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惠州市2015届高三第一次调研考试(理科数学试题)


惠州市 2015 届高三第一次调研考试
数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其

他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.复数 z ?

A. ?

1 2

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 ( 1? i 1 1 B. i C. 2 2



1 D. ? i 2


2.已知集合 A ? { y y ? x ? 1, x ? R} , B ? {x x ? 2} ,则下列结论正确的是(

C. A ? B ? B D. A ? B ? B 900、 1200 人,现用分层抽样的方法从该 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、 A. ? 3 ? A B. 3 ? B
校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30
)
4 3 2 正视图 侧视图 3 俯视图 3

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? (

B. 36 C. 54 D. 72 1 5 2 4 5.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是( ) x A. 10 B. ? 10 C. ? 5 D. 20

A. 18

6.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于(



A. 30

B. 12

7.已知 x , y 都是区间 [0,

?
2

C. 24

D. 4

] 内任取的一个实数,则使得 y ? sin x 的取值的概率是(
C.



A.

4 ?2

B.

2

?

1 2

D.

2 ?2

惠州市 2015 届高三第一次调研考试(理科数学) 第 1 页共 1 页

8.已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a ? b 为 a 与 b 的“向量积” ,且 a ? b 是一个向量,它的 长度 a ? b ? a b sin ? ,若 u ? (2,0) , u ? v ? (1, ? 3) ,则 u ? (u ? v) ? (

r

r r



A. 4 3

B.

3

C. 6

D. 2 3

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 函数 y ? log 3 (3 x ? 2) 的定义域是 . .

10.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线方程是 11.用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有____________个.

?x ? 0 ? 12.设变量 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 ?y ? 1 ?

.

13.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ' ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解 集为 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中, A,B 分别是直线 ? cos? ? ? sin ? ? 5 ? 0 和 圆 ? ? 2 sin ? 上的动点,则 A,B 两点之间距离的最小值是 15.(几何证明选讲选做题)如图所示, ?OAB 是等腰三角形, P 是底边 AB 延长线上一点, 且 PO ? 3 , PA ? PB ? 4 ,则腰长 OA = . O .

A B P 三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分)

(2)求

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2 (1)求 tan x 的值; cos2 x
已知 sin

2 cos( ? x) ? sin x 4
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?

的值.

17. (本小题满分 12 分) 去年 2 月 29 日,我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0 ? 50 为 优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测,得到每 天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为 ? 5,15? ,

?15,25? , ? 25,35? , ?35,45? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.
(1) 求 a 的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (注:设样本数据第 i 组的频率为 pi ,第 i 组区间的中点值为 xi ? i ? 1, 2,3, 数据的平均值为 X ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ?

, n? ,则样本

? xn pn .)

(3) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为“特优等级” ,则从这一年的监测数据中随 机抽取 3 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 频率 组距 0.032

a

0.020 0.018

O 18.(本小题满分 14 分)

5 15 25 35 45 空气质量指数

如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且 AA 1 ? AB ? 2 (1) 求证: AB ? BC ; (2) 若直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角为

? ,求锐二面角 A ? AC ? B 的大小。 1 6
A1 B1 C1

A
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C B

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3,前 n 项和 S n ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都 ? an an?1 ?

成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分)

1 x2 y 2 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 . 2 a b
(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的 圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. y l

A

P x A2

F1 O B 21. (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f ( x) ? ?

F2

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc , 其导函数为 f ?( x ) . 记函数 g ( x) ? f ?( x) 在 3

区间 ? ?11 , ? 上的最大值为 M . (1) 如果函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 ,试确定 b、c 的值; 3

(2) 若 b ? 1,证明对任意的 c ,都有 M ? 2 ; (3) 若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值.
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