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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第一章 三角函数 1.1.2

时间:2017-04-12


阶 段 一

阶 段 三

1.1

任意角、弧度 弧度制
学 业 分 层 测 评

1.1.2
阶 段 二

1.了解弧度制. 2.会进行弧度与角度的互化.(重点、难点) 3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.(难点、易错点)

[

基础· 初探] 教材整理 1 弧度制的概念

阅读教材 P7 的有关内容,完成下列问题. 1 1.角度制:规定周角的______ 360 为 1 度的角,用度作为单位来度量角的单位 制叫做角度制.

半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作 2.弧度制:把长度等于______
1 rad ,用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制. ______

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大.( (2)圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等.( (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是 1 弧度.( ) ) )

【答案】 (1)× (2)× (3)×

教材整理 2

角度制与弧度制的换算

阅读教材 P8 的全部内容,完成下列问题. 1.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 360° =____ 2π rad 180° =___ π rad 弧度化角度 2π rad=______ 360°

180° π rad=______
180 π 度≈57.30° 1 rad=______

π 180 1° =______rad ≈0.017 45 rad

2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 角度 弧度 角度 弧度 0° 0 120° 2π 3 1° π 180 135° 3π 4 30° π 6 150° 5π 6 45° π 4 180° π 60° π 3 270° 3π 2 90° π 2 360° 2π

3.任意角的弧度数与实数的对应关系

0 正数 ,负角的弧度数是______ 负数 ,零角的弧度数是___. 正角的弧度数是______

3π π (1) 5 =________;(2)-6=________; (3)-120° =________rad;(4)210° =________rad.

【解析】

3π 3 (1) 5 =5×180° =108° ;

π 1 (2)-6=-6×180° =-30° ; π 2 (3)-120° =-120×180=-3π; π 7π (4)210° =210×180= 6 .

2π 7π 【答案】 (1)108° (2)-30° (3)- 3 (4) 6

教材整理 3

扇形的弧长公式及面积公式

阅读教材 P9 的全部内容,完成下列问题. 1.弧度制下的弧长公式: 如图 117,l 是圆心角 α 所对的弧长,r 是半径,则 l r ,弧长 l=____. |α|r 特别地, 圆心角 α 的弧度数的绝对值是|α|=___
|α| 当 r=1 时,弧长 l=___.

2.扇形面积公式:

图 117

|α| 2 在弧度制中,若|α|≤2π,则半径为 r,圆心角为 α 的扇形的面积为 S=2π·πr 1 =______. 2lr

π 若扇形的圆心角为 6 ,半径 r = 1 ,则该扇形的弧长为 ________ ,面积为 ________.
【解析】 π ∵α=6,r=1,

π π ∴弧长 l=α· r=6×1=6, 1 1 π π 面积 S=2lr=2×6×1=12. π π 【答案】 6 12

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
角度制与弧度制的互化

把下列弧度化成角度或角度化成弧度; π 4π (1)-450° ;(2)10;(3)- 3 ;(4)112° 30′.
【精彩点拨】 利用“180° =π”实现角度与弧度的互化.

【自主解答】

π 5π (1)-450° =-450×180 rad=- 2 rad;

π π 180° (2)10 rad=10× π =18° ; 4π 4π 180° (3)- 3 rad=- 3 × π =-240° ; π 5π (4)112° 30′=112.5° =112.5×180 rad= 8 rad.

角度制与弧度制换算的要点: 一抓 二记 三应用 抓住“正对正,负对负,零对0”这个要点 记住常见角对应的弧度数
?180? π 应用1° =180rad,1 rad=? π ?° ?两个基本关系 ? ?

[ 再练一题] 1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度: 2π (1)72° ;(2)-300° ;(3)2;(4)- 9 . π 2π 【解】 (1)72° =72×180 rad= 5 rad;
π 5π (2)-300° =-300×180 rad=- 3 rad; 180° 360° (3)2 rad=2× π = π ≈114.60° ; 2π 2π 180° (4)- 9 rad=- 9 × π =-40° .

用弧度制表示角的集合

用弧度制表示顶点在原点,始边重合于 x 轴的非负半轴,终边落在 阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图 118 所示). 【导学号:06460003】

图 118

【精彩点拨】 先写出边界角的集合,再借助图形写区间角的集合.

【自主解答】

用弧度制先写出边界角,再按逆时针顺序写出区域角,
? ? ?, ? ? ? ? ?, ? ?

? ? ? π 5 (1)?α?-6+2kπ<α<12π+2kπ,k∈Z ? ? ? ? ? ? 3π 3π ? ? (2) α - 4 +2kπ<α< 4 +2kπ,k∈Z ? ? ? ? ? ?π π (3)?α?6+kπ<α<2+kπ,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ?

表示角的集合, 单位制要统一, 不能既含有角度又含有弧度, 如在“α+2kπ?k∈Z?”中,α 必须是用弧度制表示的角,在“α+ k· 360° ,?k∈Z?”中,α 必须是用角度制表示的角.

[ 再练一题] 2.如图 119,用弧度表示顶点在原点,始边重合于 x 轴的非负半轴,终边 落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).

① 图 119



π 【解】 (1)如题图①,以 OA 为终边的角为6+2kπ(k∈Z);以 OB 为终边的 2π 角为- 3 +2kπ(k∈Z), 所以阴影部分内的角的集合为
? ? ? 2π π ?α?- +2kπ<α< +2kπ,k∈Z 3 6 ? ? ? ? ? ?. ? ?

π 2π (2)如题图②,以 OA 为终边的角为3+2kπ(k∈Z);以 OB 为终边的角为 3 + 2kπ(k∈Z).

不妨设右边阴影部分所表示的集合为 M1,左边阴影部分所表示的集合为 M2 , 则
? ? ? π ? M1= α?2kπ<α<3+2kπ, ? ? ? ? ?2π ? k∈Z?,M2=α? 3 ? ? ?

+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z.

所以阴影部分内的角的集合为
? π M1∪M2=α?2kπ<α<3 ?

2π +2kπ 或 3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z.

[ 探究共研型]
扇形的弧长及面积问题

探究 1 公式 l=|α|r 中,“α”可以为角度制角吗? 【提示】 公式 l=|α|r 中,“α”必须为弧度制角.

探究 2 在扇形的弧长 l,半径 r,圆心角 α,面积 S 中,已知其中几个量可 求其余量?举例说明.
【提示】 已知任意两个量可求其余两个量,如已知 α,r,可利用 l=|α|r, 1 求 l,进而求 S=2lr; 1 2 又如已知 S,α,可利用 S=2|α|r ,求 r,进而求 l=|α|r.

一个扇形的周长为 20,则扇形的半径和圆心角各取什么值 时,才能使扇形面积最大?
【精彩点拨】 设出扇形的圆心角、?半径、弧长 →

用半径表示?圆心角 → 求扇形面积 → 转化为二次?函数求最值
【自主解答】 设扇形的圆心角为 α,半径为 r,弧长为 l,则 l=αr,

依题意 l+2r=20,即 αr+2r=20, 20-2r ∴α= r . 由 l=20-2r>0 及 r>0 得 0<r<10,

1 2 1 20-2r 2 ∴S 扇形=2αr =2· r · r =(10-r)r =-(r-5)2+25(0<r<10). ∴当 r=5 时,扇形面积最大为 S=25. 此时 l=10,α=2, 故当扇形半径 r=5,圆心角为 2 rad 时, 扇形面积最大.

灵活运用扇形弧长公式、 面积公式列方程组求解是解决此类 问题的关键,有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最 值问题,将扇形面积表示为半径的函数,转化为 r 的二次函数的 最值问题.

[ 再练一题] 3.已知扇形 OAB 的圆心角为 120° ,半径为 6,求扇形的弧长和面积. π 2π 【解】 ∵α=120×180= 3 .
又 r=6, 2π ∴弧长 l=αr= 3 ×6=4π. 1 1 面积 S=2lr=2×4π×6=12π.

[ 构建· 体系]

1.将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度): 2π 6π (1)15=________;(2)- 5 =________; (3)920° =________;(4)-72° =________.

【解析】

2π 2 (1)15=15×180° =24° .

6π 6 (2)- 5 =-5×180° =-216° . π 46 (3)920° =920×180= 9 π rad. π 2π (4)-72° =-72×180=- 5 rad.

46 【答案】 (1)24° (2)-216° (3) 9 π rad 2π (4)- 5 rad

2.(2016· 北京高一检测)半径长为 2 的圆中,扇形的圆心角为 2 弧度,则扇 形的面积为________.
1 12 1 【解析】 S=2lr=2r · α=2×4×2=4.
【答案】 4

3.圆的半径变为原来的 3 倍,而所对的弧长不变,则该弧所对圆心角是原 来圆弧所对圆心角的________倍.
【解析】 设圆最初半径为 r1,圆心角为 α1,弧长为 l,圆变化后的半径为 r2,圆心角为 α2,则 l l α1=r ,α2=r . 1 2 又 r2=3r1, α2 r1 r1 1 ∴α =r =3r =3. 1 2 1

1 【答案】 3

4.用弧度制表示终边落在 x 轴上方的角的集合为________.

【解析】 若角 α 的终边落在 x 轴的上方, 则 2kπ<α<2kπ+π,k∈Z.
【答案】
? ? ?

α 2kπ<α<2kπ+π,k∈Z

? ? ?

? ? ?

3π π 5.设 α1=-570° ,α2=750° ,β1= 5 ,β2=-3. (1)将 α1,α2 用弧度制表示出来,并指出它们各自的终边所在的象限; (2)将 β1,β2 用角度制表示出来,并在[-720° ,0° )范围内找出与它们终边相 同的所有角. 【解】 (1)∵180° =π rad,
π 19π ∴α1=-570° =-570×180=- 6 5π =-2×2π+ 6 , π 25π π α2=750° =750×180= 6 =2×2π+6. ∴α1 的终边在第二象限,α2 的终边在第一象限.

【导学号:06460004】

3π 3π 180° (2)β1= 5 = 5 × π =108° , 设 θ=108° +k· 360° (k∈Z),则由-720° ≤θ<0° , 即-720° ≤108° +k· 360° <0° , 得 k=-2,或 k=-1. 故在[-720° ,0° )范围内,与 β1 终边相同的角是-612° 和-252° . π β2=-3=-60° , 设 γ=-60° +k· 360° (k∈Z),则由-720° ≤-60° +k · 360° <0° ,得 k=-1, 或 k=0. 故在[-720° ,0° )范围内,与 β2 终边相同的角是-420° .

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________

学业分层测评(二)
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