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【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-2练习:2.1 第1课时 合情推理


选修 1-2

第二章

2.1

第 1 课时

一、选择题 1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 C.33 [答案] B [解析] 由以上各数可得每两个数之间依次差 3,6,9,12??故 x=20+12=32. 2. 观察下列各式: 1=12,2+3+4=32,3

+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72, ? 可以得出的一般结论是( ) ) B.32 D.27

A.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=(2n-1)2 [答案] B [解析] 观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是 2n-1(n∈N*)项的和,其首 项为 n,右边是项数的平方,故第 n 个等式首项为 n,共有 2n-1 项,右边是(2n-1)2, 即 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2. 3.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( A.三角形 C.平行四边形 [答案] C [解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑,用平行四边 形作为平行六面体的类比对象较为合适. 4.观察右图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为 B.梯形 D.矩形 )

( A. C.? [答案] A B.△ D.○

)

[解析] 图形涉及○、△、?三种符号;其中△与○各有 3 个,且各自有两黑一白,所

以缺一个黑色?符号,即应画上?才合适. 底×高 5.已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式:S= ,可推知扇形 2 面积公式 S 扇等于( r A. 2 lr C. 2 [答案] C 6.平面内的小圆形按照下图中的规律排列,每个图中的圆的个数构成一个数列{an}, 则下列结论正确的是( )
2

) l2 B. 2 D.不可类比

①a5=15; ②数列{an}是一个等差数列; ③数列{an}是一个等比数列; ④数列{an}的递推关系是 an=an-1+n(n∈N*). A.①②④ C.①② [答案] D [解析] 由于 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,所以有 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4. 因此必有 a5-a4=5,即 a5=15,故①正确.同时④正确,而{an}显然不是等差数列也不是 等比数列,故②③错误,故选 D. B.①③④ D.①④

二、填空题 7.对于平面几何中的命题:“夹在两平行线之间的平行线段的长度相等”,在立体几 何中,类比上述命题,可以得到的命题是:__________________________. [答案] 夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等 1 1 1 9 8.(2013· 新疆兵团农二师华山中学高二期末)在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立,在 A B C π 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 25 四边形中不等式 + + + ≥ 成立,在五边形中 + + + + ≥ 成立,猜想在 n 边 A B C D 2π A B C D E 3π 形 A1A2?An 中有不等式:________成立. [答案] 1 1 1 1 n2 + + +?+ ≥ A1 A2 A3 An ?n-2?π

[解析] 不等式的左边是 n 个内角倒数的和,右边分子是 n2,分母是(n-2)π,故在 n 边 1 1 1 1 n2 形 A1A2?An 中有不等式 + + +?+ ≥ 成立. A1 A2 A3 An ?n-2?π 9.(2014· 湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理:设△ABC 的两 边 AB⊥AC, D 是 A 点在 BC 上的射影, 则 AB2=BD· BC.拓展到空间, 在四面体 A-BCD 中, DA⊥平面 ABC,点 O 是 A 在平面 BCD 内的射影,类比平面三角形射影定理,△ABC、△ BOC、△BDC 三者面积之间关系为________. [答案] S2 S△DBC △ABC =△OBC· [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱 AD 与一侧面 ABC 垂直的四棱锥 的侧面 ABC 的面积,将此直角边 AB 在斜边上的射影及斜边的长,类比到△ABC 在底面的
2 射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得 S△ S△DBC. ABC =S△OBC·

三、解答题 an 10.已知数列{an}的第 1 项,a1=1,且 an+1= (n=1,2,?),试归纳出这个数列的 1+an 通项公式. [解析] 当 n=1 时,a1=1; 1 1 当 n=2 时,a2= = ; 1+1 2 1 当 n=3 时,a3= = ; 1 3 1+ 2 1 当 n=4 时,a4= = . 1 4 1+ 3 观察可得,数列的前 4 项都等于相应序号的倒数,由此猜想,这个数列的通项公式为 1 an= . n 1 3 1 2

一、选择题 11.把 1,3,6,10,15,21,?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正 三角形(如下图),则第七个三角形数是( )

A.27

B.28

C.29 [答案] B

D.30

[解析] 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上 2,3,4,5,??,故第七个三角形 数为 21+7=28. 12.如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排列下去,那么第 36 颗珠 子的颜色是( )

A.白色 C.白色的可能性大 [答案] A

B.黑色 D.黑色的可能性大

[解析] 由图知,这串珠子的排列规律是:每 5 个一组(前 3 个是白色珠子,后 2 个是黑 色珠子)呈周期性排列,而 36=5×7+1,即第 36 颗珠子正好是第 8 组中的第 1 颗珠子,其 颜色与第一颗珠子的颜色相同,故它的颜色一定是白色. 13.(2014· 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三 2S 边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= ;类比这个结论 a+b+c 可知:四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 r,四面体 P -ABC 的体积为 V,则 r=( V A. S1+S2+S3+S4 3V C. S1+S2+S3+S4 [答案] C [解析] 将△ABC 的三条边长 a、b、c 类比到四面体 P-ABC 的四个面面积 S1、S2、S3、 1 1 S4,将三角形面积公式中系数 ,类比到三棱锥体积公式中系数 ,从而可知选 C. 2 3 1 证明如下: 以四面体各面为底, 内切球心 O 为顶点的各三棱锥体积的和为 V, ∴V= S1r 3 1 1 1 3V + S2r+ S3r+ S4r,∴r= . 3 3 3 S1+S2+S3+S4 14.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如: ) 2V B. S1+S2+S3+S4 4V D. S1+S2+S3+S4

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似的,称图 2 中的 1,4,9,16,?这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形 数的是( A.289 C.1 225 [答案] C [解析] 本题主要考查数形的有关知识. 图 1 中满足 a2-a1=2,a3-a2=3,?,an-an-1=n, n· ?n+1? 以上累加得 an-a1=2+3+?+n,an=1+2+3+?+nan= ,图 2 中满足 bn= 2 n2, 一个数若满足三角形数,其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半; 一个数若满足正方形数,其必为某个自然数的平方. 49×50 ∵1225=352= ,∴选 C. 2 二、填空题 15.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3?b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an} 的类似结论为________. [答案] a1+a2+a3+?+a9=2×9 [解析] 等比数列中, “乘积”类比到等差数列中“和”, 故应有结论为 a1+a2+a3+? +a9=2×9. 16.(2014· 三峡名校联盟联考)观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个 不等式为________. ... 1 1 1 1 1 11 [答案] 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 [解析] 本题考查了归纳的思想方法. ) B.1 024 D.1 378

观察可以发现,第 n(n≥2)个不等式左端有 n+1 项,分子为 1,分母依次为 12,22,32,?, 1 1 1 (n+1)2;右端分母为 n+1,分子成等差数列,因此第 n 个不等式为 1+ 2+ 2+?+ 2 3 ?n+1?2 2n+1 < , n+1 所以第五个不等式为: 1 1 1 1 1 11 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 三、解答题 1 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1 且 Sn-1+ +2=0(n≥2),计算 S1、S2、S3、 Sn S4,并猜想 Sn 的表达式. [解析] 当 n=1 时,S1=a1=1; 1 1 当 n=2 时, =-2-S1=-3,∴S2=- ; S2 3 1 5 3 当 n=3 时, =-2-S2=- ;∴S3=- ; S3 3 5 1 7 5 当 n=4 时, =-2-S3=- ,∴S4=- . S4 5 7 2n-3 猜想:Sn=- (n∈N*). 2n-1
2 a2 a1+a2?2 1+a2 + 18.若 a1、a2∈R ,则有不等式 ≥? 2 ? 2 ? 成立,此不等式能推广吗?请你至少

写出两个不同类型的推广. [解析] 本例可以从 a1、a2 的个数以及指数上进行推广.
2 2 a2 a1+a2+a3 2 1+a2+a3 第一类型: ≥( ), 3 3 2 2 2 a2 a1+a2+a3+a4 2 1+a2+a3+a4 ≥( ) ,?, 4 4 2 2 a2 a1+a2+?+an 2 1+a2+?+an ≥( ); n n 3 4 n a3 a1+a2 3 a1 +a4 a1+a2 4 a1 +an a1+a2 n 1+a2 2 2 第二类型: ≥( ), ≥( ) ,?, ≥( ); 2 2 2 2 2 2 3 3 m m a3 a1+a2+a3 3 am a1+a2+?+an m 1+a2+a3 1 +a2 +??+an 第三类型: ≥( ) ,?, ≥( ) . 3 3 n n

上述 a1、a2、?、an∈R ,m、n∈N*.



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