 4

6. 已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、b、c 的大小关系是 A. a<b<c B. c<b<a C. b<c<a

7. 下列函数中,同时满足(1)在(0, A y=|tanx| 8. 函数 y=lgtan

? )上递增;(2)以 2π 为周期;(3)是奇函数的是 2
C y=tan

B y=cosx
x 的定义域是 2

1 x 2
(

D y=-tanx )

A .{x|kπ<x<kπ+

? ,k∈Z} 4

B . {x|4kπ<x<4kπ+ D. 第一、三象限

? ,k∈Z} 2

C.{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}
9.方程x-tanx=0的实根个数为

A .1

B .2

C .3

D .无穷多

10.已知函数 y=tanωx 在(A .0<ω≤ 1

? ? , )内是单调减函数,则 ω 的取值范围是 2 2
C.ω ≥1

(

)

B . -1≤ω<0

D. ω≤ -1

11.函数 y ? tan x cos x 的部分图象是

A.

B.

C.
5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 3? 3? D. ( , ) ? ( ,? ) 2 4 4
B. (

D.


12.若点 P(sin ? ? cos ?, tan ?) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是(

5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? C. ( , )?( , ) 2 4 4 2
A. (

? 3?
,

) ? (? ,

? ?

4

二.填空题 9 . 函数 y=2tan(
? x - )的定义域是 3 2

,周期是 ; ;

;

10 .函数 y=tan2x-2tanx+3 的最小值是 x ? 11 .函数 y=tan( + )的递增区间是
2

3

12.下列关于函数 y=tan2x 的叙述:①直线 y=a(a∈R)与曲线相邻两支交于 A、B 两点,则线 段 AB 长为 π;②直线 x=kπ+ 正确的命题序号为 三. 解答题 13.不通过求值,比较下列各式的大小 ? 3? (1)tan(- )与 tan()
5 7 7? ? )与 tan ( ) 8 16

k? ? ,(k∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是( ,0),(k∈Z), 4 2
.

(2)tan(

14.求函数 f ( x) ? tan(2 x ?

?
3

) 的定义域、周期、单调区间、对称中心.

5


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