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2-3第1课时 等差数列的前n项和

时间:2012-05-26


2.2.3 等差数列的前n项和

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第二章 数列

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第1课时

等差数列的前n项和

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1.体会等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实际问题. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能

够由其中的三个求另外的两个.

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1.对等差数列前n项和公式的考查是本课的热点.
2.本课内容常与方程,函数,不等式结合命题.

3.多以选择题和解答题的形式考查.

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1.上一节刚学过等差数列,即满足

an+1-an=d

的数列

就是等差数列.
2.等差数列的通项公式是 an=a1+(n-1)d ,其中d是等差

数列的 公差 .
3.等差数列有一个性质,对于m,n,q,p∈N* ,若m+n =p+q,则 am+an=ap+aq .

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4.某仓库堆放的一堆钢管(如图),
最上面的一层有4根钢管,下面的每一层 都比上一层多一根,最下面的一层有9根, 怎样计算这堆钢管的总数呢? 假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管.

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这样,每层的钢管数都等于 4+9,共有 6 层.从而原 6×?4+9? 来一堆钢管的总数为 =39. 2 一般地,如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn?

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1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
n?n-1? Sn= na1+ 2 d

求和 公式

n?a1+an? Sn= 2

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2.等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为 负数 项(或0),所 以将这些项相加即得{S }的最 小 值;
n

(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为 正数 项(或0),所 以将这些项相加即得{S }的最 大 值.
n

特别地,若a1>0,d>0,则 a1 是{Sn}的最 小 值;若a1<0, d<0,则 a1 是{Sn}的最 大 值.

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1.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1等于(
A.5或7 B.3或5

)

C.7或-1

D.3或-1

n?a1+11? 解析: Sn= =35. 2 ∴na1+11n=70,① an=a1+(n-1)×2=11. ∴a1+2n=13.② 由①②得 a1=3 或 a1=-1.故选 D.

答 案: D
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2.已知等差数列{an},a1 =50,d=-2,Sn =0,则n等于 ( )

A.51
C.49

B.50
D.48

n?n-1? 解析: 由 Sn=na1+ d得 2 n×?n-1? n×50+ ×(-2)=0 2 即 n2-51n=0 ∴n=0(舍去)或 n=51.故选 A.

答案:
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A
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3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值 为________.

解析: a3+a17=a1+a19=10 19?a1+a19? 19×10 S19= = 2 =95. 2
答案: 95

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4.已知{an}是等差数列,a1+a3+a5=9,a6=9.求此数列前 6项的和.

解析: a1+a3+a5=3a3=9,∴a3=3. 又∵a6=9,a3=3,∴d=2,a1=-1. 6×?6-1? ∴S6=6×(-1)+ ×2=24. 2

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已知数列{an}是等差数列,
(1)若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求公差d;

(2)若a2+a5=19,S5=40,求a10;
(3)若S10=310,S20=1 220,求Sn.

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由题目可获取以下主要信息: n?a1+an? 由 Sn= ,an=a1+(n-1)d,联立列方程组. 2 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式,利用 等差数列的性质解题.

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[解题过程]

n?n-1? (1)∵an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ 2 d,

又 a1=1,an=-512,Sn=-1 022, ?1+?n-1?d=-512, ? ∴? 1 ?n+2n?n-1?d=-1 022. ? 解得 n=4,d=-171.

?a1+d+a1+4d=19, ? (2)方法一:由已知可得? 5×4 ?5a1+ 2 d=40. ? 解得 a1=2,d=3.所以 a10=a1+9d=29.
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方法二:由 S5=5a3=40,得 a3=8. 所以 a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19, d 得 =3. 所以 a10=a3+7d=8+3×7=29. (3)方法一:由已知:S10=310,S20=1 220,
?10a +45d=310, ? 1 ? ∴ ?20a1+190d=1 220, ? ?a =4, ? 1 解得? ?d=6. ?

n?n-1? ∴Sn=4n+ 2 · 6=3n2+n.

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方法二:由数列{an}为等差数列,可设 Sn=An2+Bn. 由 S10=310,S20=1 220,
?100A+10B=310, ? 得? ?400A+20B=1 220, ? ?A=3, ? 解得? ?B=1. ?

∴Sn=3n2+n.
[题后感悟] a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn 都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知

三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,
这种方法是解决数列问题的基本方法,在具体求解过程中应注 意已知与未知的联系及整体思想的运用.
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1.在等差数列{an}中,

(1)已知a6=10,S5=5,求a8.
(2)已知a2+a4=,求S5; (3)已知a10=12,a20=32,Sn=120,求an和n的值.

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解析: (1)方法一:∵a6=10,S5=5,
?a +5d=10, ? 1 ∴? ?5a1+10d=5, ? ?a =-5, ? 1 解得? ?d=3. ?

∴a8=a6+2d=16. 方法二:∵S6=S5+a6=15, 6?a1+a6? ∴15= ,即 3(a1+10)=15. 2 a6-a1 ∴a1=-5,d= 5 =3. ∴a8=a6+2d=16.
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48 (2)方法一:a2+a4=a1+d+a1+3d= 5 , 24 所以 a1+2d= 5 . 1 所以 S5=5a1+ ×5×(5-1)d=5a1+2×5d 2 24 =5(a1+2d)=5× =24. 5
方法二:a2+a4=a1+a5, 48 所以 a1+a5= 5 . 5×?a1+a5? 5 48 所以 S5= =2× 5 =24. 2
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(3)根据 an=a1+(n-1)d, 由已知 a10=12,a20=32,
?a +9d=12, ? 1 得? ?a1+19d=32, ? ?a =-6, ? 1 解得? ?d=2. ?

∴数列{an}的通项公式是 an=-6+(n-1)· 2, 即 an=2n-8.

1 1 由 Sn=na1+2n(n-1)d,得-6n+2n(n-1)· 2=120, 即 n2-7n-120=0. 解得 n=15 或 n=-8(舍),即 n=15.

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在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大

值.

由题目可获取以下主要信息: ①{an}为等差数列.②a1=25,S17=S9. 解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使 an≥0,an+1<0或利用性质求出大于或等于零的项.

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[解题过程] 方法一:由 S17=S9,得 17 9 25×17+ 2 (17-1)d=25×9+2(9-1)d, 解得 d=-2, n ∴Sn=25n+2(n-1)(-2)=-(n-13)2+169, 由二次函数性质得当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

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方法二:先求出 d=-2(同方法一), ∵a1=25>0,
?a =25-2?n-1?≥0 ? n 由? ?an+1=25-2n<0 ?



1 ? ?n≤132 得? ?n>121 2 ?

.

∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

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方法三:先求出d=-2(同方法一), 由S17=S9,得a10+a11+?+a17=0,

而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0. ∵d=-2<0,a1>0. ∴a13>0,a14<0, 故n=13时,Sn有最大值169.

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方法四: 先求出 d=-2(同方法一)得 Sn 的图象如图所示,

9+17 由 S17=S9 知图象对称轴 n= =13, 2 ∴当 n=13 时,取得最大值 169.

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[题后感悟] 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方 法: (1)由二次函数的最值特征得解. n?n-1? d 2 ? d? Sn=na1+ d= n +?a1-2?n 2 2 ? ? d? ? d? a1-2?2 = ? ?- 2 n+ d ? ?
? d?2 ?a1- ? 2? ?

2d

?1 a1?? d? d?1 a1?2 2 =2?n-?2- d ?? -2?2- d ? . ? ? ?? ? ?

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由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N*知,当 n 取 1 a1 最接近2- d 的正整数时,Sn 取到最大值(或最小值),值得注 1 a1 意的是最接近2- d 的正整数有时 1 个,有时 2 个. (2)根据项的正负来定. 若 a1>0,d<0,则数列的所有正数项之和最大; 若 a1<0,d>0,则数列的所有负数项之和最小. ,

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2.已知等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13, (1)求公差d的值; (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值.

解析:(1)由 11a5=5a8-13 得 11(a1+4d)=5(a1+7d)- 13 5 ∵a1=-3,∴d=9.

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5 (2)an=a1+(n-1)d=-3+(n-1)×9 32 令 an≤0 得 n≤ 5 ∴a1<a2<?<a6<0<a7<?. ∴Sn 的最小值为 6×5 5 29 S6=6a1+ 2 d=6×(-3)+15×9=- 3 .

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在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|} 的前n项和.

由题目可获取以下主要信息: ①数列{an}为等差数列; ②a1=-60,a17=-12,可求得公差d. 解答本题可先分清哪些项是负的,然后再分段求 出前n项的绝对值之和.

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a17-a1 [规范作答] 数列{an}的公差 d= 17-1 -12-?-60? = =3,2 分 17-1 ∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.4 分 由 an<0,得 3n-63<0,即 n<21. ∴数列{an}的前 20 项是负数,第 20 项以后的项都为非 负数.6 分

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设 Sn,Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和, 当 n≤20
? n?n-1? ? ? ? 时,Sn′=-Sn=-?-60n+ ×3? 2 ? ?

3 2 123 =-2n + 2 n;8 分 当 n>20 时,Sn′=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
? ? n?n-1? 20×19 ? ? =-60n+ 2 ×3-2×?-60×20+ ×3? 2 ? ?

3 2 123 =2n - 2 n+1 260.10 分

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∴数列{|an|}的前 n 项和 ? 3 2 123 ?-2n + 2 n?n≤20? Sn′=? ?3n2-123n+1 260?n>20? 2 ?2

.12 分

[题后感悟] 本题为非常规等差数列求和.解题的关键首先

是确定数列{an}的前20项为负数,其次是当n>20时,用Sn-S20表
示从a21到an这些非负的项的和.本题是此类问题的一个典型例 题,类似问题都可以这样处理.

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3.已知等差数列{an}中,S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n 项和An.

? ?2a +2×1d=16 2 ? 1 解析: 由已知列方程组? 4×3 ? ?4a1+ 2 d=24 ? 解得 a1=9,d=-2,∴an=11-2n. 令 an<0,得 11-2n<0,即 n>5.5. 设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和, ∴当 n≤5 时,an>0,An=Sn=-n2+10n;
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当 n≥6 时,an<0,An=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-? -an=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+?+an) =2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +?+an) =2S5-Sn=2×(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50. ∴数列{|an|}的前 n 项和
?-n2+10n?n≤5? ? An=? 2 ?n -10n+50?n≥6? ?

.

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1.等差数列前 n 项和的函数特点 对于等差数列{an},如果 a1、d 是确定的,前 n 项和 Sn n?n-1? d? d 2 ? d d ?a1- ?n.设 A= ,B=a1- ,上式可 =na1+ 2 d=2n + 2? 2 2 ? 写成 Sn=An2+Bn.当 A≠0(即 d≠0)时, n 是关于 n 的二次函 S 数式(常数项为 0)数列 S1,S2,S3,?,Sn 的图象是抛物线 y =Ax2+Bx 上的一群孤立的点.

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2.等差数列的前n项和公式的应用 (1)当已知首项、末项和项数时,用前一个公式较为简便;

当已知首项、公差和项数时,用后一个公式较好.
(2)两个公式共涉及a1、d、n、an及Sn五个基本量,依据方程 的思想,在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量, 这也就是我们所说的“知三求二”.

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◎已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前
n项和.
【错解】 ∵an=4n-25, ∴an+1=4(n+1)-25,an+1-an=4,a1=4×1-25=-21, ∴数列{an}是以-21 为首项,公差为 4 的等差数列. 从而可得数列{|an|}是以 21 为首项, 以-4 为公差的等差数 列, n?n-1? ∴前 n 项和 Sn=21n+ 2 ×(-4)=-2n2+23n.
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【错因】 由于没有理解数列{an}与数列{|an|}的各项的特
点,所以导致求解错误.由{an}的通项公式可知,项有正有负, 而数列{|an|}的各项均为非负数,因此数列{an}与数列{|an|}是不 同的数列.

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【正解】

∵an=4n-25,∴an+1 =4(n+1)-25,an+1

-an=4,a1=4×1-25=-21, ∴数列{an}是以-21 为首项,公差为 4 的等差数列. 1 由 an≥0,得 4n-25≥0,即 n≥64, ∴数列{an}中前 6 项均小于零,从第 7 项起均大于零, ∴当 n≤6 时,|a1|+|a2|+?+|an|=-(a1+a2+?+an)
? ? n?n-1? ? ? 2 =-Sn=-?-21n+ ×4?=-2n +23n. 2 ? ?

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当 n≥7 时,|a1|+|a2|+?+|an| =-(a1+a2+?+a6)+(a7+a8+?+an) =(a1+a2+?+an)-2(a1+a2+?+a6) =Sn-2S6 n?n-1? 6?a1+a6? =-21n+ 2 ×4-2× 2 =2n2-23n+132. 故数列{|an|}的前 n 项和
?-2n2+23n?n≤6?, ? Sn=? 2 ?2n -23n+132?n≥7?. ?

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