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数学必修5教材解读


普通高中课程标准实验教科书

人教A必修5教材解读

人教A必修5第一章

解三角形

一、知识结构
正弦定理 余弦定理 解三 角形 应用 举例

二、目标定位
?

对任意三角形边角关系的探索 掌握三角形的边长与角度之间数量关系 解决

与测量和几何计算有关的实际问题

过程
知识
? ?

应用

三、纲标比较
内容 正弦 定理 余弦 定理 《标准》目标表述 《大纲》目标表述 掌握正弦定理、余弦定 理,并能运用它们解斜二角 形,能利用计算器解决解

通过对任意三角形边长 和角度关系的探索,掌握正
弦定理、余弦定理,并能解决 一些简单的三角形度量问题。

斜三角形的计算问题。
通过解三角形的应用的 教学,提高运用所学知识解 决实际问题的能力。
实习作业以测量为内容, 培养学生应用数学知识解决 实际问题的能力和实际操作 的能力。

应用

实习 作业

能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问 题。 根据实际需要,做一个有关测 量的实习作业。培养学生应用 数学知识解决实际问题的能力 和实际操作的能力。

三、纲标比较
内 大纲:关注边角恒等变换 ——侧重运算 容 处 标准:运用知识解决实际问题 理 ——侧重探究和推理能力培养
大纲:解三角形作为向量知识的应用 课 程 ——突出工具性、应用性 定 标准:解三角形作为几何度量处理 位 ——突出几何作用

四、整体分析
? 关注数学情境 ? 强调数学应用 ? 题目丰富多彩

1、关注数学情景

2、强调数学应用
正 弦 定 理 余 弦 定 理 距离问题 高度问题 例1、2 例3、4、5 例6
例7、8——三角形面积 例9——边角关系恒等证明

角度问题
几何计算

3、题目丰富多彩
新旧教材题量比较

例题 练习 习题 复习参考 总题量 课时平均

大纲教材 课标教材 (8课时) (8课时) 7 11 12 19 18 44 9 14 45 88 11 5.6

有明确题号的以一题计

3、题目丰富多彩
新旧教材三类题型统计

题型 大纲教材 标准教材

探究 0 4

开放题 名题 传统题 0 4 1 7 45 80

重视学生自主探究 重视开放题 渗透数学文化 强调“做”中学数 学

五、课时安排(8课时)
1.1正弦定理和余弦定理 约3课时 1.2应用举例 约4课时

1.3实习作业

约1课时

六、案例分析
案例1:如何上好“正弦定理”这节课?

案例1:如何上好“正弦定理”这节课?
1、研读新教材 2、借他山之石 3、回顾老教材

4、课标、教材再研读
5、关于引入

6、关于例题、习题
7、如何上得更好

案例1:如何上好“正弦定理”这节课?
1、研读新教材
问题情境 直角三角形
《解三角形的进一步讨论》

大边对大角——能否将边角关系量化?

锐角三角形 钝角三角形 例题2、已知abA 应用 例题1、已知ABa

探究与发现
已知abA, 能否确定 三角形?

问题

案例1:如何上好“正弦定理”这节课?
1、研读新教材 2、借他山之石 3、回顾老教材
试验,探索规律 猜测一般三角形的结论 量三角板边长, 计算与对应角的正弦比

4、课标、教材再研读
5、关于引入

6、关于例题、习题
7、如何上得更好

研究定理证明的方法 (向量证明)

案例1:如何上好“正弦定理”这节课?
1、研读新教材 2、借他山之石 3、回顾老教材

平面向量的一节
用向量证明

4、课标、教材再研读
5、关于引入

6、关于例题、习题
7、如何上得更好

案例1:如何上好“正弦定理”这节课?
1、研读新教材 2、借他山之石 3、回顾老教材 课标定位:
几何度量非向量应用

4、课标、教材再研读
5、关于引入

这节在本章作用
不用向量证明

6、关于例题、习题
7、如何上得更好

案例1:如何上好“正弦定理”这节课?
1、研读新教材 2、借他山之石 3、回顾老教材

4、课标、教材再研读
5、关于引入 创建最近发展区

6、关于例题、习题
7、如何上得更好

案例1:如何上好“正弦定理”这节课?
1、研读新教材 2、借他山之石 3、回顾老教材

4、课标、教材再研读
5、关于引入 挖掘例题价值 优于增加数量

6、关于例题、习题
7、如何上得更好

案例1:如何上好“正弦定理”这节课?
1、研读新教材 2、借他山之石 3、回顾老教材

4、课标、教材再研读
5、关于引入 体验知识内在联系

6、关于例题、习题
7、如何上得更好

感受数学人文精神

必修5第二章





一、知识结构
数 列
等 差 数 列 等 比 数 列

通项公式 前n项和 数 列 的 应 用

通项公式 前n项和

二、目标定位
? 数列作为一种特殊的函数,是反映

自然规律的基本数学模型。
? 掌握他们一些基本数量关系,感受

他们的应用。

三、纲标比较
数列
数 列 概 念 表 示 方 法 递 推 公 式 与 函 数 关 系 概 念

等差数列
通 项 公 式 前 n 项和 与 函 数 关 系 概 念

等比数列
通 项 公 式 前 n 项 和 与 函 数 关 系

大 纲 要 求
标 准 要 求

理 解

了 解

了 解

了 解

理 解

掌 握 运 用
掌 握 运 用

掌握 运用

理 解

掌 握 运 用
掌 握 运 用

掌 握 运 用
掌 握 运 用 体 会

了 解

了 解

了 解

理 解

掌握 运用

体 会

理 解

大纲、标准比较分析
教学 纲标:知识基本相同 要求 课标:突出与函数的联系 内容 大纲:数列各量间恒等变形 处理 课标:强调函数本质、重应用

四、整体分析
? 强调本质:以函数观点统领数列 ? 高屋建瓴:把思想方法落到实处 ? 关注过程:新颖别致的呈现方式

强调本质:以函数观点统领数列

1)是老教材保留题,为什么值得保留? 2)新旧教材处理方式相同吗? 3)接下来的“探究”起什么作用? 4)教学挖掘到何深度?
P38

高屋建瓴:把思想方法落到实处
类比思想 ? 归纳思想 ? 数形结合 ? 方程思想 ? 算法思想
?
?

特殊到一般

关注过程:新颖别致的呈现方式
现实情境 数学模型

应用于现实问题

五、课时安排
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 数列的概念与简单表示 等差数列 等差数列前n项和 等比数列 等比数列前n项和 小结 约2课时 约2课时 约2课时 约2课时 约2课时 约2课时

六、案例分析

案例2 从多边形数到棱锥数
传说毕达哥拉斯本人用一点(或一个 小石子)代表1,两个石子代表2,三 个小石子)代表3,来构造三角形数 和正方形数。在世界数学史上首次建 立了数和形之间的联系。 晚期的该学派成员则讨论了各种平面 数(包括三角形数、正方形数、长方 形数、五边形数、六边形数等等)和 立体数(包括立方数、棱锥数等等)。

案例2 从多边形数到棱锥数
?问题1 依次计算数列的前四项值: 1, 1+2+1, 1+2+3+2+1, 1+2+3+4+3+2+1, …… 由此猜测: 的结果,并加以证明。

an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? ? n ? 1? ? ? ? 3 ? 2 ? 1

案例2 从多边形数到棱锥数

正方形数

案例2 从多边形数到棱锥数
?

古希腊(公元4世纪)在《算术引论》中:
an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? n
2

或许是从正方形数的构造中发现上述结论。

案例2 从多边形数到棱锥数
? 问题2(2006广东数学高考题) 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗 里用同样的乒乓球成若干堆“正三棱锥”形的展品, 其中第一堆只有一层,就一个球,第2、3、4 堆最底 层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层 开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f(n) 表示第 n 堆的乒乓球总 数,则 f (3) =______, f (n) =______。

案例2 从多边形数到棱锥数
? 后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术
引论》中将多边形数推广到立体数。前四个三

棱锥数为

1

1+3

1+3+6

1+3+6+10

案例2: 从多边形数到棱锥数
第n个三棱锥数为
n(n ? 1) n(n ? 1)(n ? 2) 1? 3 ? 6 ??? ? 2 6
(Nicomachus, 1世纪)

案例2 从多边形数到棱锥数
前四个四棱锥数为

?

1

1+4

1+4+9

1+4+9+16
6

? 第n个四棱锥数为 4 ? 9 ? ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 1?

案例3:教学设计 等比数列的前n项和 (第一课时)

一、内容解析
等比数列的前n项和是数列本章重要内容, 是“等差数列及其前n项和”与“等比数列” 内容的延续、与函数等知识有着密切的联系。 公式在现实生活中有着广泛的实际应用。 错位相减法是求等比数列的一种独特的方 法,也是一种算法。其设计思路是“消除差 别”,从而达到化简的目的。 公式推导过程中所渗透的类比、化归、分 类讨论、等思想方法. 重点是掌握公式的结构以及推导过程。

二、目标解析
1. 掌握公式的结构特点, 2. 理解等比数列前n项和公式推导方法 ——错位相减法; 3. 能运用公式解决一些简单问题 4. 通过对公式推导方法的探索,渗透特 殊到一般、分类讨论等思想方法。

三、教学问题诊断
学生很容易把本节内容与等差数列前n项 和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是 认知的有利因素. 本节公式的推导与等差数列前n项和公式 的推导有着本质的不同,这对学生的思维定势 是一个突破,特别是通过分析公式结构特点, 理解错位相减法。 对于q=1这一特殊情况,学生往往容易忽 视,尤其是在后面使用的过程中容易出错.但 教师没必要在此过分纠缠。 难点:通过分析公式结构特点,理解错位 相减法。

四、教学过程
创设情境, 提出问题 讨论交流, 延伸拓展 总结归纳, 加深理解 师生互动, 探究问题 变式训练, 深化认识 故事结束, 首尾呼应 类比联想, 解决问题 例题讲解, 形成技能

课后作业, 分层练习

1.创设情境,提出问题
印度国际象棋发明者的故事
问题1:你们知道西萨要的是多少小麦吗?

1+ 2+ 22 + 23 + ??? + 263 =

(西 萨)

2.师生互动,探究问题
问题2: 发明者要求的麦粒总数是: S64=1+2+22+·+263 · · ①

上式有何特点?
问题3:如果①式两边同乘以2得 2S64=2+22+23+·+263+264 ② · · 比较①、②两式,有什么关系?

错位相减法
S64=1+2+22+23+·+263 · ·
2S64= 2+22+23+·+263+264 · ·




两式上下相对的项完全相同, 相减,就可以消去相同的项

3.类比联想,解决问题
问题4:设等比数列{an},首项为a1, 公比为q,如何求前项和Sn?

sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? ? ? a1q n?1
qsn ? a1q ? a1q ? ? ? ? ? a1q
2 n?1

? a1q

n

a1 - a1q n s 问题5: 由(1 - q)sn = a1 - a1q n 得n = 1 - q

对公比q有限制吗

问题6:结合等比数列通项 an = a1q 如何把 sn 用 a1、an、q 表示?

n-1

4.讨论交流,延伸拓展
sn = a1 + a1q + a1q 2 + ? ? ? + a1qn-1 思路1: = a1 + q(a1 + a2 ? ? ? ? + an-1 )
a 2 a 3 a4 an 思路2: = = = ??? = =q a1 a2 a3 an-1

5.变式训练,深化认识
例1: 求等比数列 1 , 1 , 1 , 1 , ? ? ? 前8项和. 2 4 8 16

练习:等比数列{ an}中 ① a1= 8,an=0.5 , q=0.5 ,求Sn; ② a1= 2,S3= 26 , 求a3 , q; ③ a1=2 , S3=6 , 求q.

求q 例2、等比数列{an}中,S2=7,S4=28.
解:当q=1时,不符合题义
a1 (1 ? q 2 ) S2 ? 1? q

和S6

a1 (1 ? q 4 ) S4 ? 1? q

S2 1 ? q 2 1 ? q2 7 1 ? ? ? ? 4 2 2 S4 1 ? q (1 ? q )(1 ? q ) 28 4

1? q ? 4
2

q ?3
2

?q ? ? 3

6.总结归纳,加深理解
问题6 本节课你有哪些收获?

7.故事结束,首尾呼应
1 - 264 S64 = = 264 - 1 ≈ 1.84 ? 1019 (粒) 1- 2 约7000亿吨

五、教学目标检测
教材P58练习1、2、3

案例4:教学设计 等差数列的前n项和
数列和的概念 公式2个 简单应用

必修5第三章

不等式

一、知识结构

二、目标定位
通过具体情境,感受在现实世界和日常 生活中存在着大量的不等关系。 ? 掌握一元二次不等式; 二元一次不等式组(线性规划); 基本不等式及其简单应用; ? 体会不等式、方程及函数之间联系。
?

三、纲标比较
大纲 不等 式的 性质 不等 关系 标准 理解不等式的 性质及其证明。

通过具体情境,感受在现实世 界和日常生活中存在着大量的 不等关系,了解不等式(组) 的实际背景。 增强:不等式(组)反映不等关系的 数学模型

三、纲标比较
一元 二次 不等 式 大纲 标准 ①经历从实际情境中抽象出一元 掌握二次不 二次不等式模型的过程。 等式的解法。 ②通过函数图像了解一元二次不 等式与相应函数、方程的联系。 ③会解一元二次不等式

加强与函数、方程的联系; 加强了数形结合

三、纲标比较
课标 线性 规划 问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义,能用平 面区域表示二元一次不等式组 ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性 规划问题,并能加以解决

大纲
解二元一次不等式的几何意义,能用平 面区域表示二元一次不等式组 一些简单的二元线性规划问题,并能加 以解决

基 本 不 等 式

①探索并了解基本不等式 掌握两个(不扩展到 的证明过程。 三个)正数的算术平均 ②会用基本不等式解决简 数不小于它们的几何平 均数的定理。并会简单 单的最大(小)问题。 的应用。

删减:用基本不等式作推理证明。

三、纲标比较
课标 大纲

不等式 的证明
绝对值 不等式 解不等 式

掌握分析法、综合法、比 较法证明简单的不等式。
简单的绝对值不等式; |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 解高次不等式、无理不等式、 分式不等式

四、整体分析
? 淡化技巧、强化应用

? 内容要求变化较大

淡化技巧、强化应用

只有两个例题(应用题)

没有用基本不等式作推理证明的题

高一 (上)第一章《集合 与简易逻辑》 ╳.4 绝对值不等式的解 约2课时 1 1 √ .5 一元二次不等式的解法 约4课时

3.2一元二次不等式及其解法

高二数学(上)第六章《不等式》 3.1不等关系与不等式 6.1 √ 不等式的性质 6.2 3.4基本不等式 √ 算术平均数与几何平均数 6.3 ╳ 不等式的证明 ╳ 不等式的解法举例 6.4 ╳ 含有绝对值的不等式 6.5 高二(上)第七章《直线和圆的方程》 3.3二元一次方程组 √7.4线性规划 约3课时 与简单线性规划

五、课时安排
3.1 不等关系(含不等式性质) 2 3.2 一元二次不等式及其解法 3 3.3 二元一次不等式(组) 5 与简单线性规划问题 3.4 基本不等式 3 小结与复习 3

六、案例分析
案例4:基本不等式的代数、几何背景

案例4:基本不等式的代数、几何背景
?

设AB是圆的直径,点C是AB上一点,过 点C作DC⊥AB(D在圆上)。设AC=a, BC=b,则:
CD ? ab R ?
a?b 2
D



旧教材
A

B C

人教B

案例4:基本不等式的代数、几何背景
人教A

案例4:基本不等式的代数、几何背景

(2007北京高考) 2002年在北京召开的国际数学家大会,会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计 的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小 正方形拼成的一个大正方形(如图).如果 小正方形的面积为1,大正方形的面积为25, 直角三角形中较小的锐角为,那么的值等于 .

案例4:基本不等式的代数、几何背景
2(x+y)为周长 x· 为面积 y

y

x

案例4:基本不等式的代数、几何背景
曲线和直线有交点 相切时c最大 相切时y=x=m 最大c=m2
x? y 2 xy ? ( ) 2

曲线族xy=c

固定直线:x+y=2m

案例4:基本不等式的代数、几何背景
推广到n个量:x1,x2,x3….xn

不作要求,但
《推理与证明》

几何平均值 g ? n x1 x2 ? xn 算术平均值
x1 ? x2 ? ? ? xn m? n

g?m

作为n个测量值的“最佳”

案例4:基本不等式的代数、几何背景
(1994年高考)
在测量某物理量的过程中,因仪器和观 察的误差,使得n次测量分别得到a1, a2,…an,共n个数据,我们规定所测 物理量的“最佳近似值”a是这样一个 量:与其它近似值比较,a与各数据的差 的平方和最小,依此规定,从a1, a2,…an推出的a=____.

a1 ? a2 ? ? ? an a? n

案例4:基本不等式的代数、几何背景
(u ? x1 ) ? (u ? x2 ) ? ? ? (u ? xn )
2 2 2

最小二乘法
如果测量值近似在一条直线

线性回归方程的目标函数
Q ? ? ( yi ? bxi ? a) 2
i ?1 n

选修4—5《不等式选讲》目录
? 第一讲

不等式和绝对值不等式 ? 第二讲 证明不等式的基本方法 ? 第三讲 柯西不等式与排序不等式 ? 第四讲 数学归纳法证明不等式

脑 中 有 教 材 手 里 有 方 法

脚下必有路 心 中 有 学 生 眼 里 有 理 谢谢大家 念


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