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第1单元-集合与常用逻辑用语-数学(理科)-北师大版


新课标·北师大版

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第一单元

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集合与常用逻辑用语

第1讲 第2讲 第3讲

集合及其运算 命题及其关系、充分条件与必要条件 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

单元网络

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核心导语
一、集合 1.关系——元素与集合之间是从属关系,集合与集合 之间是包含关系. 2.运算——认清集合的元素,通过Venn图理解集合运 算的含义.学会用分类讨论法解决集合运算的问题.

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核心导语
二、常用逻辑用语 1.命题——四种命题及其关系,特别是原命题与逆否命 题的等价性、逆命题与否命题的等价性. 2.充分、必要条件——p 与 q 之间一个作为条件另一个 作为结论组成的命题的真假,是判断充分、必要条件的关键. 3.逻辑联结词——“且”是几个命题都成立,“或”是 几个命题至少有一个成立,“非”是对原命题结论的否定, 解题中可类比集合中的交集、并集和补集. 4.量词——全称量词表述陈述句中所述事物的全体,存 在量词表述陈述句中所述事物的部分.全称命题的否定是特 称命题,特称命题的否定是全称命题.

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使用建议
1.编写意图 高考对集合和常用逻辑用语的要求不高, 集合主要是一种 基本语言和数学表达的工具, 常用逻辑用语主要是数学学习和 思维的工具. 编写中注意到以下几个问题: (1)考虑到该部分在高考试题 中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方法的讲解和 练习题的力度,控制了选题的难度;(2)从近几年高考来看,涉 及该部分内容的信息迁移题是高考的一类热点考题, 因此适当 加入了类似的题目; (3)考虑到该部分内容是第一轮复习初始阶 段的知识,因此在选题时尽量避免选用综合性强,思维难度大 的题目.

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使用建议
2.教学指导 高考对该部分内容的要求不高,教师在引导学生复习该部 分时,切忌对各层次知识点随意拔高,习题一味求深、求广和 求难. 教学时,要注意如下几个问题:(1)集合主要是强调其工具 性和应用性,解集合问题时,要充分利用 Venn 图或数轴的直观 性来帮助解题.(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只 要求做一般性了解,重点关注必要条件、充分条件和充要条 件.(3)对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,只要求通过 数学实例加以了解,帮助学生正确地表述相关的数学内容.

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使用建议
(4)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们的形式 化定义,在复习中,应通过对具体实例的探究,加强学生对于 含有一个量词的命题的否定的理解. (5)常用逻辑用语理论性强, 重在注意引导学生提高逻辑思维能力和判断问题的能力,在使 用常用逻辑用语的过程中,体会运用常用逻辑用语表述数学内 容的准确性、简洁性,避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释. 3.课时安排 本单元包括 3 讲,一个 45 分钟滚动基础训练卷,每讲建议 1 课时完成,45 分钟滚动基础训练卷建议课外完成,本单元大 约共需 3 课时.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第1讲 集合及其运算

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考试说明
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的 子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单集 合的并集与交集. 6. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定 子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

1.集合的含义与表示方法 元素 (1)集合的含义:把研究对象叫作________ ,把一些元素 集合 .集合元素的性质:确定性、无序 组成的总体叫作________ 互异性 . 性、________ ∈ (2)元素与集合的关系:①属于,记为________ ;②不属 ? . 于,记为________ N (3)常用数集的记号:自然数集______ ,正整数集 * Q R , N ______,整数集______ ,有理数集______ ,实数集______ Z C . 复数集______

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

2.集合的基本关系
表示 关系 子 集 基 真 本 子 关 集 系 相 等 空集 文字语言
元素 集合A的________ 都是集合B的元素 集合A是集合B的子 集,但集合B中 至少 有一个元 ________ 素不属于A 集合A,B的元素完 相同 全________ 不含 任何元素 ________ 的集合.空集是任 何集合A的子集 _______

符号语言 x∈A?x∈B A?B,?x0∈ B,x0?A

记法 A?B或 ________ B?A ________ A B 或B A

A?B,B?A?A A=B ________ =B 任意x,x??, ??A ?

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第 1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

3.集合的基本运算
表示 运算 交集 文字语言 属 于 集 合 且 A______ 属于 集合 B 的元素 组成的集合 属 于 集 合 A______ 属于 或 集合 B 的元素 组成的集合 全 集 U 中 不 ______ 属于集 合 A 的元素组 成的集合 符号语言 {x|x∈A,且 x∈B} 图形语言 记法

________ A∩B

并集

{x|x∈A,或 x∈B}

________ A∪B

补集

{x|x∈U, ? A} x______

?UA ________

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第 1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

4.集合问题中的几个基本结论 A?A . (1)集合 A 本身是本身的子集,即________ (2)子集关系的传递性,即 A?B,B?C?________ A?C . (3)A∪A = A∩A = ______ , A∪ ? = ______ , A∩ ? = A A U . ______ ? ,?UU=______ ? ,?U?=______

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

—— 链接教材 ——
1.[教材改编] 设全集 U={小于 9 的正整数},A={1, 2,3},B={3,4,5,6},则?U(A∪B)=________.

[答案] {7,8}
[解析] A∪B={1,2,3,4,5,6},所以 ?U(A∪B)={7,8}.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

2.[教材改编] 已知集合 A={x|x2=1},B={x|ax=1}.若 B?A,则实数 a 的取值集合是________.

[答案] {-1,0,1}
[解析] A={-1,1}.当a=0时,B=?,此时B? ?1? A;当a≠0时,B= ?a? ,此时若B?A,则a=± 1.所以a ? ? 的取值集合是{-1,0,1}.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

3.[教材改编] 已知集合A={1,2},若A∪B={1, 2},则集合B有________个.

[答案] 4
[解析] 因为A={1,2},A∪B={1,2},所以B? A,所以B=?,{1},{2}或{1,2},共4个.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

—— 疑 难 辨 析 ——
1.集合问题中的易错易混点 (1)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y =x2},则A=B=C.( )

[答案] ×

[解析] 集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+ ∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是 满足方程y=x2的实数x,y的集合,也可以看作是函数y=x2 图像上的点组成的集合,因此这三个集合互不相等.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

(2)已知集合A={x|(x-1)(x+1-a)=0},用列举法 可表示为A={1,a-1}.( )

[答案] ×
[解析] 当a=2时,A={1};当a≠2时,A={1,a -1}.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

2.解决集合问题的方法技巧 (1)[2013· 福建卷改编] 若集合 A={1, 2, 3}, B={1, 3,4},则 A∩B 的子集个数为 3.( ) (2)[2013· 辽宁卷改编] 已知集合 A={x|0<log4x<1}, B={x|x≤2},则 A∩B={x|1<x≤2}.( )

[答案] (1)×

(2)√

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

[解析] (1)利用列举法:A∩B={1,3},其子集分别 为?,{1},{3},{1,3},共 4 个.(2)集合 A={x|1<x<4}, B={x|x≤2},可得 A∩B={x|1<x≤2}.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

3.集合问题中的部分常见结论 (1)A∩B=A?A?B; A∪B=A?B?A; A∩B=A∪B ?A=B.( ) (2)?U(A∪B) = (?UA)∩(?UB) ; ?U(A∩B) = (?UA)∪(?UB).( ) (3)含有 n 个元素的集合的子集的个数是 2n,真子集 的个数是 2n-1,非空真子集的个数是 2n-2.( )

[答案] (1)√

(2)√

(3)√

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

[解析] (1)根据韦恩图分析可知:当 A?B 时,显然 A∩B=A;当 A∩B=A 时,对任意 x∈A,有 x∈A∩B, 则 x∈B, 即 x∈A?x∈B, 故 A?B.当 B?A 时, 显然 A∪B =A; 当 A∪B=A 时, 对任意 x∈B, 有 x∈A∪B, 则 x∈A, 即 x∈B?x∈A,即 B?A. (2)设 x∈?U(A∪B),则 x?A∪B,得 x?A 且 x?B,即 x∈?UA 且 x∈?UB,则 x∈(?UA)∩(?UB),即?U(A∪B)? (?UA)∩(?UB);反之,当 x∈(?UA)∩(?UB)时,得 x∈?UA 且 x∈?UB,则 x?A 且 x?B,得 x?A∪B,得 x∈?U(A∪B), 即 ?U(A∪B) ? (?UA)∩(?UB) . 根据 集 合 相等 的 定 义得 ? U(A∪B) = (?UA)∩(?UB) .第二个结论的证明与第一个类 似.(对学生只要结合韦恩图直观理解即可,不要求进行 证明)
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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

1 2 (3)含有 n 个元素的集合的子集个数是 C0 n+ C n +C n n n +?+Cn = 2 ,则真子集个数是 2 -1,非空真子集的个 n 数是 2n-2.

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第1讲

集合及其运算

?

探究点一

集合的基本概念的理解

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2013· 全国卷] 设集合 A={1,2,3},B= {4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的 个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 1+a (2) 已知集合 M 满足条件:若 a∈M ,则 ∈ 1-a M(a≠0,a≠±1).已知 3∈M,则集合 M=________.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:求M中元素个数只要求出集 合M.推理:x=a+b,a∈A,b∈B,逐个计算.结论:得 出互异数值的个数. (2)分析:即求M中的元素.推理:确定a值,根据若 1+a a∈M,则 ∈M,逐步求解.结论:写出集合M. 1-a

[答案] (1)B

? 1 1? (2)?3,-2,-3,2? ? ?

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)a+b=5,6,6,7,7,8,根据集合中元 素的互异性可得集合M中有4个元素. 1+a 1+3 (2)设a=3,因为3∈M,所以 = =- 1-a 1-3 1+(-2) 1 1 2∈M,所以 =-3∈M,所以 =2 1-(-2) 1 1+2 ∈M.又因为 1 =3∈M,重复上述过程,所以M= 1-2 ? 1 1? ?3,-2,- , ?. 3 2? ?

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)注意集合元素互异性的应用,在 解题中注意验证在所求的集合中是否出现重复元素.(2) 判断一个元素是否属于一个集合, 只要判断其是否满足集 合的代表元素的特征即可.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 成都一诊] 已知集合 P={1,2},Q ={z|z=x+y,x,y∈P},则集合 Q=( ) A.{1,2,3} B.{2,3,4} C.{2,4,5} D.{2,3} (2)[2013· 江西卷] 若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中 只有一个元素,则 a=( ) A.4 B.2 C.0 D.0 或 4

[答案] (1)B (2)D

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)1+1=2,2+1=1+2=3,2+2=4,故集 合 Q={2,3,4}.(2)当 a=0 时,A=?;当 a≠0 时,Δ =a2-4a=0,则 a=4.

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第1讲

集合及其运算

?

探究点二

对集合基本关系的理解与应用

点 面 讲 考 向

例2 (1)已知集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P= {x|x=a2-4a+5,a∈N*},则( ) A.M?P B.M P C.P?M D.P M (2)已知集合P={x|x2-3x-4>0},Q={x|a+ 1≤x≤2a-1}.若Q P,则实数a的取值范围是 _______________________________________.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:化简集合A.推理:用数轴表 示A,B.结论:根据A?B得出结论. (2)分析:化简集合A,B.推理:根据A?C?B求集合 C.结论:根据集合C得出子集个数.

[答案]

(1)B

(2)(-∞,2)∪(3,+∞)

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)一方面,对于任意 x∈M,有 x=1+ a2=(a+2)2-4(a+2)+5.因为 a∈N*, 所以 a+2∈N*, 所 以 x∈P,由子集定义知 M?P. 另一方面,因为 1∈P,此时 a2-4a+5=1,所以 a =2∈N*.又 1+a2=1 在 a∈N*时无解.所以知 M P. (2)集合 P={x|x<-1 或 x>4}.当 Q=?时,显然有 Q P ,此时有 a + 1>2a - 1 ,解得 a<2 ;若 Q≠ ? ,则 ? ?a+1≤2a-1, ? ?a+1≤2a-1, ? 或? 解得 a>3. ? ? 2 a - 1< - 1 a + 1>4 , ? ? 综上可知, 若Q P, 则 a 的取值范围是 a<2 或 a>3.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 空集是任何集合的子集,是任何非 空集合的真子集,在关于集合之间关系的问题中不要忽 视了空集.集合 A 是本身的子集,在求集合的子集时也 不要忘记了它本身.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

变式题 (1)已知集合 M={x|x-a=0},N={x|ax-1= 0}.若 M∩N=N,则实数 a 的值为( ) A.1 B.-1 C.1 或-1 D.0 或 1 或-1 (2)设集合 A={x,y,x+y},B={0,x2,xy}.若 A =B,则实数(x,y)组成的集合是________________.

[答案] (1)D

(2){(1,-1),(-1,1)}

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)M∩N=N?N?M.当 a=0 时,N=?,符合 1 要求;当 a≠0 时,只要 a=a,即 a=± 1 即可. (2)由 A=B,且 0∈B,知集合 B 中的元素 x2≠0,xy ≠0,故 x≠0,y≠0,那么只能是集合 A 中的 x+y=0.此 时就是已知 x+y=0,{x,y}={x2,xy}, ?x+y=0, ?x+y=0, ? ? 2 ? 2 ?x=1, 那 么 ?x =x, 或 ?x =y, 解 得 ? 或 ? ?y=-1 ?xy=y ?xy=x, ? ? ? ?x=-1, ? ? ?y=1.

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第1讲

集合及其运算

?

探究点三

集合的交、并、补运算的求解

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2014· 江西师大附中月考] 已知全集 U={0,1,2, 3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:先求?UA.推理:根据补集和 并集的运算法则求解.结论:确定所求集合中的元素. (2)分析:欲求 A∩(?RB),需求出 A,B.推理:解不等 式得集合 A,B 并求出?RB.结论:根据交集运算法则得之.

[答案] (1)C

(2)C

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析](1)?UA={0,4},所以(?UA)∪B={0,4}∪{2, 4}={0, 2, 4}. (2)由题意得 A={x|x≥0}, B={x|2≤x≤4}, 所以 ?RB = {x|x<2 或 x>4} ,所以 A∩?RB = {x|0≤x<2 或 x>4}.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)求一个集合在指定集合中的补集, 一般方法是把这个集合求出来,再根据补集的定义求解; 另一种方法是直接根据补集思想对已给的集合进行转化, 但要注意转化时的等价性.(2)集合的运算中要根据集合 的定义把参与运算的各个集合求出,再根据交、并、补的 定义进行运算.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 上海卷] 设常数 a∈R, 集合 A={x|(x -1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1}.若 A∪B=R,则 a 的取 值范围为( ) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) (2)[2013· 保定模拟] 已知集合 A={x|x>2 或 x<-1},B b ={x|a≤x≤b}.若 A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},则a= ( ) A.-4 B.-3 C.4 D.3

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第1讲

集合及其运算

[答案] (1)B
点 面 讲 考 向

(2)A

[解析] (1)若a>1,则A=(-∞,1]∪[a,+∞),B =[a-1,+∞).若A∪B=R,只需a-1≤1,解得 a≤2,此时1<a≤2. 若a=1,则A=R,显然符合要求; 若a<1,则A=(-∞,a]∪[1,+∞),B=[a-1,+ ∞).若A∪B=R,只需a-1≤a,显然成立,此时a<1. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,2]. b (2)根据已知可得a=-1,b=4,所以a=-4.

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第1讲

集合及其运算

思想方法

1.利用小题大做的方法解决集合中的创新问题

多 元 提 能 力

母题 [2013· 广东卷] 设整数 n≥4,集合 X={1,2, 3,?,n},令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w, x)都在 S 中,则下列选项正确的是( ) A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

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第1讲

集合及其运算

子题 (1)列出(x,y,z)∈S,(z,w,x)∈S 时,x,y, z,w 所满足的不等式; (2)根据(1)中的不等式,确定 x,y,z,w 的不等式有 哪些是成立的,并把能够成立的不等式写出; (3)根据(2)得出的不等式和新定义, 确定三元数对是否 属于集合 S.
多 元 提 能 力

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第1讲

集合及其运算

多 元 提 能 力

子题 解: (1) 根据定义, x<y<z①, y<z<x②, z<x<y③,三 个式子中恰有一个成立; z<w<x④,w<x<z⑤,x<z<w⑥,三个式子中恰有一个 成立. (2)(1)中的不等式共有九种不同组合,但①④、②⑤、 ②⑥、③⑤、③⑥不可能同时成立,故只能是①⑤、①⑥、 ②④、③④同时成立,此时可得 x,y,z,w 满足的不等 式分别为:w<x<y<z,x<y<z<w,y<z<w<x,z<w<x<y.

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第1讲

集合及其运算

(3)若 w<x<y<z, 则在 y, z, w 的三个不等关系 y<z<w, z<w<y,w<y<z 中,只有 w<y<z 成立,故(y,z,w)∈S; 在 x,y,w 的三个不等关系 x<y<w,y<w<x,w<x<y 中, 只有 w<x<y 成立,故(x,y,w)∈S. 同理可得其余三种情况下, ( y, z, w)∈S, ( x, y, w)∈S.
多 元 提 能 力

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第1讲

集合及其运算

多 元 提 能 力

[ 规律解读] 把一个较为困难的问题化为若干个较为 简单的问题进行解决,是化归与转化思想的体现.在本题 中把原题化为三个主要的子题(1)(2)(3)就理清了解决问题 的思路, 找到了解决问题的方法. 实际上只要三个数 x, y, z 互不相等,在 x,y,z 组成的六种大小顺序关系中,就恰 好只有一个成立.本题给出的新定义只是给出了 x,y,z 之间的三个“轮换大小顺序关系” ,这也足够说明 x,y,z 三者之间互不相等.因此只要能够确定 x,y,z,w 四个元 素的大小关系,其中不能出现矛盾的结果和相等的元素, 即可得出其中任意三个元素组成的三元数对均属于集合 S(从本题子题(3)的解析过程可以看出), 这是本题的实质所 在.
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第1讲

集合及其运算

【备选理由】 集合的核心内容是集合的含义、关系与运算,下面两个例 题中,例 1 为集合运算与三角函数、复数、不等式等的综 合,可与相应例题一起使用,例 2 从平面区域的观点说明 元素与集合的关系.

教 师 备 用 题
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第1讲

集合及其运算

设集合M={y|y=|cos2x- ?? 1? 2 sin x|,x∈R},N={x??x- i ?< 2},i为虚数单位,x∈R, ? ?? 则M∩N为( ) A.(0,1) B.(0,1] ? ? C.[0,1) D.??0,1?? 例1 【配例3使用】

教 师 备 用 题

函数y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|,其值域是 ? 1? [0,1],故集合M=[0,1].不等式 ?x- i ? < 2 ,即|x+ ? ? i|< 2 ,即x2+12<2,解得-1<x<1,故集合N=(-1, 1),所以M∩N=[0,1). [解析] C

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第2讲 命题及其关系、充分 条件与必要条件

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考试说明
1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆 否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题
真假 的陈述句 概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断________
特点 分类 (1)能判断真假;(2)陈述句

真 命题、______ 假 命题 ______

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
若 q, 则 p

若綈 p,则綈 q

若綈 q,则綈 p

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

(2)四种命题的等价关系:原命题与逆否命题 ________同真同假, 逆命题 同真同假.在四种形式的命题中,真命题 否命题与________ 0或2或4 . 的个数只能是________

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

3.充要条件
充分 条件,q是p 若p?q,则p是q的______ p成立的对象的集合为A, 必要 条件 的______ q成立的对象的集合为B p?q且q?/ A是B的 p是q的充分不必要 __________条件 p ______ 真子集 p?/ q且q? B是A的 p是q的必要不充分 __________条件 真子集 集合与充 p ______ 要条件 ________ 充要 条件 p是q的______ p?q A =B

既不充分也不必要 p是q的_________________ 条件

p?/ q且q? A,B互不 包含 /p ______

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

—— 链接教材 ——
1.[教材改编] 命题“若整数 a 不能被 2 整除,则 a 是奇 数”的逆否命题是__________________________________.

[答案] “若整数a不是奇数,则a能被2整除”
[解析] 否定的结论作条件、否定的条件作结论得出 逆否命题.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

2.[教材改编] 设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+ φ)(x∈R)为偶函数”的________条件.

[答案] 充分不必要
[解析] φ=0,显然 f(x)=cos x 是偶函数,但当 φ=2 π 时,函数 f(x)也为偶函数,所以仅是充分条件,而非必 要条件.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

3.[教材改编] 已知A={x|x满足条件p},B={x|x满足 条件q}.若A?B,则p是q的________条件;若B?A,则p 是q的________条件;若A=B,则p是q的________条件.

[答案] 充分

必要

充要

[解析] 根据充分条件、必要条件、充要条件的概念 和集合之间的关系可得.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

—— 疑 难 辨 析 ——
1.命题及命题间的关系 1 (1)命题“若x≥2,则 ≥1”的否命题是“若x<2,则 x-1 1 <1”.( ) x-1 (2)若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于 1.( )

[答案] (1)×

(2)√

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

1 1 ≥1的否定不是 <1,这是很多同学易 x -1 x-1 出现的一些错误,如认为“=”“≥”的否定就是 1 “≠”“<”等,由于不等式“ ≥1”成立本身就有限制, x-1 1 1 即x≠1,所以“ ≥1”的否定是“ <1或x=1”. x-1 x -1 (2)其逆否命题为“若x,y∈R,且x,y均不大于1,则x +y≤2”,显然是正确的,所以原命题正确. [解析] (1)

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

2.充分必要条件的判断方法 (1)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充 分条件.( )

[答案] √
[解析] 若p?q,根据命题的等价关系,则綈q?綈p, 但綈p ?綈q,故綈p是綈q的必要不充分条件.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

(2)若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, 则 q 是 p 的必要不 充分条件.( )

[答案] √
[解析] 若綈 q?綈 p,根据命题的等价关系,则 p?q, 但q ?p,故 q 是 p 的必要不充分条件.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

(3)[2013· 湖南卷改编 ] “1<x<2” 是“x<2”成立的必要不充 分条件.( )

[答案] ×
[解析] 若1<x<2,则有x<2,反之不成立,故应为充分 不必要条件.

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第 2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

(4)若 α∈(0,2π ),则 sin α =-1 的充要条件是 α= 3π 2 .( )

[答案] √
[解析] 断. 根据充要条件的概念和正弦函数的定义即可判

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

?

探究点一

四种命题及其关系的分析

点 面 讲 考 向

例 1 (1)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函 数”的否命题是( ) A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

(2)[2013· 蚌埠一检] 对于原命题“单调函数不是周 期函数”,下列结论正确的是( ) A.逆命题为“周期函数不是单调函数” B.否命题“单调函数是周期函数” C.逆否命题“周期函数是单调函数” D.以上三个结论都不正确

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要明确否定、否命题的构 成规律.推理:“是”的否定为“不是”,否命题是以否 定的条件为条件,否定的结论为结论的命题.结论:结合 选项得答案. (2)分析:根据原命题得出其逆命题、否命题、逆否命 题. 推理: “不是周期函数”的否定为“是周期函数”. 结 论:结合选项作出判断.
[答案] (1)B (2)D

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[解析] (1)条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的 否定是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数”. (2)原命题的逆命题为“不是周期函数的函数是单调 函数”,选项 A 不正确;原命题的否命题是“不是单调 函数的函数是周期函数”,选项 B 不正确;原命题的逆 否命题是“周期函数不是单调函数”,选项 C 不正确.

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命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 在根据原命题构造其否命题和逆否命 题时,首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词 搞清楚.

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命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

变式题 已知: 命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0, +∞) 上是增函数,则 m≤1”,则下列结论中正确的是( ) A.否命题是“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是 减函数,则 m>1”,为真命题 B.逆命题是“若 m≤1,则 f(x)=ex-mx 在(0,+∞) 上是增函数”,为假命题 C.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0, +∞)上是减函数” ,为真命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0, +∞)上不是增函数”,为真命题

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案] D
点 面 讲 考 向

[解析] f′(x)=ex-m≥0 在(0, +∞)上恒成立, 即 m≤ex 在(0,+∞)上恒成立,则 m≤1,故原命题为真;反之若 m≤1,则 f′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,故逆命题为真.增 函数的否定是“不是增函数”.结合选项知选项 D 正确.

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命题及其关系、充分条件与必要条件

?

探究点二

充分条件与必要条件的判定

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2013· 陕西卷] 设 a,b 为向量,则“|a· b| =|a||b|”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2014· 上饶四校联考] 下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要条件是( ) A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需从正反两个方面互推.推 理:根据两向量数量积的意义,以及两向量共线的定义推 理.结论:结合选项作出判断.(2)分析:需对选项逐一判 断.推理:结合不等式性质及举特例确定.结论:根据充 分条件、必要条件的概念作出判断.

[答案] (1)C

(2)A

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命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[解析] (1)由已知中|a· b|=|a|· |b|可得,a 与 b 同向或反 向,所以 a∥b.又因为由 a∥b,可得|cos〈a,b〉|=1,故 |a· b|=|a|· |b||cos〈a,b〉|=|a|· |b|,故|a· b|=|a|· |b|是 a∥b 的 充分必要条件. (2)a>b+1?a-b>1>0?a>b,但若 a>b 成立时,如 a =2,b=1,有 a=b+1,不满足 a>b+1,所以 a>b+1 是 a>b 成立的充分不必要条件.对于 B,a>b-1 不能推出 a>b;对于 C,若 a2>b2,如 a=-2,b=-1,不能推出 a>b;对于 D,a>b?a3>b3,是充要条件.

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命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 判断充要条件的三种方法: (1)定义法:根据 p?q,q?p 进行判断. (2)集合方法:根据使 p,q 成立的集合之间的包含关 系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价 性,转化为判断其逆否命题.这个方法特别适合以否定 形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的何种条件, 即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1”的何种条件.

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命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 北京卷] “φ=π ” 是“曲线 y=sin(2x +φ)过坐标原点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2014· 安阳一中模拟] 若 A:a∈R,|a|<1,B:x 的 二次方程 x2+(a+1)x+a-2=0 的一个根大于零,另一个 根小于零,则 A 是 B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案] (1)A
点 面 讲 考 向

(2)A

[解析] (1)∵曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点,∴sin φ =0,∴φ=kπ ,k∈Z. (2)条件 A 即-1<a<1,条件 B 即 a<2,显然满足 A 即 满足 B,但满足 B 却不一定满足 A,所以 A 是 B 的充分不 必要条件.

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命题及其关系、充分条件与必要条件

?

探究点三

充分条件和必要条件的应用

点 面 讲 考 向

例3 (1)若 m-1<x<m+1 是 x2-2x-3>0 的充分 不 必 要 条 件 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 __________________. (2)若 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不 充分条件,则实数 m 的取值范围是________.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[思考流程](1)分析:需要确定两个不等式的解集之 间的包含关系.推理:等价于集合(m-1,m+1)是不等式 x2-2x-3>0 的解集的真子集. 结论: 根据集合之间的关系 得出关于 m 的不等式解之即得. (2)分析:需要确定两个集合之间的包含关系.推理: 等价于不等式 x2-2x-3>0 的解集是{x|x<m-1 或 x>m+1} 的真子集.结论:根据集合之间的关系得出关于 m 的不等 式解之即得.
[答案] (1)(-∞,-2]∪[4,+∞) (2)[0,2]

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命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[解析] 由不等式 x2-2x-3>0,得 x>3 或 x<-1. (1)欲使 m-1<x<m+1 是 x2-2x-3>0 的充分不必要 条件,则满足{x|m-1<x<m+1} {x|x>3 或 x<-1},只要 满足 m+1≤-1 或 m-1≥3 即可, 解得 m≤-2 或 m≥4, 故存在 m≤-2 或 m≥4,使|x-m|<1 是 x2-2x-3>0 的充 分不必要条件. (2)欲使 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不 充分条件,则满足{x|x>3 或 x<-1} {x|x<m-1 或 x>m+ ? ?m-1≥-1, 1},只要满足? 两个等号不能同时成立,解得 ? ?m+1≤3, 0≤m≤2,故存在实数 0≤m≤2 时,使|x-m|>1 是 x2-2x -3>0 的必要不充分条件.
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 根据充分条件、必要条件求参数范 围时, 把其转化为集合之间的包含关系, 通过集合之间的 包含关系确定参数范围,但要注意转化的准确性.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

变式题
点 面 讲 考 向

设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0(a<0),q:

实数 x 满足 x2-x-6<0 或 x2+2x-8>0,且綈 p 是綈 q 的 必要不充分条件,则 a 的取值范围是________.

[答案]

? 2 ? (-∞,-4]∪?-3,0? ? ?

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命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[ 解析 ] ∵x2 - 4ax + 3a2<0(a<0) ,∴3a<x<a ,∴p : {x|3a<x<a}.∵x2-x-6<0,∴-2<x<3.∵x2+2x-8>0, ∴x<-4 或 x>2,∴q:{x|x<-4,或 x>-2}.∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,∴p 是 q 的充分不必要条件.∴a≤ 2 -4 或 3a≥-2,解得 a≤-4 或 a≥-3,∴a 的取值范围 ? 2 ? 是(-∞,-4]∪?-3,0?. ? ?

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

易错究源

1.如何避免充要条件判断中的失误

多 元 提 能 力

例 (1)“a>3”是“函数 f(x)=ax+3 在[-1, 2]上存在零 点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2013· 广东潮州一检] 不等式 x-1>0 成立的充分 不必要条件是( ) A.-1<x<0 或 x>1 B.0<x<1 C.x>1 D.x>2

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

多 元 提 能 力

错解 (1)函数 f(x)=ax+3 在开区间(-1,2)上存在零 点的充要条件是 f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)<0, 即 a>3 或 3 者 a<-2.① 根据集合判断充要条件的方法可知, “a>3”是“函数 f(x)=ax+3 在[-1, 2]上存在零点”的必要不充分条件. ② (2)不等式 x-1>0 的解是 x>1,当 x>1 成立时,一定有- 1<x<0 或 x>1 成立.③

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命题及其关系、充分条件与必要条件

多 元 提 能 力

[错因 ] ①处对函数在闭区间上存在零点和开区间上 存在零点的差异认识不清,导致漏解.函数的零点定理是 在开区间上存在零点的一个充分条件, 但如果在闭区间上 讨论函数的零点,一定要注意区间端点的情况. ②处颠倒了充分条件和必要条件的概念. 在判断充分 条件、必要条件时一定要理清概念,利用集合之间的包含 关系辅助判断. ③弄混了条件与结论, 选项中的是条件, x-1>0 是结 论.

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命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案] (1)A

(2)D

多 元 提 能 力

[解析] (1)函数f(x)=ax+3在开区间(-1,2)上存在零 点的充要条件是f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)<0,即a>3或 3 a<- 2 .在区间端点处,若f(-1)=0,则a=3;若f(2)=0, 3 则a=- .因此函数f(x)=ax+3在闭区间[-1,2]存在零点 2 3 的充要条件是a≥3或a≤- 2 .根据集合判断充要条件的方 法可知,“a>3”是“函数f(x)=ax+3在[-1,2]上存在零 点”的充分不必要条件. (2)不等式x-1>0的解为x>1,充分不必要条件是含在 x>1内的x值,故选项D中的结论正确.
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命题及其关系、充分条件与必要条件

【备选理由】 本节的重点是命题及其关系、充要条件的判断,下面的备 用例题可以与相应例题一起使用.

教 师 备 用 题
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命题及其关系、充分条件与必要条件

教 师 备 用 题

例 1【配例 1 使用】 命题 p:若函数 f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内是减函数,则 loga2<0'K的逆否命题是 ( ) A.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内不是减函数 B.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内不是减函数 C.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数 D.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析] A 小于 0 的否定是不小于 0, 即大于或者等于 0,故原命题结论的否定是 loga2≥0,这是逆否命题的条 件.减函数的否定为不是减函数,即函数 f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内不是减函数,这是逆否命题的结论.

教 师 备 用 题
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命题及其关系、充分条件与必要条件

例2 【配例 2 使用】 [2013· 山东卷] 给定两个命题 p, q,若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

教 师 备 用 题
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析] A

∵綈 p 是 q 的必要不充分条件,∴q 是綈 p

的充分而不必要条件.又“若 p,则綈 q”与“若 q,则綈 p”互为逆否命题,∴p 是綈 q 的充分而不必要条件.

教 师 备 用 题
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命题及其关系、充分条件与必要条件

例 3【配例 2 使用】 [2013· 安徽卷] “a≤0”是“函 数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

教 师 备 用 题
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

教 师 备 用 题

[解析] C f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|.若a=0,则f(x)= |x|,此时函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;若a<0,则 1 2 二次函数y=ax -x图像的对称轴x= 2a <0,且x=0时y= 0,此时y=ax2-x在区间(0,+∞)上单调递减且y<0恒成 立,故f(x)=|ax2-x|在区间(0,+∞)上单调递增.故a≤0 时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,条件是充分的.反 1 之若a>0,则二次函数y=ax2-x图像的对称轴x= 2a >0, 1 1 2 且在区间0, 2a 上y<0,此时f(x)=|ax -x|在区间0, 2a 上 1 1 单调递增,在区间 , a 上单调递减,故函数f(x)不可能在 2a 区间(0,+∞)上单调递增,条件是必要的.
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第3讲 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词

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考试说明
1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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第3讲
双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.命题 p 且 q,p 或 q,綈 p 的真假关系

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p且q 真 假 ____ 假 ____ 假

p或q ____ 真 真 真 ____ ____ 假

綈p

假 ____ ____ 假 真 ____ 真

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第3讲
双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2.量词与含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词和存在量词
量词名称 全称量词 常见量词 所有、一切、任意、全 部、每一个、任给等 存在一个、至少一个、有 些、某些等

存在量词

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双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

(2)全称命题和特称命题
命题名称 全称命题 命题结构 对M中任意一个x,使p(x)成立

特称命题

存在M中一个x,使p(x)成立

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

(3)全称命题和特称命题的否定
命题 对任意 x∈M,使 p(x) 命题的否定 存在 x∈M,使綈 p(x)成立

存在 x∈M, 使 p(x)成立

任意的 x∈M,綈 p(x) ___________________

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

—— 链接教材 ——

1.[教材改编] 末位是0的整数,可以被5整除的否定是 ____________________________________.

[答案] 存在一个末位是0的整数,不能被5整除.

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2.[教材改编] 有些三角形不是等腰三角形的否定是 ____________________________________.

[答案] 所有的三角形都是等腰三角形.

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

3.[教材改编] 命题“存在x∈R,使x2+2x+3=0”的 否定是__________________________________.

[答案] “p或q”“p且q”
[解析] 因为命题 p 是真命题,命题 q 是真命题,所 以“p 或 q”“p 且 q”是真命题“綈 p”为假命题.

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

—— 疑 难 辨 析 ——
1.含逻辑联结词的命题中的规律 (1)命题 p 且 q 为假命题?命题 p,q 至少有一个是假命 题.( ) (2)命题 p 或 q 为假命题?命题 p,q 至少有一个是假命 题.( ) (3)命题 p,綈 p 至少有一个是真命题.( )

(4)命题 p 且 q 的否定是綈 p 或綈 q,命题 p 或 q 的否定 是綈 p 且綈 q.( )

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[答案] (1)√

(2)×

(3)×

(4)√

[解析] (1)命题p且q,只有当p,q同时为真时才是真命 题,故命题p且q为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个 假命题.(2)命题p或q,只有当p,q同时为假命题时才是假 命题.(3)一个命题与其否定中一个为真命题、一个为假命 题.(4)根据且命题、或命题、命题的否定的含义易得.

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双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2.含有量词的命题的易错点 (1)如果一个全称命题是真命题,则这个命题就是一个 一般性结论.( ) (2)命题“存在x∈R,使x3-2x+1=0”的否定是“不 存在x∈R,使 x3-2x+1≠0成立”.( ) (3)全称命题与其否定一定是一真一假,特称命题与其 否定一定是一真一假.( )

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双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[答案] (1)√

(2)×

(3)√

[解析] (1)由于全称命题是对任意对象都成立的一个命 题,当全称命题为真时就是一个一般性结论. (2)“存在x∈R使得x3-2x+1=0”的否定是“任意 x∈R,都有x3-2x+1≠0”. (3)由于一个命题与其否定一真一假,故全称命题与其 否定一定是一真一假,特称命题与其否定一定是一真一假.

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

?

探究点一
例1

含有逻辑联结词的命题真假的判断

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(1)[2013· 淄博一模] 设命题 p:函数 y=sin 2x π 的最小正周期为 2 ,命题 q:函数 y=cos x 的图像关于 π 直线 x= 2 对称,则下列判断中正确的是( ) A.p 为真 C.p 且 q 为假 B.綈 q 为假 D.p 或 q 为真

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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

(2)已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数, - p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数,则在命题 q1:p1
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或 p2,q2:p1 且 p2,q3:綈 p1 或 p2 和 q4:p1 且綈 p2 中, 真命题是( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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[思考流程] (1)分析:需判断命题p,q的真假.推 理:根据含有逻辑联结词的命题真假的判断方法逐项判 断.结论:对照选项得出答案. (2)分析:需要判断命题p1,p2的真假.推理:首先判 断命题p1,p2的真假,再根据含有逻辑联结词的命题真假 判断方法逐项进行判断.结论:根据判断结果作出答案.

[答案] (1)C

(2)C

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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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[解析] (1)命题p和命题q均为假命题,故p且q为假.(2) 由增函数减去减函数(非零)是增函数知p1是真命题.而对 1 1 x x p2,y′=2 ln 2- xln 2=ln 22 - x,当x∈[0,+∞)时,2x 2 2 1 ≥ 2x ,又ln 2>0,所以y′≥0,函数单调递增;同理得当 x∈(-∞,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.由此可 知,q1真,q2假,q3假,q4真.

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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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[归纳总结] 注意下列等价关系的应用: (1)p 或 q 真?p,q 至少一个真?綈 p 且綈 q 假; (2)p 或 q 假?p,q 均假?綈 p 且綈 q 真; (3)p 且 q 真?p,q 均真?綈 p 或綈 q 假; (4)p 且 q 假?p,q 至少一个假?綈 p 或綈 q 真; (5)綈 p 真?p 假;綈 p 假?p 真.

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变式题 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 已知命题 p:对任 意实数 x,都有 2x<3x;命题 q:存在实数 x,使得 x3=1- x2 成立,则下列命题中为真命题的是( ) A.p 且 q C.p 且綈 q B.綈 p 且 q D.綈 p 且綈 q

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(2)如果命题綈 p 或綈 q 是假命题,给出下列四个结论:
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①命题 p 且 q 是真命题;②命题 p 且 q 是假命题;③命 题 p 或 q 是真命题;④命题 p 或 q 是假命题. 其中正确的结论是( ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

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[答案] (1)B
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(2)A

[解析] (1)命题 p 假、命题 q 真,所以非 p 且 q 为真 命题. (2)綈 p 或綈 q 是假命题, 可得綈 p 与綈 q 均为假命题, 即 p,q 均为真命题,故结论①③正确.

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?

探究点二

全(特)称命题的否定及真假判断

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例2 (1)[2013· 安徽安庆三模] 下列命题中,为真 命题的是( ) ?π ? ? A.存在x∈? ,π ? ?,使得sin x-cos x≥2成立 2 ? ? B.对任意x∈R,都有x2<x3成立 ? π? ? C.对任意x∈?0, ? ?,都有tan x>sin x成立 2 ? ? D. 存在x∈R,使得x2+x=-1成立

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(2)[2013· 四川卷] 设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集. 若命题 p: 任意 x∈A, 都有 2x∈B, 则( )
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A.綈 p:对任意 x∈A,都有 2x?B 成立 B.綈 p:对任意 x?A,都有 2x?B 成立 C.綈 p:存在 x?A,使得 2x∈B 成立 D.綈 p:存在 x∈A,使得 2x?B 成立

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[思考流程] (1)分析:根据三角函数、不等式、方 程知识分析命题.推理:根据特称命题、全称命题的含义 对命题真假作出判断.结论:根据推理得出答案. (2) 分析:需分析已知命题是特称命题还是全称命 题.推理:全称命题的否定是特称命题.结论:对照选项 作出答案.

[答案] (1)C

(2)D

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[解析] (1)因为sin x-cos x≤ 2,所以sin x-cos x≥ 2不可能成立.x2<x3的解为x>1,不可能对任意x恒成立方 ? π? ? 2 程x +x=-1无实数解.因为任意x∈ ?0, ? ,0<cos ? 2 ? ? sin x x<1,所以tan x=cos x>sin x成立.(2)注意到全称命题的否 定为特称命题,对照选项得出答案即可.

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[归纳总结] (1)全称命题与特称命题真假的判断方法
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命题名称 真假 真 全称命题 假 真 特称命题 假 存在一个对象命题假 存在一个对象命题真 所有对象命题假 否定为真 否定为假 否定为真 判断方法1 所有对象命题真 判断方法2 否定为假

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(2)常见命题及其否定形式
命题 否定 綈p 綈 p 且綈 q 綈 p 或綈 q 存在 x∈M,使綈 p(x)成立 对任意 x∈M,使綈 p(x)成立

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p p或q p且q 对任意 x∈M,使 p(x)成立 存在 x∈M,使 p(x)成立

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变式题 (1)[2014· 南昌三中月考] 下列命题中是真命题 的为( ) A.对任意实数 x,都有 x2<x+1 B.对任意实数 x,都有 x2≥x+1 C.存在实数 x,对任意实数 y,都有 xy2=y2 D.对任意实数 x,存在实数 y,使得 x>y2 (2)[2013· 珠海二模] 已知命题 p:存在 x∈R,使得 x2+ x-1<0 成立,则命题綈 p:____________________.

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[答案] (1)任意x∈R,x2+x-1≥0
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(2)C

[解析] (1)特称命题的否定是全称命题.(2)如x=2 时,A错;如x=1时,B错;如x=0时,不存在y∈R使得 x>y2,D错. .

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?

探究点三

逻辑联结词与命题真假的应用

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例 3 (1)[2013· 湖北卷] 在一次跳伞中,甲、乙两位 学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围” ,q 是 “乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有 降落在指定范围”可表示为( ) A.綈 p 或綈 q C.綈 p 且綈 q B.p 或綈 q D.p 或 q

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(2)已知命题 p:方程 x2-mx+1=0 有实数解,命题 q:x2-2x+m>0 对任意 x 恒成立.若命题 q 或(p 且 q)
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为真,綈 p 也为真,则实数 m 的取值范围是 _______________________________.

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[思考流程] (1)分析:需要使用 p,q 之间的逻辑 联结词进行表达.推理:根据已知“没有落在指定范围” 即为 p, q 的否定. 结论: 使用逻辑联结词“或”进行表达. (2)分析:需要判断命题 p,q 的真假.推理:根据命 题 q 或(p 且 q)为真、綈 p 为真可得命题 p,q 的真假.结 论:根据方程和不等式的知识得出 m 的取值范围.

[答案] (1)A

(2)(1,2)

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[解析] (1)甲没有落在指定范围是命题 p 的否定,即綈
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p,乙没有落在指定范围是命题 q 的否定,即綈 q.至少有 一位学员没有落在指定范围是命题綈 p,綈 q 至少有一个 为真,故为綈 p 或綈 q;(2)由于綈 p 真,所以 p 假,则 p 且 q 假. 又由 q 或(p 且 q)真, 故 q 真, 即命题 p 假、 q 真. 当 命题 p 假时,即方程 x2-mx+1=0 无实数解,此时 m2- 4<0,解得-2<m<2;当命题 q 真时,4-4m<0,解得 m>1. 所以所求的 m 的取值范围是 1<m<2.
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[归纳总结] 根据含有逻辑联结词的命题真假求 参数范围的关键是判断其中单个命题的真假.逆用含有 逻辑联结词命题真假判断方法去判断其中单个命题的真 假,体现了逆向思维方法的应用.

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变式题 已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实 根, 命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是 增函数.若p或q是真命题, p且q是假命题,则实数a的取 值范围是 ( ) A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[-12,+∞)

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[答案] C
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[解析] 问题等价于命题p和命题q一真一假,分类求 解a的取值范围后求其并集即可.命题p真等价于Δ=a2- a 16≥0,解得a≤-4或a≥4;命题q真等价于- ≤3,解得 4 a≥-12. p或q是真命题,p且q是假命题,则命题p和q一真一 假.当p真q假时,a<-12;当q真p假时,-4<a<4.故实数 a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).

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思想方法

2.正难则反解题方法的应用

多 元 提 能 力

例 (1)已知“命题 p:存在 x0∈R,使得 ax2+2x+1<0 成立”为真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.[0,1) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1] 1 (2)不等式 <1 的解集记为 p,关于 x 的不等式 x2 x-1 +(a-1)x-a>0 的解集记为 q.若綈 q 是綈 p 的充分不必要 条件,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-2,-1] B.[-2,-1] C.? D.[-2,+∞)

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[答案] (1)B

(2)A

多 元 提 能 力

1 [解析] (1)方法一: 当 a=0 时, 2x+1<0, 可得 x<- , 2 此时存在一个 x,使 ax2+2x+1<0 成立;当 a>0 时,要存 在 x 使 ax2+2x+1<0 成立,只要 4-4a>0,即 0<a<1;当 a<0 时,恒成立.综上知,a<1. 方 法 二 : 命 题 p 的 否 定 是 “ 任 意 x , ax2 + 2x + 1≥0”.当 a=0 时,显然命题不真;当 a≠0 时,命题綈 p 为真的充要条件是 a>0 且 Δ=4-4a≤0,即 a≥1.故綈 p 为真时 a 的取值范围为 A=[1,+∞),故 p 为真时 a 的取 值范围为?RA=(-∞,1).
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多 元 提 能 力

(2)问题等价于p是q的充分不必要条件,等价于不等 1 式 <1的解集是不等式x2+(a-1)x-a>0的解集的真子 x-1 x-2 1 1 集.不等式 <1等价于 -1<0,即 >0,解得 x-1 x-1 x-1 x>2或x<1.不等式x2+(a-1)x-a>0可以化为(x-1)(x+ a)>0.当-a≤1时,不等式的解集是x>1或者x<-a,此时 只能是a=-1;当-a>1时,不等式(x-1)(x+a)>0的解 集是x<1或x>-a,此时只能是-a<2,即-2<a<-1.综上 可知-2<a≤-1.

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多 元 提 能 力

[规律解读] “正难则反”是解决数学问题的一种重 要数学方法,这个方法是化归转化思想的体现,即在正 面解决问题较为困难时,则从其反面解决问题,反证法 就是这种思想的直接体现.在与全称命题、特称命题有 关的问题中,如果从原来的命题出发解决问题不方便, 则可以解决其否定的命题,再根据补集思想找出原来问 题的答案.

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【备选理由】 本节的重点是含有逻辑联结词的命题真假的判断、含有一 个量词的命题的否定、特称命题和全称命题的真假的判 断.下面三个例题就是围绕上述三点选取的,可在相应探 究点中使用.

教 师 备 用 题
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例 1 【配例 1 使用】 已知 P:关于 x 的方程 x2-ax +4=0 有实根;Q:关于 x 的函数 y=2x2+ax+4 在[3,+ ∞)上是增函数.若 P 或 Q 是真命题,P 且 Q 是假命题,则 实数 a 的取值范围是( ) A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[-12,+∞)

教 师 备 用 题

[答案]

C

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[解析] P 等价于 Δ=a2-16≥0,解得 a≤-4 或 a≥4; a Q 等价于- ≤3,a≥-12.P 或 Q 是真命题,P 且 Q 是假 4 命题,则 P 和 Q 一真一假.当 P 真 Q 假时 a<-12;当 Q 真 P 假时-4<a<4.故所求 a 的取值范围是(-∞, -12)∪(- 4,4).

教 师 备 用 题
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例 2 【配例 2 使用】 [2013· 重庆卷] 命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为( ) A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x∈R,使得 x2≥0 D.存在 x∈R,使得 x2<0

教 师 备 用 题

[解析] D 根据定义可知命题的否定为“存在x0∈ R,使得x2 0<0”.

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下列4个命题: ?1? x ?1? x p1:存在x0∈(0,+∞), ?2? 0 < ?3? 0 ;p2:存在x0∈(0, ? ? ? ? 1), ;p3:任意x∈(0,+∞),使得 ?1? x ? ?1? 1? x ? ? > ? ? ; p . 4:任意x∈ 0, ,都有 ? ? < 3? ?2? ? ?2? 其中为真命题的是( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4

例3 【配例2使用】

教 师 备 用 题
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[解析] D
?1? x 根据幂函数的性质,对任意x∈(0,+∞), ?2? ? ?

?1?x >?3? ,故命题p1是假命题.由于 ? ?





lg x(lg 2-lg 3) lg x lg x - = >0,故对任意任意 lg 2lg 3 -lg 2 -lg 3 ,当然存在x0∈(0,1),

x∈(0,1),

教 师 备 用 题

,故命题p2是真命题. ? ?1?x ?1?x 1? ? ? ? ? 当x∈ 0,2 时, 2 <1, >1,则?2? > 不 ? ? ? ? ? ? ? 1? ?1?x ? 成立,故命题p3是假命题.任意x∈ 0,3?,?2? <1, ? ? ? ? ?1? x >1,故 ?2? < 恒成立,故命题p4是真命 ? ? 题.
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