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利用导数判断函数的单调性


1.3.1利用导数判断函 数的单调性

一、复习回顾:基本初等函数的导数公式

(3)三角函数 : ( 1)(s in x ) ? ? c o s x ( 2 )(c o s x ) ? ? ? s in x (4)对数函数的导数: (5)指数函数的导数:
x

1 (1 ) (ln x )? ? . ( 2

) x

1 (log a x ) ? ? . x ln a

x x x ? ( 2 ) ( a ) ? a ln a ( a ? 0 , a ? 1 ). ? (1 ) ( e ) ? e .

导数运算法则
' ' 1). ? f x ? g x ? f x ? g ? ? ?? ? ? ? x?; ? ? ? '
' ' ' 2). ? f x ? g x ? f x g x ? f x g ? ? ? ? ? ? ? ? x?; ? ? ? ? ?? 3).

? g ? x ? ? 0?.

' ' ? f ? x? ? f ? x? g ? x? ? f ? x? g ? x? ? ? ? 2 ? ? g ? x? ? ? g ? x ?? ? '

二、复习引入:
设函数 y = f (x) 的定义域为I,D是I 的子集,当 对任意的两个 变量x 1、x 2 ∈D 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在D 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在D 上是减函数;

y

y

o

a

b

x

o

a

b

x

若 f(x) 在D上是增函数或减函数, D 称为单调区间

思考:函数在区间上单调和函数的单调 区间两者所指的区间一样吗?

定义法
判断函数单调性有哪些方法? 图象法

y ? x ? 3x ?
3
2 y ? x 比如:判断函数 的单调性。 y 如图: 减 函数, 函数在 ( ?? , 0)上为____ 增 函数。 在 (0, ?? ) 上为____

y? x

2

这种高次函数或者非基本初等如果用定义或者图像很难讨 论其单调性。由前面我们学习的导数知识可知:由导数 的相关知识可以讨论函数的单调性。那么,由导数如何来 讨论其函数的单调性呢?

o

x

用定义证明函数的单调性的一般步骤: (1)任取 x1、x2∈D,且x1< x2. (2)作差 f(x1)-f(x2)
(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (4)定号(判断差f(x1)-f(x2)的正负)(与0比较) (5)结论

用定义证明函数的单调性的一般步骤(改进) (1)任取 x1、x2∈D,

(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)

(5)结论

问题探究

讨论函数y=x2-4x+3的单调性.

新课讲授
函数的单调性与导数的关系
观察分析下面函数的图象,探讨函数的单调 性与其导数正负的关系.

y

y

y
y? x x O
2

y

y? x
O

y? x
x

3

x

O
(2)

O
(4)

1 y? x x

(1)

(3)

函数单调性判断的充分条件:

1.如果在区间(a,b)内,f ' (x)>0,则f(x) 在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的单调 增区间; 2.如果在区间(a,b)内,f ' (x)<0,则f(x) 在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的单调 减区间; 3.如果恒有f ' (x)=0 ,则f(x)是常函数。

思考:
y

y=x3

O

x

定理:

例1、已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0;

当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f ( x ) 的图象的大致形状.
解: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x )在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0,可知 f ( x )在此区 间内单调递减; y 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,

f ?( x) ? 0.
综上, 函数 f ( x )图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4

x

练习1:已知导函数的下列信息:

分析:

当2 ? x ? 3时,f '( x ) ? 0;

? f ( x )在此区间递减

当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0; ? f ( x )在此区间递增 当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0. ? f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降

试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。
y ? f ( x)

变化,切线平行x轴
y ? f ( x)

y A B

y A B

o

2

3 x

o

2

3 x

练习2:

函数 y ? f 的大致形状

( x ) 的图象如图所示, 试画出导函数 f ?( x )图象

y

y? ? f ? ? x ?

O

a

b

c

x

(04浙江理工类)

y ? f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数, 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y ? f ( x)
1 2 x

y

y ? f '( x )
2 x

o
y

(A)

(B)
y

o

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

ln x 【例 2】 证明:函数 f(x)= x 在区间(0,e)上是增函数. [思路探索] 利用函数单调性与导数间的关系进行判断. 1 x· x-ln x 1-ln x ln x 证明 ∵f(x)= x ,∴f′(x)= x2 = x2 . 又 0<x<e,∴ln x<ln e=1. 1-ln x ∴f′(x)= x2 >0,故 f(x)在区间(0,e)上是单调递增函数.

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练习

求证: 函数 f

(x) ? 2 x ? 6 x ? 7
3 2

在 ( 0 , 2 ) 内是减函数.

解:

f (x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? 7 ? f ?( x ) ? 6 x 2 ? 1 2 x .

? ( x ) ? 0 , 解得 0 ? x ? 2 , 所以函数 f ( x ) 的递减区间是 ( 0 , 2 ) , 即函数 f ( x ) 在 ( 0 , 2 ) 内是减
由f 函数.

?π ? sin x 【变式】 试证明:函数 f(x)= x 在区间?2,π?上单调递减. ? ?

证明

?π ? xcos x-sin x f′(x)= ,又 x∈?2,π?, x2 ? ?

则 cos x<0,∴xcos x-sin x<0,
?π ? ∴f′(x)<0,∴f(x)在?2,π?上是减函数. ? ?

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【变式】 已知 a>0,且 a≠1,证明函数 y=ax-xln a 在(-∞,0) 内是减函数. [思路分析] 求出y′ → y′恒小于零 → 函数为减函数 解 y′=axln a-ln a=ln a(ax-1) 当 a>1 时,∵ln a>0,ax<1, ∴y′<0,即 y 在(-∞,0)内是减函数; 当 0<a<1 时,∵ln a<0,ax>1, ∴y′<0,即 y 在(-∞,0)内是减函数. 综上,函数在(-∞,0)内是减函数.
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例3、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x3 ? 3x; (2) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3; 3 解: (1) 因为 f ( x) ? x ? 3x , 所以 2 2 ? f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0.
因此, 函数

f ( x) ? x ? 3x 在 x ? R 上单调递增.
3

f ( x) ? x 3 ? 3 x

x ? 2 x ? 3, 所以 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1). 2 ? f ( x ) ? 0 当 , 即 x ? 1 时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递增; 2 当 f ?( x ) ? 0 , 即 x ? 1 时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递减. 2 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 单调递增区间为: ?1, ?? ? ; 单调递减区间为: ? ??,1?
2

(2) 因为 f ( x) ?

例3、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2x3 ? 3x 2 ? 24x ? 1. 解: (3) 因为 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) , 所以 f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0. 因此, 函数 f ( x) ? sin x ? x 在 x ? (0, ? ) 上单调递减.
?1 ? ? f ( x ) ? 0 当 , 即x ? [ 17 2 ?1 ? 17 , ?? ), x ? ( ??, ] 时, 2

2 3 2 (4) 因为 f ( x) ? 2x ? 3x ? 24x ? 1, 所以 f ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 24

函数 f ( x ) 单调递增; ?1 ? 17 ?1 ? 17 ? f ( x ) ? 0 x ? [ , ] 时, 函数 f ( x )单调递减. 当 ,即 函数 f
2 ?1 ? 17 ?1 ? 17 ( x) 单调递增区为: [ , ?? ),( ??, ]; 2 2 2

?1 ? 17 ?1 ? 17 [ , ] 单调递减区间为: 2 2

总结:
求函数y=f(x)单调区间的步骤:

【变式1】 求下列函数的单调区间.

(1)f(x)=x3-x;(2)y=ex-x+1.
解 (1)f′(x)=3x2-1=( 3x+1)( 3x-1),
? x∈?-∞,- ? ? x∈?- ? ? 3? ? 3 ?和? ?, 3 ? ? 3 ,+∞?

令 f′(x)>0,则 令 f′(x)<0,则 ∴f(x)=x -x
? 区间为?- ?
3

3 3? ?. , 3 3?
? 3? ? 3 ?和? ?,单调减 ,+∞ 3? ?3 ?

? 的单调增区间为?-∞,- ?

3 3? ?. , 3 3?

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(2)y′=ex-1,令 y′>0,即 ex-1>0, 则 x∈(0,+∞);令 y′<0,即 ex-1<0,则 x∈(-∞,0),

∴y=ex-x+1 的单调增区间(0,+∞),单调减区间为(-∞,0).

利用导数求函数 f(x)的单调区间,实质上是转化为解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0,不等式的解集就是函数的单调区间.注意: 如果函数的单调区间不止一个时,单调区间应用“,”、“和” 等连接,而不能写成并集的形式.

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【变式 2】 求函数 y=x2-ln x2 的单调区间. 解 ∵函数 y=f(x)=x2-ln x2 的定义域为(-∞,0)∪(0,+

2 2?x2-1? 2?x-1??x+1? ∞),又 f′(x)=2x-x = = , x x ∴f′(x),f(x)的取值变化情况如下表:

x
f′(x) f ( x)

(-∞,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+∞)
- 0 1 + - 0 1 +

由上表可知,函数 f(x)=x2-ln x2 在区间(-1,0),(1,+∞)上单调 递增;在区间(-∞,-1),(0,1)上单调递减.
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(04年全国理)

函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数( B ) ? 3? 3? 5? A. ( , ) B. (? , 2? ) C . ( , ) D. (2? , 3? ) 2 2 2 2

解: y ' ? x 'cos x ? x(cos x)'? (sin x)'
? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x
y o
2?

y ? sin x
3?

?

x

如图,当x ? (? , 2? )时, sin x ? 0,?? x sin x ? 0,

即:y ' ? 0

?该函数在(? , 2? )上为增函数。

例4、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.

h

h

h

h

O

t

O

t

O

t

O

t

(A)

(B)

(C)

(D)

解:() 1 ? (B),(2) ? ( A),(3) ? ( D),(4) ? (C)

通过函数图像,不仅可以看出函数的增或减,还可 以看出其变化的快慢,结合图像,从导数的角度解 释变化快慢的情况。
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数

的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得
快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.

如图,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0 , b ) 或 ( a , 0 ) 内的图
象“陡峭”,在 ( b , ? ? ) 或 ( ? ? , a ) 内的图象 “平缓”.

练习:如图,设有圆C和定点O, 当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速 旋转(旋转角度不超过90°)时, 它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数,它的图象大致是 下列四种情况中的哪一种?

解:由于是匀速旋转,阴影部分的面积 S(t)开始和最后时段缓慢增加,中间时段S 增速快, 图A表示S的增速是常数,与实际不符, 图A应否定; 图B表示最后时段S的增速快,也与实际 不符,图B也应否定; 图C表示开始时段与最后时段S的增速快, 也与实际不符,图C也应否定; 图D表示开始与结束时段,S的增速慢, 中间的时段增速快,符合实际,应选D。

例5:若函数f ? x ? ? ax - x ? x - 5在 ? -?, ?? ? 上
3 2

单调递增,求a 的取值范围

解:f ? x ? ? ax - x ? x - 5在?-?, ??? 上单调递增,
3 2

? f '( x ) ? 3ax - 2x ? 1 ? 0在(-?,+?)上恒成立。 1 ?a ? 0 ?a ? ?? 3 ?? ? 4 ? 12a ? 0
2

练习:已知函数f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减 函数,求a的取值范围。
解:f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减函数, ∴f ’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立, ∴a<0且△=36+12a≤0, ∴a ≤-3

1 例6:已知函数( f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0,1],若f ? x ? 在 x x ? ? 0,1? 上是增函数,求a 的取值范围.
2 解:f '(x ) ? 2a ? 3 x

∵函数在(0,1]上单调递增? f '(x)? 0,

1 即a ? - 3 在 x ? (0, 1]上恒成立 x 1 而g(x) ? ? 3 在(0, 1]上单调递增, x 3 ? ? ? g'(x) ? 4 ? 0在 ? 0,1? 上恒成立 ? x ? ? ? g ? x ?max ? g ?1? ? -1 ? a ? -1

所以a的范围是?-1 , ? ??

f ' ? x? ? 0 (或 ? 0),f(x)在这 注: 在某个区间上, 个区间上单调递增(递减); 但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而 仅仅得到 f ' ? x ? ? 0 ?或 ? 0?是不够的。还有可能 导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调, 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证

本题用到一个重要的转化:
m ? f ? x ? 恒成立 ? m ? f ? x ? max m ? f ? x ? 恒成立 ? m ? f ? x ? min

a 【例 6】 已知函数 f(x)=x +x (x≠0,常数 a∈R).若函数 f(x)在 x
2

∈[2,+∞)上是单调递增的,求 a 的取值范围. [ 思路探索]

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a 2x3-a f′(x)=2x-x2= x2 .

要使 f(x)在[2, +∞)上是单调递增的, 则 f′(x)≥0 在 x∈[2, +∞) 2x3-a 时恒成立,即 x2 ≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立. ∵x2>0,∴2x3-a≥0,∴a≤2x3 在 x∈[2,+∞)上恒成立. ∴a≤(2x3)min.

∵x∈[2,+∞),y=2x3 是单调递增的, ∴(2x3)min=16,∴a≤16. 2x3-16 当 a=16 时,f′(x)= ≥0(x∈[2,+∞))有且只有 f′(2)=0, x2 ∴a 的取值范围是(-∞,16].
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已知函数的单调性,求函数解析式中参数的取值范围,

可转化为不等式恒成立问题,一般地,函数f(x)在区间Ⅰ上单调递
增(或减),转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上恒成立,再用 有关方法可求出参数的取值范围.

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【变式】 (1)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的单调减区间为[-1,2], 求 b,c 的值. (2)设 f(x)=ax3+x 恰好有三个单调区间,求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知- 1<x<2 是不等式 3x2+2bx+c<0 的解集. ∴-1,2 是方程 3x2+2bx+c=0 的两个实根, 2 3 c ∴-1+2=-3b,(-1)×2=3,即 b=-2,c=-6. (2)∵f′(x)=3ax2+1,且 f(x)有三个单调区间,
∴方程 f′(x)=3ax2+1=0 有两个不等的实根, ∴Δ=02-4×1×3a>0,∴a<0.∴a 的取值范围为(-∞,0).
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作业: 已知函数f ? x ? ? 2ax - x ,x ? ? 0,1? ,a ? 0,
3

若f ? x ? 在 ? 0,上是增函数,求 1? a 的取值范围。

解:f (x)=2ax - x3在( 0, 1]上是增函数, ? f '(x)=2a - 3x ? 0在( 0, 1]上恒成立, 3 2 即:a ? x 在(0, 1]上恒成立, 2 3 2 3 而g( x ) ? x 在(0, 1]上的最大值为 , 2 2 3 ? a ? 。 ? 3 , ?? ? ? 2 ?
2

?2

?

1 例7 分析方程 x ? sin x 根的个数。 2 1 解:f ? x ? ? x - sin x,x ? ? ?? , ?? ? 2
1 ? f ' ? x ? ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f ? x ? 在? ??, ? ?? 上是单调递增函数,

而当x ? 0时,( f x)=0
1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2

1 2 变式 【例 7】 当 x>0 时,证明不等式 ln(x+1)>x-2x . 利用导数证明不等式,首先要构造函数 f(x)= 1 2 ln(x+1)-x+2x ,证明 f(x)在(0,+∞)上单调增,由 f(x)>f(0)=0 证得.

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1 2 [规范解答] 令 f(x)=ln(x+1)-x+ x , 2 1 x2 则 f′(x)= -1+x= . 1+x 1+x 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 于是当 x>0 时,f(x)>f(0)=0, 1 2 ∴当 x>0 时,不等式 ln(x+1)>x-2x 成立.

(4 分) (6 分)

(8 分)

(12 分)

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变式 讨论关于 x 的方程 ln x=kx 解的个数. 【示例】
[思路分析] 通过求导的方法求出曲线 y=ln x 与直线 y=kx 相 切时 k 的值,借助图形回答问题. 解 如图,方程 ln x=kx 的解的个数就是直线 y=kx 与曲线 y

=ln x 交点的个数. 设直线 y=kx 与 y=ln x 切于 P(x0,ln x0) ,则 kx0=ln x0. 1 ∵(ln x)′= , x

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1 ∴k= ,kx0=1=ln x0. x0 1 ∴x0=e,k= . e 1 结合图象知:当 k≤0 或 k=e时, 方程 ln x=kx 有一解. 1 当 0<k< 时,方程 ln x=kx 有两解. e 1 当 k> 时,方程 ln x=kx 无解. e

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π 1 3 【变式】 当 0 < x < 时,求证: x - sin x < x. 作业 2 6 证明 π 0, 1 3 设 g(x)=x-sin x- x ,x∈ 2, 6

x x 2 1 2 sin - 2 2 g′(x)=1-cos x- x =2 . 2 2 0, π 2 ,∴0<sin x<x,

∵x∈

x x ∴sin2 < 2 2,∴g′(x)<0, 2
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