nbhkdz.com冰点文库

《数学1》教案

时间:2012-03-09


《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):1/10

§1.3、 函数的基本性质 1.3、 单调性与最大 最大( §1.3.1、单调性与最大(小)值
一、最大(小)值
(一)知识要点 1.函数最大值定义 一般地,设函数 y = f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:(1)对于任意的 x ∈ I

,都有

f ( x) ≤ M ;(2)存在 x0 ∈ I ,使得 f ( x0 ) = M 。那么,称 M 是函数 y = f ( x) 的最大值。
①存在性:定义域内存在 x0 ∈ I ,有函数值 f ( x0 ) = M ; 存在 函数值 ②任意性:定义域内任意的 x ∈ I ,都有 f ( x) ≤ M ( f ( x) ≥ m) 。 任意的 2.求函数最大(小)值的方法:①配方法;②换元法;③数形结合法 ①配方法;②换元法;③ (二)典型例题 【例 1】(教材 P36 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 教材 “菊花”烟火在离地面 18m 的地方点火,希望在离地 25m 到 30m 处的最高点附近爆炸,已知离 地高度与时间的关系式为 h(t ) = ?4.9t 2 + 14.7t + 18 ,求最佳爆炸时间?这时离地面的高度是多少?(精 确到 1m)? 解:做出函数 h(t ) = ?4.9t 2 + 14.7t + 18 的图像(如右图), 显然图像的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是最佳爆炸 是时间,纵坐标就是离地高度。 由二次函数的知识,对于 h(t ) = ?4.9t 2 + 14.7t + 18 函数有: 当 t=?

b 14.7 =? = 1.5 时 , 函 数 有 最 大 值 2a 2 × (?4.9)

h=

4ac ? b 2 4 × (?4.9) × 18 ? 14.7 2 = ≈ 29 4a 4 × (?4.9)

于是,烟花冲出 1.5s 是它的最佳爆炸时间,这时离地面的高度是 29m。 【例 2】将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每个涨价 1 元,其销售量 减少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少? 解 : 设 利 润 为 y 元 , 每 个 售 价 为 x 元 , 则 每 个 涨 ( x - 50 ) 元 , 从 而 销 售 量 减 少

10( x ? 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个) ∴ y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70)2 + 9000 (50 ≤ x <100) ∴ x = 70时 ymax = 9000
答:为了赚取最大利润,售价应定为 70 元. 【例 3】求函数 y = 解:(略) 【例 4】求函数 y = x + 1 ? x 的最大值. 解:令 t = 1 ? x ≥ 0 有x = ?t 2 + 1则

2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

1 5 y = ?t 2 + t + 1 = ?(t ? ) 2 + Qt ≥ 0 2 4 1 ∴?(t ? ) 2 ≤ 0 2 1 2 5 5 ∴?(t ? ) + ≤ 2 4 4

《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):2/10

5 ∴ 原函数的最大值为 . 4
(三)归纳小结 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定 函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值. 课堂练习(巩固深化,反馈矫正) (四)课堂练习(巩固深化,反馈矫正) 【堂练 1】《P38 练习》, 》,4 《 练习》, 4、 f ( x ) 是定义在区间[-6,11]上的函数, 设 如果 f ( x ) 在区间 [ ?6, ?2] 上递减, 在区间 [ ?2,11] 上 递增,画出 f ( x ) 的一个大致的图象,从图象上可以发现 f ( ?2) 是函数 f ( x ) 的一个 【堂练 2】求函数 y =| x ? 3 | ? | x + 1| 的最大值和最小值.
25

.

【堂练 3】把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x , 面积为 y ,试将 y 表示成 x 的函数,并画出函数的大致图象,并判断怎样锯才能 使得截面面积最大?

(六)课后作业(设置问题,留下悬念) 课后作业(设置问题,留下悬念) 1.课本 P45(A 组) 6.7.8 课本 . .

2.求函数 y = x + 2 x ? 1 的最小值.
2 3.求函数 y = x ? 2 x + 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 . ① ?1 ≤ x ≤ 0 ② 0≤ x≤3 ③ x ∈ ( ?∞, +∞ )

《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):3/10

二、单调性
(一)知识要点 1、增函数 一般地, 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2, 的定义域为 , 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function). , 在区间 上是增函数( ) 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质 某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 必须是对于区间 任意两个自变量 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . 2.函数的单调性定义 在某个区间上是增函数或是减函数, 在这一区间具有( 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的) 在某个区间上是增函数或是减函数 在这一区间具有 严格的) 单调性, 单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间 的单调区间。 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (二)典型例题 【例 1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间 上,它是增函数还是减函数?

解:略 【例 2】物理学中的玻意耳定律 P=

k (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积 V 减少时, V k 在区间(0,+∞)上是减函数即可。 V

压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。 分析:按题意,只要证明函数 P=

证明:略 (三)归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调 区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 (三)课堂练习 1 ○ 课本 P38 练习第 1、2、3 题(对应【堂练 1-3】) 【堂练 1】请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 【堂练 1-参答】在一定的范围内, 生产效率随着工人数量的增加而 提高,当工人数量达到某个数量 时,生产效率达到最大值,而超过

《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):4/10

【堂练 2】整个上午 (8 : 00

12 : 00) 天气越来越暖,中午时分 (12 : 00 13 : 00) 一场暴风雨使天气骤然凉
20 : 00 期

爽了许多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山 (18 : 00) 才又开始转凉.画出这一天 8 : 00 间气温作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间. 2.解:图象如下

[8,12] 是递增区间, [12,13] 是递减区间, [13,18] 是递增区间, [18, 20] 是递减区间.
【堂练 3】根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.

3.解:该函数在 [ ?1, 0] 上是减函数, 在 [0, 2] 上是增函数,在 [2, 4] 上是减 函数,在 [4,5] 上是增函数.

【堂练 4】证明函数 y = x +

1 在(1,+∞)上为增函数. x

【堂练 5】借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间. 解:(略) 【堂练 6:思考】画出反比例函数 y =

1 的图象. x

1 ○ 这个函数的定义域是什么? 2 ○ 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论. (五)课后作业 课本 P45 习题 1.3、(A 组)第 1-5 题 【课后 1】画出下列函数的图象,并根据图象说出函数 y = f ( x) 的单调区间,以及在各单调区间 上函数 y = f ( x) 是增函数还是减函数.
2 (1) y = x ? 5 x ? 6 ;

(2) y = 9 ? x 2 .

《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):5/10

【课后 1】解:(1)

函数在 (?∞, ) 上递减;函数在 [ , +∞ ) 上递增; (2)

5 2

5 2

函数在 (?∞, 0) 上递增;函数在 [0, +∞ ) 上递减. 【课后 2】证明: (1)函数 f ( x) = x 2 + 1 在 (?∞, 0) 上是减函数; (2)函数 f ( x ) = 1 ?

1 在 (?∞, 0) 上是增函数. x
2 2

【课后 2】证明:(1)设 x1 < x2 < 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x1 ? x2 = ( x1 + x2 )( x1 ? x2 ) , 由 x1 + x2 < 0, x1 ? x2 < 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 , 即 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) = x 2 + 1 在 (?∞, 0) 上是减函数; (2)设 x1 < x2 < 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

1 1 x1 ? x2 ? = , x2 x1 x1 x2

由 x1 x2 > 0, x1 ? x2 < 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ,

《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):6/10

即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) = 1 ?

1 在 (?∞, 0) 上是增函数. x

【课后 3】探究一次函数 y = mx + b( x ∈ R ) 的单调性,并证明你的结论. 【课后 3】解:当 m > 0 时,一次函数 y = mx + b 在 ( ?∞, +∞ ) 上是增函数; 当 m < 0 时,一次函数 y = mx + b 在 ( ?∞, +∞ ) 上是减函数, 令 f ( x ) = mx + b ,设 x1 < x2 , 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = m( x1 ? x2 ) , 当 m > 0 时, m( x1 ? x2 ) < 0 ,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 得一次函数 y = mx + b 在 ( ?∞, +∞ ) 上是增函数; 当 m < 0 时, m( x1 ? x2 ) > 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 得一次函数 y = mx + b 在 ( ?∞, +∞ ) 上是减函数. 【课后 4】一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图). 【课后 4】解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为

【课后 5】某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为

x2 y = ? + 162 x ? 21000 ,那么,每辆车的月租金多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 50
少? 【课后 5】解:对于函数 y = ? 当x=?

x2 + 162 x ? 21000 , 50

162 2 × (? 1 ) 50

= 4050 时, ymax = 307050 (元),

即每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司最大月收益为 307050 元.

《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):7/10

§1.3.2、奇偶性 .2、
(一)函数的奇偶性定义: 函数的奇偶性定义: 1.偶函数:一般地,对于函数 f ( x ) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f ( ? x ) = f ( x ) ,那么 f ( x ) 就叫 做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义. 2.奇函数:一般地,对于函数 f ( x ) 的定义域的任意一个 x ,都有 f ( ? x ) = ? f ( x) ,那么 f ( x ) 就叫 做奇函数. 注意: 注意: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是:对于定义域内的任意一个 x , 对于定义域内的任意一个 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). 则 ? x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 3.具有奇偶性的函数的图象的特征 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 小结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ★小结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f ( ? x)与f ( x)的关系 ; ③作出相应结论: 若 f ( ? x) = f ( x)或f ( ? x) ? f ( x) = 0, 则f ( x)是偶函数 ; 若 f ( ? x) = ? f ( x)或f ( ? x) + f ( x) = 0, 则f ( x)是奇函数 . 归纳小结,整体认识. ★归纳小结,整体认识. 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判 断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称,单调性与奇偶性的综合应用是本 节的一个难点,需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. (二)典型例题 【例 1】判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) = x 2 (2) f ( x) =
3

x ∈ [?1, 2]

x ? x2 x ?1 解:函数 f ( x) = x 2 , x ∈ [ ?1, 2] 不是偶函数,因为它的定义域关于原点不对称.
函数 f ( x) =

x3 ? x 2 也不是偶函数,因为它的定义域为 { x | x ∈ R且x ≠ 1} ,并不关于原点对称. x ?1
(2) f ( x) = x5 (3) f ( x ) = x +

【例 2】判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) = x 4

1 x

(4) f ( x ) =

1 x2

解:(略) 【例 3】判断下列函数的奇偶性: ① f ( x ) = lg (4 + x ) + g (4 ? x )

?1 2 ? 2 x + 1 ( x > 0) ? ② g ( x) = ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x < 0) ? 2 ?
分析:先验证函数定义域的对称性,再考察 f ( ? x)是否等于f ( x)或 ? f ( x) . 解:(1) f ( x )的定义域是 x |4+x >0 且 4 ? x > 0} = { x | ?4 < x < 4} ,它具有对称性.因为

{

f (? x) = lg (4 ? x) + lg (4 + x) = f ( x) ,所以 f ( x) 是偶函数,不是奇函数. (2)当 x >0 时,- x <0,于是 1 1 g (? x) = ? (? x) 2 ? 1 = ?( x 2 + 1) = ? g ( x) 2 2

《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):8/10

当 x <0 时,- x >0,于是

1 1 1 (? x) 2 + 1 = x 2 + 1 = ?(? x 2 ? 1) = ? g ( x) 2 2 2 - + 综上可知,在 R ∪R 上, g ( x ) 是奇函数. g (? x) =
【例 4】利用函数的奇偶性补全函数的图象.(教材 P41 思考题) 教材 思考题)

规律:偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据. 【例 5】已知 f ( x ) 是奇函数,在(0,+∞)上是增函数. 证明: f ( x ) 在(-∞,0)上也是增函数. 证明:(略) ★小结:偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致 (三)课堂练习 (1)课本 P42 练习 1、2;P46 B 组题的 1、2、3 【堂练 1】判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) = 2 x 4 + 3 x 2 ; (2) f ( x) = x3 ? 2 x (3) f ( x) =

x2 + 1 ; x

(4) f ( x) = x 2 + 1 .

【堂练 1】解:(1)对于函数 f ( x) = 2 x 4 + 3 x 2 ,其定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f ( ? x) = 2( ? x) 4 + 3( ? x) 2 = 2 x 4 + 3 x 2 = f ( x) , 所以函数 f ( x) = 2 x 4 + 3 x 2 为偶函数; (2)对于函数 f ( x) = x3 ? 2 x ,其定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f ( ? x) = ( ? x)3 ? 2( ? x) = ?( x 3 ? 2 x) = ? f ( x) , 所以函数 f ( x) = x3 ? 2 x 为奇函数; (3)对于函数 f ( x) =

x2 + 1 ,其定义域为 ( ?∞, 0) U (0, +∞) ,因为对定义域内 x (? x)2 + 1 x2 + 1 =? = ? f ( x) , ?x x

每一个 x 都有 f ( ? x) =

《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):9/10

x2 + 1 所以函数 f ( x) = 为奇函数; x
(4)对于函数 f ( x) = x + 1 ,其定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,因为对定义域内
2

每一个 x 都有 f ( ? x) = ( ? x) + 1 = x + 1 = f ( x) ,
2 2

所以函数 f ( x) = x + 1 为偶函数.
2

【堂练 2】已知 f ( x ) 是偶函数, g ( x ) 是奇函数,试将下图补充完整.

【堂练 2】解: f ( x ) 是偶函数,其图象是关于 y 轴对称的; g ( x ) 是奇函数,其图象是关于原点对称的.

【堂练 3、堂练 4、堂练 5】

【堂练 6】判断下列函数的奇偶性,并说明理由. ① f ( x ) = 0, x ∈ [ ?6, ?2] U [2, 6] ; ② f ( x ) =| x ? 2 | + | x + 2 | ③ f ( x ) =| x ? 2 | ? | x + 2 |
2 ④ f ( x ) = lg ( x + 1 + x )

《数学 1》教案_ch1.3 函数的基本性质 (定稿 20110923):10/10

(六)课后作业 1.书面作业:课本 P46 习题 A 组 1、3、9、10 题 【课后 1、课后 2、课后 3、课后 4】

【课后 5】设 f ( x)在R上是奇函数,当x >0 时, f ( x ) = x (1 ? x) 。 试问:当 x <0 时, f ( x ) 的表达式是什么? 解:当 x <0 时,- x >0,所以 f ( ? x ) = ? x (1 + x ) ,又因为 f ( x ) 是奇函数,所以

f ( x) = ? f (? x) = ?[? x(1 + x)] = x(1 + x) .


人教版小学数学一年级上册《加法》教案

人教版小学数学一年级上册《加法》教案_数学_小学教育_教育专区。数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台! 加法素质教育目标 (一)知识教学点 1.使...

小学数学一年级上册《数一数》教学设计

基于互联网搜索的小学数学一年级上册 基于互联网搜索的小学数学一年级上册 《数一数 》教学设计 教学设计背景 教学设计背景 这节课是新生入学后的第一节数学课。...

小学数学一年级下册《看一看》教案

小学数学一年级下册《看一看》教案_韩语学习_外语学习_教育专区。小学数学一年级下册《看一看》教案 教学内容: 看一看 教学目标: 1、通过观察实物的前、后、左、...

人教版一年级数学上册《 1—5的认识和加减法》教案设计

人教版年级数学上册《 1—5的认识和加减法》教案设计_数学_小学教育_教育专区。人教版一年级数学上册《 1—5的认识和加减法》教案设计 ...

沪教版数学一上《数一数》教学设计

沪教版数学一上《数一数》教学设计_数学_小学教育_教育专区。课题: 教学目标: 【知识与技能】 数一数(1) 教学内容:上海市九年义务教育课本小学数学一年级第一...

人教版小学一年级上册数学《加法》教案

人教版小学一年级上册数学《加法》教案_数学_小学教育_教育专区。《加法》教学设计【教学内容】人教版小学数学一年级上册第 24~25 页。 【教学目标】 1.初步认识...

沪教版数学一上《数墙》教学设计1

沪教版数学一上《数墙》教学设计1_教学案例/设计_教学研究_教育专区。数墙 教学目标: 1.认识标有数学的墙。 2.探索数墙的构造以及数墙的规律,会根据规律解答...

冀教版数学一下《数数》word教案

冀教版数学一下《数数》word教案_教学案例/设计_教学研究_教育专区。数数 教学内容:教材第 41-43 页 教学目标: 知识与技能: 使同学们能够正确的数出 100 ...

西师大版数学一上《认识11-20各数》1教学设计

西师大版数学一上《认识11-20各数》1教学设计_教学案例/设计_教学研究_教育专区。认识 11~20 各数 【教学内容】 教科书第 64~67 页的教学内容。 【教学...

北京版数学一上《数一数》word教案

北京版数学一上《数一数》word教案_教学案例/设计_教学研究_教育专区。数一数 教学目标: 1.知识与技能: 初步了解同学们的数数能力, 知道大小、 长短、高矮、...