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一般数列的通项与求和1.


?: 根据数列的前4项,写出它的一个通 例1

项公式:9,99,999,9999,…
解:(1)变形为:101-1,102-1, 103―1,104―1,… ∴通项公式为: an =10n-1

1.观察法

? 观察各项的特点,关键是找出各项 与项数n的关系,我们也把这种做 法称为归纳猜想法。

>? 变式:根据数列的前4项,写出它的一个通项公 式: ? ① 0.1,0.01,0.001,0.0001,?
? ②
1 3 7 15 , , , ,? 2 4 8 16

2.公式法

? 当已知数列为等差或等比数列时,可 直接利用等差或等比数列的通项公式, 只需求得首项及公差、公比。

3.S n法

? s1 主要是公式an ? ? ? sn ? sn ? 1

( n ? 1) ( n ? 2)

的运用

例3.已知数列?an ?的前n和为sn , 求 ?an ?的通项公式 (1) sn ? 2n2 ? 3n;(2) sn ? ( ?1)n?1 ? n;(3) sn ? 2 n ? 1

? 变式:数列{an}的前n项和为sn, a1=1,

1 an+1= s n ,求数列{an}的通项公式。 3

4. 叠加法

(也称累加法)

一般地,对于形如 an+1-an=f(n)的通项公式, 只要f(n)能进行求和,则宜采用此方法求解。

(1)若f(n)为常数,即:an+1-an=d,此时数列为等 差数列,则an=a1+(n-1)d (2)若f(n)为n的函数时,用累加法.方法如下: 由 an+1=an+f(n)得:当n>1时,有 a2 = a1 + f (1) 也可用横式来写: a3 = a2 + f(2) an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an? 2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ………………… an-1 =an-2 + f(n-2) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) ? a1 an =an-1 + f(n-1)
所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1).

例4:已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n, 求数列{an}的通项公式。

练习:已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,
求数列{an}的通项公式。

备 注:
已知,a1=a, an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的 一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求 通项. ①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等 差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等 比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。

5.叠乘法

(也称累乘法、累积法)

对于型如:an+1=f(n)〃an 类的通项公式,当 f(1)〃f(2)〃…〃f(n)的值可以求得时,宜采用此方 an ? 1 法。 (1)当f(n)为常数,即: ? q(其中q是不为0的数),

an

此时,数列为等比数列,an=a1〃qn-1. (2)当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由 an?1 ? f (n) 得n>1 时, an ? f ( n ? 1) ,

a n an ? 1 a2 an ? ? ? ? ? ? a1 ? f (n) ? f (n ? 1) ??? f (1) ? a1 an ? 1 a n ? 2 a1

an

an ? 1

an ?1 n 例5:已知数列{an }中, a1 ? 1, ? , an n?1 求数列{an }的通项公式.

2 2 na ? a a ? ( n ? 1 ) a 变式:已知数列{an}满足a1=1,且 n?1 n n?1 n ?0

an ? 0, 则数列的通项公式an =



6.辅助数列法 (构造法)
这种方法类似于换元法, 主要用于形如 an+1=can+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。

(1)若c=1时,数列{an}为等差数列;
(2)若d=0时,数列{an}为等比数列; (3)若c≠1且d≠0时,数列{an}为线性递推数列, 其通项可通过构造辅助数列来求. 方法1:待定系数法 方法2:构造新数列法 方法3:迭代法 方法4:归纳、猜想、证明法 先计算出a1,a2,a3; 再猜想出通项an; 最后用数学归纳法证明.

例6:已知数列{an}中a1=3,an+1=2an+3, 求数列的通项公式.
变式1:已知数列{an}中,a1=1,2an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.
sn ? 1 变式 2:已知数列?an ?的a1 ? 1, sn ? ( n ? 2). 2 sn ? 1 ? 1 求数列?an ?的通项公式.
变式3:已知数列?an ?的首项a1 ? 3, 通项an与前n项和sn之 间满足2an ? sn ? sn?1 ( n ? 2).求数列?an ?的通项公式.

求一般数列的通项公式方法总结:
? ? ? ? ? ? 观察法 公式法 Sn法 叠加法 叠乘法 辅助数列(构造)法


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