nbhkdz.com冰点文库

一般数列的通项与求和1.

时间:2016-05-27


?: 根据数列的前4项,写出它的一个通 例1

项公式:9,99,999,9999,…
解:(1)变形为:101-1,102-1, 103―1,104―1,… ∴通项公式为: an =10n-1

1.观察法

? 观察各项的特点,关键是找出各项 与项数n的关系,我们也把这种做 法称为归纳猜想法。
? 变式:根据数列的前4项,写出它的一个通项公 式: ? ① 0.1,0.01,0.001,0.0001,?
? ②
1 3 7 15 , , , ,? 2 4 8 16

2.公式法

? 当已知数列为等差或等比数列时,可 直接利用等差或等比数列的通项公式, 只需求得首项及公差、公比。

3.S n法

? s1 主要是公式an ? ? ? sn ? sn ? 1

( n ? 1) ( n ? 2)

的运用

例3.已知数列?an ?的前n和为sn , 求 ?an ?的通项公式 (1) sn ? 2n2 ? 3n;(2) sn ? ( ?1)n?1 ? n;(3) sn ? 2 n ? 1

? 变式:数列{an}的前n项和为sn, a1=1,

1 an+1= s n ,求数列{an}的通项公式。 3

4. 叠加法

(也称累加法)

一般地,对于形如 an+1-an=f(n)的通项公式, 只要f(n)能进行求和,则宜采用此方法求解。

(1)若f(n)为常数,即:an+1-an=d,此时数列为等 差数列,则an=a1+(n-1)d (2)若f(n)为n的函数时,用累加法.方法如下: 由 an+1=an+f(n)得:当n>1时,有 a2 = a1 + f (1) 也可用横式来写: a3 = a2 + f(2) an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an? 2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ………………… an-1 =an-2 + f(n-2) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) ? a1 an =an-1 + f(n-1)
所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1).

例4:已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n, 求数列{an}的通项公式。

练习:已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,
求数列{an}的通项公式。

备 注:
已知,a1=a, an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的 一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求 通项. ①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等 差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等 比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。

5.叠乘法

(也称累乘法、累积法)

对于型如:an+1=f(n)〃an 类的通项公式,当 f(1)〃f(2)〃…〃f(n)的值可以求得时,宜采用此方 an ? 1 法。 (1)当f(n)为常数,即: ? q(其中q是不为0的数),

an

此时,数列为等比数列,an=a1〃qn-1. (2)当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由 an?1 ? f (n) 得n>1 时, an ? f ( n ? 1) ,

a n an ? 1 a2 an ? ? ? ? ? ? a1 ? f (n) ? f (n ? 1) ??? f (1) ? a1 an ? 1 a n ? 2 a1

an

an ? 1

an ?1 n 例5:已知数列{an }中, a1 ? 1, ? , an n?1 求数列{an }的通项公式.

2 2 na ? a a ? ( n ? 1 ) a 变式:已知数列{an}满足a1=1,且 n?1 n n?1 n ?0

an ? 0, 则数列的通项公式an =



6.辅助数列法 (构造法)
这种方法类似于换元法, 主要用于形如 an+1=can+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。

(1)若c=1时,数列{an}为等差数列;
(2)若d=0时,数列{an}为等比数列; (3)若c≠1且d≠0时,数列{an}为线性递推数列, 其通项可通过构造辅助数列来求. 方法1:待定系数法 方法2:构造新数列法 方法3:迭代法 方法4:归纳、猜想、证明法 先计算出a1,a2,a3; 再猜想出通项an; 最后用数学归纳法证明.

例6:已知数列{an}中a1=3,an+1=2an+3, 求数列的通项公式.
变式1:已知数列{an}中,a1=1,2an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.
sn ? 1 变式 2:已知数列?an ?的a1 ? 1, sn ? ( n ? 2). 2 sn ? 1 ? 1 求数列?an ?的通项公式.
变式3:已知数列?an ?的首项a1 ? 3, 通项an与前n项和sn之 间满足2an ? sn ? sn?1 ( n ? 2).求数列?an ?的通项公式.

求一般数列的通项公式方法总结:
? ? ? ? ? ? 观察法 公式法 Sn法 叠加法 叠乘法 辅助数列(构造)法


赞助商链接

...(江西)二轮复习专题训练:1-3-1数列的通项与求和问题...

2015高考数学(理)(江西)二轮复习专题训练:1-3-1数列的通项与求和问题 - 专题三 第1讲 一、选择题 数列 数列的通项与求和问题 1.在等差数列{an}中,若 a2...

...五教案:1.3 典型例题剖析:等比数列的通项与求和

高中数学(北师大版)必修五教案:1.3 典型例题剖析:等比数列的通项与求和 - 等比数列的通项与求和 一、知识导学 1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,...

专题1求通项与专题2求和

专题1通项与专题2求和 - 高二数学导学案(必修五) 编者:丁红 专题一 求数列通项公式 教学目标: 1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意 义, 2、了解递...

1-4-2 数列通项与求和

1-4-2 数列通项与求和 - 限时速解训练十二 递推数列及数列求和 (建议用时 40 分钟) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1....

...~2018学年度高一期末复习05-数列的通项与求和

秦淮中学2017~2018学年度高一期末复习05-数列的通项与求和 - 南京市秦淮中学 2017-2018 期末复习卷 05-数列的通项与求和 A 1. 设数列 满足 1 = 1,且 +1...

数列通项公式和求和公式总结1

数列通项公式和求和公式总结1_数学_高中教育_教育专区。【一】 求数列通项公式的常用方法 各个求通项的方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也可能同 时...

已知数列中,,其前项和为,(1)求数列的通项公式;(2)令,求...

理科数学 等差数列的基本运算、等差数列的判断与证明、裂项相消法求和已知数列中,,其前项和为, (1)求数列的通项公式; (2)令,求数列的前项和为。考察...

...第六章 数列 第2节 数列的通项公式与求和 Word版含解析

第2节 数列的通项公式与求和 题型 74 数列通项公式的求解 1.(2013 安徽文 19)设数列 ?an? 满足 a 1 ?2 ,a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N* ,函 ...

数列为正项等比数列,且满足;设正项数列的前n项和为Sn,...

数列为正项等比数列,且满足;设正项数列的前n项和为Sn,满足.(1)求的通项公式;(2)设的前项的和Tn._答案解析_2016年数学_一模/二模/三模/联考_图文_百度高考

...数列的前n项和为,公差成等比数列(1)求数列的通项公...

已知等差数列的前n项和为,公差成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)若从数列中依次取出第2项、第4项、第8项,,按原来顺序组成一个新数列,且这个数列的前的...