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2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

时间:2010-07-27


年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题 2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题 第一试
一,填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分) 填空题(
2

* 1. 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = n + 3n + 4 n ∈ N ,则 a1 + a3 + a5 + L + a21 =

(


)

. . .

2. 若集合 A = x

{

x 3 = ax + 1, x ∈ R 为空集,则实数 a 的取值范围是
2 2

}

3. 设 x , y 为实数, 2 x + y ≥ 1 ,则二元函数 u = x + 4 x + y 2 y 的最小值是 4. 设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 = 1 的左,右焦点,以 F1 F2 为直径的圆交双曲线左支于 A , B 两点, a2 b2
.

且 ∠AF1 B = 120° . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k + 1 之间,则 k =

5. 已知长方体 ABCD A1 B1C1 D1 的体积为 216 ,则四面体 AB1CD1 与四面体 A1 BC1 D 的重叠部分的体积 等于 . .

6. 设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,则 [log 3 1] + [log 3 2] + [log 3 3] + L + [log 3 258] = 7. 设方程 x
2 n +1

a2 n x 2 n a2 n 1 x 2 n 1 L a1 x a0 = 0 的根都是正数,且 a1 = ( 2n + 1) ,则
. 个棋盘格.

a0 的最大值是

8. 2009 × 1911 的方格棋盘的一条对角线穿过 解答题( 二, 解答题(本题满分 14 分)

求函数 f ( x ) = sin x tan x + cos x cot x 的值域.
4 4

三,解答题(本题满分 15 分) 解答题( 如图,抛物线 y 2 = 2 x 及点 P (1,1) ,过点 P 的不重合的直线 l1 , l2 与此抛物线分别交于点 A ,

B , C , D .证明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.
y C A P O D B x

四,解答题(本题满分 15 分) 解答题( 设 a , b 是正数,且 a ≠ 1 , b ≠ 1 ,求证:

a 5 1 b5 1 25 > ( a + 1)( b + 1) . a 4 1 b 4 1 64

1

年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试题 2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试题
(本题满分 一, 本题满分 50 分) ( 如图,在△ ABC 中, DE ‖ BC ,△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上的旁切圆 切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M , N , P 三点共线.
A

D B

M P N

E

C

(本题满分 二, 本题满分 50 分) ( 设 k , n 为给定的整数, n > k ≥ 2 . 对任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元子集的元素和,记这些 和组成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ ,求 CQ 的最大值.

(本题满分 三, 本题满分 50 分) ( n n n 设 M = 2 1 + 2 2 + L + 2 s , n1 , n2 , L , ns 是互不相同的正整数,求证:

M = 2 + 2 +L+ 2 < 1+ 2

n1 2

n2 2

ns 2

(

)

M.

(本题满分 四, 本题满分 50 分) ( 求满足下列条件的所有正整数 x , y : (1) x 与 y 1 互素; (2) x 2 x + 1 = y 3 .

2

2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

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