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《对数与对数运算》课件


2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算

1.对数的概念

我们知道x大约2点多,但 是我们能不能具体算出来? 或者表达出来呢?

一般地,如果 a ? N(a
x

? 0且a ? 1 )

那么

x

叫做

以 a 为底 N 的对数, 记作:

a 叫做对数的底数, N 叫做真数.


指数

真数

对数

底数 (1)真数N大于零,负数和零没有对数; (2)求指数的运算称为对数运算,对数和指数互 为逆运算; (3)底数 .

2.两个特殊的对数 常用对数:

lg N 以10为底 N 的对数,记作:
自然对数:

ln 以 e 为底 N 的对数, 记作:

N

(e ? 2.71828? ? 1)

3. 对数恒等式:

(1)l o ga 1 ? 0 (2) l o ga a ? 1 (3)a
l o ga N

?N
m

(4) l o ga a ? m

例题展示
例1.(1)下列指数式与对数式的互化,不正确的一组是 ( C ).
A.e0=1 与 ln1=0 1 1 1 B.8 =2与 log82=-3
? 1 3

C.log39=2 与 9 =3 D.log77=1 与 71=7

1 2

(2)根据对数定义,把下列对数式写成指数式:
①loga1=0(a>0,且 a≠1); ③lg0.000 1=-4;
(做一做)练习: 求下列各式的值

1 1 ②log162=-4; ④lg2=0.301 0.

() 1 log5 25

(3) lg1000

1 (2) log 2 16

(4) lg0.001

例2.设loga2=m, loga3=n, 求am+n.

解析:loga2=m

am =2 an =3

loga3=n

比较指数式、根式、对数式:
表达 形式 a b N 对应的运算

ab=N
logaN=b

底数
底数

指数
对数

幂 真数

乘方, 由a,b求N 对数, 由a,N求b

指数运算法则 :

a ?a ? a
m n m

m?n

(m, n ? R )

a m?n ? a ( m, n ? R ) n a m n mn ( a ) ? a ( m, n ? R ) ( ab) ? a ? b (n ? R )
n n n

log a M + log a N =

?

证明(1)设 loga M ? p,

loga N ? q,

由对数的定义可以得: M

?a , N ?a
p

q



p?q a a MN ? ? a ? loga MN ? p ? q

p

q

即得

loga MN ? loga M ? loga N

1.对数运算法则:

如果a ? 0, 且a ? 1, M ? 0, N ? 0, 那么: () 1 loga M ? N=loga M ? loga N ;
M ( 2) log a ? log a M ? log a N ; N

(3)loga M ? n loga M (n ? R)
n

证明:③设 loga M ? p, 由对数的定义可以得: M

?a ,
p



M ?a
n

np

? loga M n ? np

即证得

loga M ? nlog (3) a M(n ? R)
n

例1 用 loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

解(1)

xy log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

xy (1)log a ; z

(2) log a

x

2 3

y z

解(2) loga

x2 y
3

z

? loga ( x 2 y ) ? loga z
1 2

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 3

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

x ? 3? log a yz

? 4 ? log a

x2 y
3

z

1 解:(3)原式 ? log a x ? log a y ? log a z 2 1 1 (4)原式=2 log a x+ log a y- log a z 2 3

7 例2 计算: (1) lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 解法一: 解法二: 7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 ? lg(2 ? 7) ? 2 lg 3 3 2 ? lg 7 ? lg(2 ? 3 ) 14? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg 1 ? 0 ?0
自然对数

...) log10 N ? lg N常用对数 loge N ? ln N (e ? 2.71828

lg 243 (2) lg 9

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 (3) lg1.2

lg 243 lg 35 ? 5 lg 3 ? 5 解: (2) ? 2 2 lg 3 lg 9 lg 32

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 23 ? 3 lg(10) (3) ? 3 ? 22 lg1.2 lg 10

1 3 2

1 2

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) ? 2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1

3 ? 2

练习 1.求下列各式的值: (1) log2 6 ? log2 3
(2) lg 5 ? lg 2
6 ? log 2 ? log2 2 ? 1 3 ? lg(5 ? 2) ? lg10 ? 1

1 (3) log 5 3 ? log 5 3

1 ? log 5 (3 ? ) ? log5 1 ? 0 3 5 ?1 ? log ? ?1 ? log 3 3 (4) log3 5 ? log3 15 3 15

2.换底公式:

log b N log a N ? log b a

1 (1)log a b ? log b a
( 2) log a m n b ? log a b m
n

12 例3(1)已知loga2=m,loga3=n,则a2m+n=________.
解:∵loga2=m,loga3=n,
∴am=2,an=3. ∴a2m+n=(am)2·an=12. (2)若log4[log3(log3x)]=0,求x的值. 解:∵log4[log3(log3x)]=0,

∴log3(log3x)=40=1.
∴log3x=31=3.∴x=33=27.

例4 计算下列各式的值
(1) 71?log7 5 ; (2) 4
1 (log 2 9?log 2 5) 2



(3) aloga b?logb c (a,b 为不等于 1 的正数,c>0).

思路分析 解答本题可使用对数恒等式和换底公式
来化简求值.

7 解:(1)原式= log 7 5 =5. 7
7

(2)原式= 2

(log 2 9?log 2 5)

9 2 ? log2 5 =5. 2 = blogb c =c.
a

log 2 9

(3)原式= (a

log a b log b c

)

思路分析与总结:要牢记对数恒等式.对于对数恒等式 a log N =N
要注意:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为 对数的真数.

(1)指数与对数互为逆运算;
(2)对数的运算性质及换底公式; (3)熟练掌握对数与指数的互化,能够利用指数解决对数问题.

2、积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

l oga (MN) ? l oga M ? l oga N M l oga ? l oga M ? l oga N N n l oga M ? n l oga M(n ? R)

(1) (2) (3)


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