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数列的概念与简单表示法课时作业


第五章 课时作业 32

数列

数列的概念与简单表示法

一、选择题 2 4 6 8 1.数列3,5,7,9?的第 10 项是( 16 A.17 20 C.21 18 B.19 22 D.23 2n 20 ,∴a10=21. 2n+1 )

解析:由已知得数列的通项公式 an= 答案:C


2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则 a5 为( A.-3 C.-5 B.-11 D.19

)

解析:由 an+1=an+2-an,得 an+2=an+1+an,又∵a1=2,a2=5, ∴a3=a1+a2=7,a4=a3+a2=12,a5=a4+a3=19,选 D. 答案:D n-1 3. 数列{an}满足: a1=1, 且当 n≥2 时, an= n an-1, 则 a5=( 1 A.5 C.5 1 B.6 D.6 )

n-1 解析:因为 a1=1,且当 n≥2 时,an= n an-1,



an n-1 = n an-1
4 3 2 1

a5 a4 a3 a2 4 3 2 1 1 所以 a5=a · · · · a 1= × × × ×1= .故选 A. a a a 5 4 3 2 5 答案:A 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k=( ) A.9 C.7 B.8 D.6

? ? ?Sn?n=1? ?-8?n=1?, ? 解析: 由 an= =? 得 an=2n-10. ? ? ?Sn-Sn-1?n≥2? ?2n-10?n≥2?,

由 5<2k-10<8 得 7.5<k<9,由于 k∈N*,所以 k=8. 答案:B 5.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn+Sn+1=an+1(n∈N*),则此 数列是( ) B.递减数列 D.摆动数列

A.递增数列 C.常数列

解析:∵Sn+Sn+1=an+1,∴当 n≥2 时,Sn-1+Sn=an, 两式相减,得 an+an+1=an+1-an,∴an=0(n≥2). 当 n=1 时,a1+(a1+a2)=a2,∴a1=0, ∴an=0(n∈N*). 答案:C 6.将石子摆成如图的梯形形状,称数列 5,9,14,20,?为梯形数, 根据图形的构成,此数列的第 2 014 项与 5 的差即 a2 014-5=( )

A.2 020×2 012

B.2 020×2 013

C.1 010×2 012

D.1 010×2 013

解析:结合图形可知,该数列的第 n 项 an=2+3+4+?+(n+ 2).所以 a2 014-5=4+5+?+2 016=1 010×2 013. 答案:D 二、填空题 n2 7.已知数列{ 2 },则 0.98 是它的第________项. n +1 n2 49 解析: 2 =0.98=50,∴n=7. n +1 答案:7 8. 数列{an}中, a1=1, 对于所有的 n≥2, n∈N*, 都有 a1· a2· a3· ?· an =n2,则 a3+a5=________. 解析:由题意知:a1· a2· a3· ?· an-1=(n-1)2, n 2 ∴an=( ) (n≥2), n-1 3 5 61 ∴a3+a5=(2)2+(4)2=16. 61 答案:16 9.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an· an+2=an+1(n∈N*),则 a2 014 的值为________. 解析:由 an· an+2=an+1(n∈N*),a1=1,a2=2,得 a3=2; 由 a2=2,a3=2 得 a4=1; 1 由 a3=2,a4=1 得 a5=2; 1 1 由 a4=1,a5=2得 a6=2; 1 1 由 a5=2,a6=2得 a7=1;

1 a6=2,a7=1 得 a8=2; 由此推理可得{an}是一个周期为 6 的数列, 所以 a2 014=a4=1. 答案:1 三、解答题 10.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解:(1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=150, 解得 n=16 或 n=-9(舍去),即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍). ∴从第 7 项起各项都是正数. 11.在数列{an}中,a1=1,Sn 为其前 n 项和,且 an+1=2Sn+n2- n+1. (1)设 bn=an+1-an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)∵an+1=2Sn+n2-n+1, ∴an=2Sn-1+(n-1)2-(n-1)+1(n≥2), 两式相减得,an+1-an=2an+2n-2(n≥2). 由已知可得 a2=3,∴n=1 时上式也成立. ∴an+1-3an=2n-2(n∈N*),an-3an-1=2(n-1)-2(n≥2). 两式相减,得(an+1-an)-3(an-an-1)=2(n≥2). ∵bn=an+1-an,

∴bn-3bn-1=2(n≥2),bn+1=3(bn-1+1)(n≥2). ∵b1+1=3≠0, ∴{bn+1}是以 3 为公比,3 为首项的等比数列, ∴bn+1=3×3n-1=3n,∴bn=3n-1. 1 n+1 3 ∴Tn=31+32+?+3n-n=2· 3 -n-2. (2)由(1)知,an+1-an=3n-1, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a3-a2)+(a2 -a1)+a1 1 =30+31+32+?+3n-1-(n-1)=2(3n+1)-n.

1.已知函数 y=f(x),数列{an}的通项公式是 an=f(n)(n∈N*),那 么“函数 y=f(x)在[1,+∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列” 的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若函数 y=f(x)在[1,+∞)上递增,则数列{an}是递增数列 一定成立;反之不成立,现举反例说明:若数列{an}是递增数列,则 函数在[1,2]上可以先减后增,只要在 x=1 处的函数值比在 x=2 处的 函数值小即可.故“函数 y=f(x)在[1,+∞)上递增”是“数列{an}是 递增数列”的充分不必要条件.选 A. 答案:A an 2. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1, 则满足 n ≤2 的正整数 n 的集合为( )

A.{1,2} C.{1,2,3}

B.{1,2,3,4} D.{1,2,4}

解析:因为 Sn=2an-1,所以当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1,两式 相减得 an=2an-2an-1,整理得 an=2an-1,所以{an}是公比为 2 的等 比数列,又因为 a1=2a1-1,解得 a1=1,故{an}的通项公式为 an=2n
-1

an .而 n ≤2,即 2n-1≤2n,所以有 n=1,2,3,4. 答案:B 3.已知数列{an}满足 an+

?an?an为偶数?, 2 1=? ?an-2n?an为奇数?.

若 a3=1,则 a1

的所有可能取值为________. 解析:当 a2 为奇数时,a3=a2-4=1,a2=5; 1 当 a2 为偶数时,a3=2a2=1,a2=2; 当 a1 为奇数时,a2=a1-2=5,a1=7 或 a2=a1-2=2,a1=4(舍去); 1 当 a1 为偶数时,a2=2a1=5,a1=10 1 或 a2=2a1=2,a1=4 综上,a1 的可能取值为 4,7,10. 答案:4,7,10 2 4. 已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1, 数列{bn}满足 bn= , an+1 且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.

解:(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). 2 ? ?3?n=1?, ∴bn=? 1 ? ?n?n≥2?. (2)∵cn=bn+1+bn+2+?+b2n+1 = 1 1 1 + +?+ , n+1 n+2 2n+1

1 1 1 ∴cn+1-cn= + - <0, 2n+2 2n+3 n+1 ∴{cn}是递减数列.


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