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2011年清北学堂物理集训一入学测试题


2011 年清北学堂物理集训一入学测试题
一、 (15 分)一桁架由 11 根等长的杆组成, A , B ,

?,G 是铰链,如图(a)所示。 A 点刚性固定, G 点只在竖直方向支撑住。忽略杆的重量,一重物 W 挂在 E 处,每根杆受到纯拉伸或压缩力作用。求: A 、 G 点的竖直支撑力和每根杆的拉伸或压缩力。

二、 (15

分)10 个同样的木块一个紧挨着一个地放在水平地面上,如图 3-例 5 所示。每块木块的质量

m ? 0.40千克 ,长 l ? 0.50米 。它们与地面间的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为 ? 2 ? 0.10 。原来
木快处于静止状态。左方第一块木块的左端上方放一质量为 M 擦系数和滑动摩擦系数均为 ?1

? 1.0千克 的小铅块,它与木块间的静摩

? 0.20 。现突然给铅块一向右的初速度 V0 ? 4.3米 / 秒 ,使其在大木块
? 10米 / 秒 2 。

上滑行。试确定铅块最后的位置在何处 (落在地上还是停在哪块木块上) 。 取重力加速度 g 设铅块的线度与 l 相比可以忽略。

三、 (15 分) 讨论河流拐弯处建筑一个堤坝,以防止河水上涨时洪水溢出。显然,堤坝必须足够坚固。一方面要经得住 河水的静压强 ?gh , 其 的高度, 如图 (a ) 所示。 生一个附加的动压强。 中 ? 是水的密度, h 是由坝底到水面 另外, 由于河流弯曲, 水流的冲击将产 试问:这个动压强和坝底静压强之比。

,距离为 d ,在引力作用下绕不 ? m) 动质心作圆周运动。设这两颗星近似为质点。在超新星爆炸中,质量为 M 的星体损失质量 ?M 。假设爆 四、 (15 分)一双星系统,两颗星的质量分别为 M 和 m (设 M 炸是瞬间的、球对称的,并且对残余体不施加任何作用力(或作用力抵消) ,对另一课星也无直接作用。试 求,在什么条件下,余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离。

五、(20 分弹性小球从高 h 处自由落下,落到与水平面成 θ 角的足够长的斜面上,碰撞后以同样大小的 速度弹回来。 (1)求每个弹回点(第一点和第二点,第二点和第三点,……,第 n 点和第(n+1)点)间的距 离 x 、x 、x 、……、x
1-2 2-3 3-4 n-(n+1)

.
1-2

(2)求当斜面以匀速度 u 沿竖直方向向上运动时的 x

的数值.

六、(20 分) 如图所示的系统中滑轮与细绳的质量可忽略不 计,细绳不可伸长,且与滑轮间无摩擦,三个物体的质量分 别为 m 、m 、m ,它们的加速度方向按图示设定。试求这三
1 2 3

个加速度量 a 、a 和 a 。
1 2 3

2011 年寒假物理集训一参考答案 参考答案 一、首先考察整个结构在外力作用下的平衡。由于 不计杆重,外力示于图 7-练 8(b)中,得平衡方

N Ax ? 0


N Ay ? N Gy ? W ? 0 W ? AE ? N Gy ? AG ? 0



1 2 N Ax ? 0 , N Ay ? W , N Gy ? W 3 3

① 然后,吧内力和微粒示于图 7-练 8(c)中,并分 别考察每个连接点的平衡。

A 点 ( 受 三 个 力 N Ay,T1,C 2 ) :
N Ay ? T1 sin 60 ? ? 0 C 2 ? T1 sin 30 ? ? 0
解 ② 得

T1 ?

2 3 3 W,C 2 ? W 9 9

B









T1,T4,C3

) :

T1 sin 30 ? ? C 3 sin 30 ? ? T4 ? 0 T1 sin 60 ? ? C 3 sin 60 ? ? 0
利用式②中 T1 ,解得

C3 ?

2 3 2 3 W,T4 ? W 9 9



: C 点(受四个力 C 2,C3,T5,C 6 )

C 6 ? T5 sin 30 ? ? C 3 sin 30 ? ? C 2 ? 0 C 3 sin 60 ? ? T5 sin 60 ? ? 0
T5 ? 2 3 3 W,C 6 ? W 9 3


利用式②中 C 2 和式③中 C 3 ,解得

: D 点(受四个力 T4,T5,C7,T8 )

T4 ? T5 sin 30 ? ? C 7 sin 30 ? ? T8 ? 0 T5 sin 60 ? ? C 7 sin 60 ? ? 0
2 3 4 3 W,T8 ? W 9 9


利用式③中 T4 和式④中 T5 ,解得 C 7 ?

: E 点(受五个力 W,C6,C7,C9,C10 )

C10 ? C 9 sin 30 ? ? C 7 sin 30 ? ? C 6 ? 0 C 9 sin 60 ? ? C 7 sin 60 ? ? W ? 0


利用式④中 C 6 和式⑤中 C 7 ,解得 C9 ?

4 3 2 3 W,C10 ? W 9 9

: F 点(受三个力 C9,T8,T11 )

T8 ? C 9 sin 30 ? ? T111 sin 30 ? ? 0 C 9 sin 60 ? ? T11 sin 60 ? ? 0
4 3 4 3 W,T8 ? W 9 3


利用式⑤中 T8 和式⑥中 C 9 ,解得 T11 ?

: G 点(受三个力 N Gy,T11,C10 )

T11 sin 30 ? ? C10 ? 0 N Gy ? T11 sin 60 ? ? 0

利用式①中 N Gy 、式⑥ C10 、式⑦中 T11 ,得知此两式为恒等式。这里从式①到式⑦的全部 解均为正值,说明图 7-练 8(c)中所给出各力的反向正确。 二、分析与解 铅块在木块上运动, 一方面由于与木块间摩擦力, 施与木块的力将驱动下面木块有向前运动 的趋势。与此同时铅块速度下降。首先要确定是,如果铅块能量足够,那么铅块在哪一块木 块上运动, 才能驱动铅块所在那一块木块及其前面的木块, 在铅块和木快间的摩擦力推动下 产生运动? 该铅块运动到倒数第 n 块木块上,下面木块开始运动,则 ?1 Mg ? ? 2 ?M ? nm?g 带入相关数据,化简得 2 ? 0.4n ? 1 满足此式的最大整数 n 为 2,即倒数第二块。 铅块有没有足够能量到达倒数第二块呢?假定铅块能量足够大, 滑经前面 8 快后, 速度 为 V ,则有关系:

1 1 MV02 ? ?1 Mg ? 8l ? MV 2 , V ? V02 ? 16 ?1 gl ? 1.6(米 秒) 2 2
说明铅块能量足够大的假设正确,铅块能够运动到第九块木块上。 讨论铅块在第 9 块上运动。设铅块加速度为 a M ,最后两块不块加速度为 a 2 m , M 的相 对加速度为 a ? M ,其数值分别为: a M ? ? ?1 g ? ?2(米 / 秒 )
2

a2m ?

1 ??1 Mg ? ? 2 ?M ? 2m?g ? ? 0.25(米 / 秒2 ) 2m

2 a? M ? a M ? a 2 m ? ?2.25(米 / 秒 )

设 M 滑过第 9 块不快瞬时额相对速度 v ? M ,根据运动学方程有:
2 2 ? v? ? 2a ? M ?V M l , v M ? 0.49(米 / 秒)

这个结果说明铅块能越过第 9 块不快到达最后一块不快。 设此时铅块加速度、 最后一块木块 加速度、M 的相对加速度分别为: a M ? ?2(米 / 秒 )
2

a2m ?

1 ??1 Mg ? ? 2 ?M ? m?g ? ? 1.5(米 / 秒2 ) m

2 ? a? M ? ?3.5(米 / 秒 )

? 设 M 滑过最后一块木块是相对速度为 v ? M ,有运动关系
? 2 ? 2 ?? (v ? M ) ? ?v M ? ? 2a M l ,
止,则 0 ? ?v ? M

? 2 (v ? M ) ? ?3.26 ? 0

这个结果说明铅块只能停在最后一块木块上。设铅块在最后一块木块上经过位移 x,而后停

?2

? ? 2a ? M x,x ? 0.034 (米)

即,铅块最后停在最后一块木块离左端 x ? 0.034 米处 。 三、分析与解 我们讨论张角为 ?? 的那一小段圆弧,如图 4-例 4(b)所示,根据题文要求,我们只需考 虑堤坝基底以上的那部分水流,而且是由河岸 a 、堤坝 b ,以及两个想象的截面 c 和 d 包围 起来的那部分河流体积。动量经由 c 传递到体积内,再由 d 传出去,如图 4-例 4(c)所示 传递动量的速率为

?P ? ?v 2 ? ?Av 2 ?t

其中 ? 为河身单位长度的质量,即 ? ? ?A , A 是位于堤坝基底以上河身的横截面积,

A ? h? 。 由于面 c 和面 d 不是平行的,两面间流水动量的时间变化率(单位时间动量的变换)为
? P ? Pd ? Pc ? ? ?t ?t ?t
由图 4-例 4(d)的矢量图可知,

?P 的方向沿径向向里,且大小为 ?t

? P ?P ? ?? ?t ?t
作用在点上的动态压力指向径向向外,即由河指向堤坝,作用在堤面 ( R?? ) ? h 上面,其大 小相同。因而动压强为

?Av 2 ??v 2 ? ?P ? 动压强 ? ? ?? ? Rh?? ? ? Rh R ? ?t ?
动压强对坝底静压强的比值为

动压强 ??v 2 1 ? v 2 宽度 坝面处水流向心加速度 ? ? ?? ? ? ? 坝底静压强 R ?gh h Rg 深度 g

对于在洪水期间水流速率 4 米/秒的河流,若河流拐弯处曲率半径为 500 米,水深 1 米, 河宽 60 米,则次比值约为 0.2,所以动压强不是不可以忽略的。接近河面处,静压强小,此 比值还要大些。

四、分析与解 原系统在引力作用下,分别绕质心作圆周运动,相互不远离,这是一个被约束的系统,系 统总机械能量必定小于零。在突然发生爆炸,使质量为 M 的星体损失质量 ?M 的情况下, 系统是否为约束系统的判定, 必须把系统总机械能量除去质心平动动能后加以判定, 即判定 质心系中总机械能是否小于零,若小于零,系统便为约束系统,大于或者等于零则不是。 在超新星爆炸之前,质心静止。设以质心为原点, r1 和 r2 为 M 和 m 至质心的距离。则

r1 ? r2 ? d

r1 ?

两星体在万有引力作用下绕质心作圆周运动,设 ? 为运动角速度,写出其中一个星体的运

md Md , r2 ? M ?m M ?m
2

GMm d2 G( M ? m) 2 解得 ? ? d3
动学方程 Mr1? ?

在此式中, ? 仅与两质量之和有关,所以 m 绕质心的角速度也为此值。 超新星爆炸之后瞬间, ?M 脱离星体 M ,剩余的质量 M ? ?M 相对原质心的角度度未

G( M ? ?M )m d 1 1 2 2 在新质心系中的动能为 E rk ? ( M ? ?M )( r1? ) ? m(r2? ) ? E k 0 2 2
变,两星距离未变。所以新系统的新势能为 E p ? ? 其中 E k 0 为质心的动能。为了求出 E k 0 ,先求质心速度:

vc ?

m(r2? ) ? ( M ? ?M )( r1? ) ?M (r1? ) ? M ? ?M ? m M ? ?M ? m

这里利用了两星体速度方向相反这一事实,且 mr2? ? Mr1? 。所以新系统在新质心系中的

G ( M ? ?M )m 1 1 ? ( M ? ?M )( r1? ) 2 ? m(r2? ) 2 d 2 2 总机械能为 2 2 (?M ) (r1? ) 1 ? ( M ? ?M ? m) 2 ( M ? ?M ? m) 2 E p ? Ek ? ?
利用新系统为约束系统的条件为 E p ? E k ? 0 整理后得到: ?M ? 运算中利用了

1 ( M ? m) 2

r Gm m ,以及式 r1 和 r2 的表达式。 r1d? 2 , 1 ? r2 M d

五、参考答案


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