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人教A版高中数学必修1知识点总结


第一章 集合与函数概念
课时一:集合有关概念
1. 集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东 西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2. 一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 3. 集合的元素的三个特性:
(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属 于。例:

世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的 人…… (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 例:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合 例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{…} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 1)列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②Venn 图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。

4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合 例:{x?R|x2=-5}

5、元素与集合的关系:
(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a?A ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

课时二、集合间的基本关系

1.?包含?关系—子集
(1)定义:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有 包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集。记作: A ? B (或 B ? A) 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,; (2)A 与 B 是同一集合。 ? B 或 B? ?A 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ?

2.?相等?关系:A=B
2

(5≥5,且 5≤5,则 5=5)

实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B A) 或若集合 A?B,存在 x? B 且 x?A,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集

课时三、集合的运算
运算类型 定 义 交 集 并 集 由所有属于 A 且属于 B 由所有属于集合 A 或属 的 元 素 所 组 成 的 集 合 , 于集合 B 的元素所组成 叫做 A,B 的交集.记作 的集合,叫做 A,B 的并 A ? B(读作‘A 交 B’), 集.记作: A ? B (读作 即 A ? B= { x|x ? A ,且 ‘A 并 B’),即 A ? B x ? B}. ={x|x ? A,或 x ? B}). 补 集 全集:一般,若一个集合含有我们 所研究问题中的所有元素,我们就 称这个集合为全集,记作:U 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集, 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或 余集)记作 C S A , CSA= {x | x ? S , 且x ? A}

韦恩图示
A B

A

B

S

A

图1

图2



质 A ∩ A=A A ∩Φ=Φ A ∩B=B ? A A ∩B ? A

AUA=A AUB=BUA AUB ? A A ∩B ? B AUB ? B

AUΦ=A

(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(A∩B) AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ.

课时四:函数的有关概念
1. 函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使 对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对

应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x), x∈A. (1)其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; (2)与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫 做函数的值域. 2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3. 函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域 (2)图像法:确定函数图像是否连线,函数的图像可 以是连续的曲线、直线、折线、离散的点 等等。 (3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定 义域的特征。 4、函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈ A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过 来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y), 均在 C 上 . (2) 画法 A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,旋转 变换。 (3)函数图像变换的特点:

1)函数 y=f(x) 关于 X 轴对称 y=-f(x) 2)函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称 y=f(-x) 3)函数 y=f(x) 关于原点对称 y=-f(-x)
课时五:函数的解析表达式,及函数定义域的求法 1、函数解析式的求法 (1) 函数的解析式是函数的一种表示方法, 要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1)代入法: 2)待定系数法: 3)换元法: 4)拼凑法: 2.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数式、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么,它的定义域 是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); ②定义域一致 (两点必须同时具备) 4、区间的概念: (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示 课时六: 1.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域; (2)反函数表示法:针对分式的类型,把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关 于 Y 的函数关系式,由 X 的范围求 Y 的范围(即由反 函数的定义域求原函数的值域)。 (3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的 值域,注意定义域的范围。 (4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的 类型。

课时七 1.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 (4)常用的分段函数 1)取整函数: 2)符号函数: 3)含绝对值的函数: 2.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使 对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,

那么就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作?f(对应关系): A(原象) ?B(象)? 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 注意: 映射是针对自然界中的所有事物而言的, 而函数仅仅是针对数字来说的。 所以函数是映射,而映射不一定是函数 课时八、函数的单调性(局部性质)及最值 1、增减函数 (1)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. (2) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1) >f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单 调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单 调不减两种 2、 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区 间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). ○ (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切 相关,其规律:?同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间 和在一起写成其并集. 课时九:函数的奇偶性(整体性质)

(1)、偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那 么 f(x)就叫做偶函数. (2)、奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数. (3)、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是 ○ 非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断; 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函 ○ 数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇 函数. (4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 1)在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数; 奇函数的加减仍为奇函数; 奇数个奇函数的乘除仍为奇函数; 偶数个奇函数的乘除为偶函数; 一奇一偶的乘积是奇函数; 2)复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数 的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 课时十、函数最值及性质的应用 1、函数的最值 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b);

2、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 3、判断函数单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与 0 作比较,作商法是与 1 作比较。 4、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。 5、在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用 f(0)=0,但是 f(0)=0 并不一定可以判断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数 f(0)=0)。 课时十一 1、 指数与指数幂的运算: 复习初中整数指数幂的运算性质: m n m+n a *a =a m n mn (a ) =a n n n (a*b) =a b 2、 根式的概念: 一般地, 若 xn ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n >1, 且n∈N . 当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数。 此时,a 的 n 次方根用符号 表示。 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示,负的 n 的次方根用符号 表示。正的 n 次 方根与负的 n 次方根可以合并成 (a>0)。 注意:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 式子 叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数。
?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)
*

3、 分数指数幂 正数的分数指数幂
a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a
m
? m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数幂的运算性质 r r ?s r (1) a 〃 a ? a (a ? 0, r, s ? R) ;
r s rs (2) (a ) ? a r r

(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) .

s (3) (ab) ? a a

5、无理数指数幂 a 一般的,无理数指数幂 a (a>0,a 是无理数)是一个确定的实数。有理数指数 幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 课时十二:指数函数的性质及其特点(1)
1、 指数函数的概念: 一般地, 函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.为什么? 2、在同一坐标平面内画出下列函数的图像: (1) (2) (3) (4) (5)
图像特征 a>1 a>1 向X、Y轴正负方向无限延伸 图像关于原点和 Y 轴不对称 函数图像都在 X 轴的上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看图像逐渐 自左向右看图像逐渐 上升。 上升。 在第一象限内图像纵 在第一象限内图像纵 坐标都大于 1。 坐标都大于 1。 在第二象限内图像纵 在第二象限内图像纵 坐标都小于 1。 坐标都大于 1。 图像特征 0<a<1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+ a0=1 增函数 减函数
x

a>1

x>0,a >1 x<0,0<a <1
x

x>0, 0<a <1 x<0,a >1
x

x

函数值开始增加较慢, 函数值开始减小极快, 图像上升的趋势愈来 图像上升的趋势愈来 到了某一值后增长速 到了某一值后减小速 愈陡。 愈陡。 度极快。 度较慢。

课时十三:指数函数的性质及其特点(1) 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5 4 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,值域是 [f (a ), f (b)]或 [f (b), f (a )]; (2)若 x ? 0 ,则 f (x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ;

(3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a>1 时,若 X1<X2 ,则有 f(X1)<f(X2)。

课时十四、对数函数 (一)对数
1. 对数的概念: 一般地, 如果 a x
? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N

的对数,

记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ loga N 3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数 ln N . ○ ? 指数式与对数式的互化 幂值
ab =

真数

N ? log a N = b 对数

底数 指数

(二)对数的运算性质
如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M 〃 N ) ? loga M + loga N ; ○ 2 ○
log a M ? loga M - loga N ; N

3 loga M n ? n loga M ○ 注意:换底公式
loga b ? logc b logc a
bn ?

(n ? R) .

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a
m

1 n log a b ;(2) loga b ? m logb a



(三)对数函数
1、 对数函数的概念: 函数 y ? loga x(a ? 0 , 且 a ? 1) 叫做对数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是(0,+≦). 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? 2 log2 x , y ? log x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5

5

2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点 (1, 0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

课时十五、幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义并且图象都过点(1,1); (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右 边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图 象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.


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