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集合间的基本运算1


类比引入

思考:
两个实数除了可以比较大小外,还可以进 行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合 是否也可以“相加”呢?

思考:

类比引入

考察下列各个集合,你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6},
C={

1,2,3,4,5,6}. (2)A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.

集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的.

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作:A∪B(读作:“A并B”) 即: A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
用Venn图表示: A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

并集的性质

(1) A ? A ? A ( 2) A ? ? ? A (3) A ? B ? B ? A ( 4) A ? A ? B , B ? A ? B (5) A ? B则A ? B ? B

并集例题
例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求AUB. 解:A ? B ? {4,5,6,8} ? {3,5,7,8} ? {3,4,5,6,7,8}

例2.设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求AUB. 解:A ? B ? { x | ?1 ? x ? 2} ? { x | 1 ? x ? 3} ? ?x | ?1 ? x ? 3?
可以在数轴上表示例2中的并集,如下图:

类比引入

思考:
求集合的并集是集合间的一种运算,那么, 集合间还有其他运算吗?

类比引入

思考:

考察下面的问题,集合C与集合A、B之 间有什么关系吗?
(1) A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12},

C={8}. (2)A={x|x是我校2011年9月在校的女同学},
B={x|x是我校2011年9月入学的高一年级同学}, C={x|x是我校2011年9月入学的高一年级女同学}.

集合C是由那些既属于集合A且又属于集合 B的所有元素组成的.

交集概念
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合,称为A与B的交集(intersection set). 记作:A∩B(读作:“A交B”) 即: A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.
Venn图表示: A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B

B

交集的性质
(1) A ? A ? A (2)A ? ? ? ? (3)A ? B ? B ? A (4)A ? B ? A, A ? B ? B (5)A ? B 则 A ? B ? A

交集例题
例3 新华中学开运动会,设

A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}, B={ x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},

求A? B. 解: A ? B 就是新华中学高一年级中那些既参加百 米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.
所以,A ? B ={x|x是新华中学高一年级既参加百 米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

交集例题
例4 设平面内直线 l1上点的集合为 L1 ,直线 l 2 上点的集合 l 2 的位置关系. 为 L2 ,试用集合的运算表示 l1、 解: 平面内直线 l1 、l 2 可能有三种位置关系,即相交于 一点,平行或重合.

l 2相交于一点P可表示为 (1)直线 l1 、
L1 ? L2 ={点P}

l 2平行可表示为 (2)直线 l1、
L1 ? L2 ?

l 2重合可表示为 (3)直线 l1 、
L1 ? L2 ? L1 ? L2

补例1、求满足? 1, 2?? B ? ? 1,2,3? 的集合B的个数。
解: ?? 1,2?? B ? ? 1 , 2, 3? ?3 ? B

?, ?2,3?, ?1,2,3 ?共4个。 则B ? ?3?, ? 1,3

已知A ? B ? ?9?, 求a 解: ? A ? B ? ?9??9 ? A
2

补例2、设A ? - 4, 2,a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a?
2

?

?

则a ? 1 ? 9或a ? 9 ? a ? 10或a ? 3或a ? ?3

?, B ? ?9,5,?9? 若a ? 10, 则A ? ?? 4,2,9,100 满足A ? B ? ?9?
若a ? 3, 此时a ?1 ? 2,不合题意; 若a ? -3, 此时a ?1 ? -4,不合题意;
综上所述, a ? 10

补例3、设集合A ? x | x 2 ? 4 x ? 0 ,

B ? x | x ? 2( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0, a ? R
2 2

?

?

?

?

若A ? B ? B, 求a的范围
2 2

( 1 )、若B中只有一个元素 则? ? 0 ? a ? ?1

1?.B ? ? ,即x ? 2(a ? 1) x ? a ?1 ? 0无实数解 2 2 ?? ? ( 4 a ? 1) ? 4(a ?1) ? 0 ? a ? ?1 2?.B ? ?
则B ? x | x 2 ? 0 ? ?0? ? A

解: ? A ? ?- 4, 0? ,又? A ? B ? B? B ? A

?

?

(2)、若B中有两个元素,要满足 B ? A,则方程两根为- 4和0. ( ? 0 ? -2 (a ? 1) ? - 4) 则? ? a ?1 2 ( ? 0 ? a ?1 ? ? 4)

综上:a ? ?1或a ? 1

练习: P11 1,2,3
1、已知非空集合 A ? ?x | 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5?, B ? ?x | 3 ? x ? 22? 则求能使A ? (A ? B)成立的所有a的值的集合。

解: ? A ? (A ? B)即A ? B, 又 ? A ? ? ?2a ? 1 ? 3a ? 5 ? ? ?2 a ? 1 ? 3 ?6?a?9 ?3a ? 5 ? 22 ?

所以,满足条件的所有 a的集合为?a | 6 ? a ? 9?

2、已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 5?, B ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1? 且A ? B ? A,, 求实数m的取值范围。

解: ?A ? B ? A ? B ? A

又 ? A ? ?x | ?2 ? x ? 5? ? ?

1?、若B ? ?,则m ? 1 ? 2m ? 1 ? m ? 2 ?m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 2?、若B ? ? , 则?m ? 1 ? ?2 ?2?m?3 ?2 m ? 1 ? 5 ? 综上:m ? 3

课堂小结

1. 理解两个集合交集与并集的概念 bb和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 bbb数轴法和图示法. 3.注意灵活、准确地运用性质解题; 4. 注意对字母要进行讨论 .

作业:

P12 A组 6,7,8
B组 1,3


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