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【创新设计】2015-2016学年高中数学 1.1.2弧度制课时作业 新人教A版必修4

时间:2017-01-01


1.1.2

弧度制

课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念,掌握角的不同度量制度,能对弧度和角度进行 正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.

1.角的单位制 (1)角度制: 规定周角的________为 1 度的角, 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制:把长度等于____

____的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作________. (3)角的弧度数求法:如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l,那么 l,α ,r 之间 存在的关系是:____________;这里 α 的正负由角 α 的________________决定.正角的弧 度数是一个________,负角的弧度数是一个________,零角的弧度数是________. 2.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°=________ rad 2π rad=________ 180°=______ rad π rad=________ 1°=______rad≈ 1 rad=______≈57°18′ 0.017 45 rad 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R,弧长为 l,α (0<α <2π )为其圆心角,则 度量单位 α 为角度制 α 为弧度制 类别 扇形的弧长 l=________ l=______ 扇形的面积 S=________ S=______=______

一、选择题
? ? ? ? π π 1.集合 A=?α |α =kπ + ,k∈Z?与集合 B=?α |α =2kπ ± ,k∈Z?的关系是( 2 2 ? ? ? ? A.A=B B.A? B C.B? A D.以上都不对 2.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长是( ) 2 A.2 B.sin 2 C. D.2sin 1 sin 1 2 3.扇形周长为 6 cm,面积为 2 cm ,则其中心角的弧度数是( ) A.1 或 4 B.1 或 2 C.2 或 4 D.1 或 5 4. 已知集合 A={α |2kπ ≤α ≤(2k+1)π , k∈Z}, B={α |-4≤α ≤4}, 则 A∩B 等于( A.? B.{α |-4≤α ≤π } C.{α |0≤α ≤π } D.{α |-4≤α ≤-π ,或 0≤α ≤π } 11 5.把- π 表示成 θ +2kπ (k∈Z)的形式,使|θ |最小的 θ 值是( ) 4 π π 3 3 A. B.- C. π D.- π 4 4 4 4 π 6.扇形圆心角为 ,半径长为 a,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) 3 A.1∶3 B.2∶3 C.4∶3 D.4∶9

)

)

1

二、填空题 7.将-1 485°化为 2kπ +α (0≤α <2π ,k∈Z)的形式是________. 8.若扇形圆心角为 216°,弧长为 30π ,则扇形半径为____. 7π 9.若 2π <α <4π ,且 α 与- 角的终边垂直,则 α =______. 6 π 10.若角 α 的终边与角 的终边关于直线 y=x 对称,且 α ∈(-4π ,4π ),则 α = 6 ________________. 三、解答题 11.把下列各角化成 2kπ +α (0≤α <2π ,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角: 23 (1)-1 500°;(2) π ;(3)-4. 6

12. 已知一扇形的周长为 40 cm, 当它的半径和圆心角取什么值时, 才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少?

能力提升 13.已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长,那么其圆心角的弧度数的绝对值为 ________. 14.已知一扇形的中心角是 α ,所在圆的半径是 R. (1)若 α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值 c (c>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

2

1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系:每一 个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应; 反过来, 每一个实数也都有唯一的 一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π ”这一关系式.易知:度数 π ?180? ? =弧度数,弧度数?? ?=度数. 180 ?π ? 3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位 取弧度.

1.1.2 弧度制 答案

知识梳理 1 l 1.(1) (2)半径长 1 rad (3)|α |= 终边的旋转方向 正数 负数 0 360 r π ?180?° 2.2π 360° π 180° ? ? 180 ? π ? 2 α πR α πR 1 2 1 3. α R α R lR 180 360 2 2 作业设计 1.A 1 2 2.C [r= ,∴l=|α |r= .] sin 1 sin 1 3.A [设扇形半径为 r,圆心角为 α , 2r+α r=6 ? ? 则?1 2 α r =2 ? 2 ?
? ?r=1 解得? ?α =4 ?



? ?r=2 或? ?α =1 ?

.]

4.C [集合 A 限制了角 α 终边只能落在 x 轴上方或 x 轴上.] 11 3 ? 3 ? 5.D [∵- π =-2π +?- π ?,∴θ =- π .] 4 4 ? 4 ? 6.B [设扇形内切圆半径为 r, 则 r+ =r+2r=a.∴a=3r,∴S 内切=π r . π sin 6 1 2 1 π 1 π 3 S 扇形= α r = ? ?a2= ? ?9r2= π r2. 2 2 3 2 3 2 ∴S 内切∶S 扇形=2∶3.]
3

r

2

7 7.-10π + π 4 解析 ∵-1 485°=-5?360°+315°, 7 ∴-1 485°可以表示为-10π + π . 4 8.25 π 6π 6π 解析 216°=216? = ,l=α ?r= r=30π ,∴r=25. 180 5 5 7 10 9. π 或 π 3 3 7 7 14 7 7 9 20 10 解析 - π + π = π = π ,- π + π = π = π . 6 2 6 3 6 2 6 3 11π 5π π 7π 10.- ,- , , 3 3 3 3 π π 7 解析 由题意,角 α 与 终边相同,则 +2π = π , 3 3 3 π 5 π 11 -2π =- π , -4π =- π . 3 3 3 3 5π 11.解 (1)-1 500°=-1 800°+300°=-10π + , 3 5 ∴-1 500°与 π 终边相同,是第四象限角. 3 23 11 23 11 (2) π =2π + π ,∴ π 与 π 终边相同,是第四象限角. 6 6 6 6 (3)-4=-2π +(2π -4), ∴-4 与 2π -4 终边相同,是第二象限角. 12.解 设扇形的圆心角为 θ ,半径为 r,弧长为 l,面积为 S, 则 l+2r=40,∴l=40-2r. 1 1 2 2 ∴S= lr= ?(40-2r)r=20r-r =-(r-10) +100. 2 2 2 ∴当半径 r=10 cm 时,扇形的面积最大,最大值为 100 cm , l 40-2?10 此时 θ = = =2 rad. r 10 13.4 2 解析 设圆半径为 r,则内接正方形的边长为 2r,圆弧长为 4 2r. 4 2r ∴圆弧所对圆心角|θ |= =4 2.

r

14.解 (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓, π 10π ∵α =60°= ,R=10,∴l=α R= (cm). 3 3 1 10π 1 3? ?π 2 2 S 弓=S 扇-S△= ? ?10- ?10 ?sin 60°=50? - ? (cm ). 2 3 2 3 2 ? ? c-2R (2)扇形周长 c=2R+l=2R+α R,∴α = ,

R

1 1 c-2R 2 1 1 c 2 c 2 2 ∴S 扇= α R = ? ?R = (c-2R)R=-R + cR=-(R- ) + . 2 2 R 2 2 4 16 当且仅当 R= ,即 α =2 时,扇形面积最大,且最大面积是 . 4 16

2

c

c2

4


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