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高二理随机变量及其分布


信 号 源 一、选择题: 1.一工厂生产的 100 个产品中有 90 个一等品,10 个二等品,现从这批产品中抽取 4 个,则其中恰好有一 个二等品的概率为:( ) 4 1 0 C90 C10 C C 4 ? C1 C 3 C1 C 3 A. 1 ? 4 B. 10 90 4 10 90 C. 4 D. 10 4 90 . C100 C100 C100 C100 2.位于坐标原点

的一个质点 P,其移动规则是:质点每次移动一个单位,移动的方向向上或向右,并且向 上、向右移动的概率都是 A. ( ) 10.右图中有一个信号源和五个接收器。 接收器与信号源在同一个串联线路中时, 就能接收到信号,否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地 平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中 每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 ( ) 4 1 4 8 A. B. C. D. 15 15 45 36 二、填空题: 11.若随机变量 X 服从两点分布,且成功概率为 0.7;随机变量 Y 服从二项分布,且 Y~B(10,0.8) ,则 EX,DX,EY,DY 分别是 , , , . 12.甲乙两市位于长江下游,根据一百多年的记录知道,一年中雨天的比例,甲为 20%,乙为 18%,两市 同时下雨的天数占 12%. 求: ① 乙市下雨时甲市也下雨的概率为_______② 甲乙两市至少一市下雨的概率为 __ 13.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9 .她连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影 响.有下列结论:①他第 3 次击中目标的概率是 0.9;②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.9 ? 0.1;③他至
3

1 2

5

B. C 5 ( )

2

1 2

5

1 .质点 P 移动 5 次后位于点(2,3)的概率是: ( ) 2 3 1 3 2 3 1 5 C. C5 ( ) D. C 5 C 5 ( ) 2 2
甲 乙 2 0.2 3 0.1 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0 A 甲的产品质量比

3.甲,乙两个工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如下表所列,则有结论: 工人 废品数 概率 0 0.4 1 0.3

乙的产品质量好一些;B 乙的产品质量比甲的产品质量好一些; C 两人的产品质量一样好; D 无法判断谁的质量好一些; 4.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜” ,即以先赢 2 局者为胜.根据经验,每局比赛中 甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率是( ) A. 0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648 5.把一枚质地不均匀 的硬币连掷 5 次,若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同(均不 ..... 为 0 也不为 1) ,则恰有三次正面向上的概率是:( ) 40 10 5 10 A. B. C. D. 243 16 243 27 6.将三颗骰子各掷一次,设事件 A=“三个点数都不相同”,B=“至少出现一个 6 点”,则 概率 P( A B) 等于: ( A ) D

14. 对 有 n(n≥4) 个 元 素 的 总 体 ?1, 2,

少击中目标 1 次的概率是 1 ? 0.1 .其中正确结论的序号是
4

, n? 进 行 抽 样 , 先 将 总 体 分 成 两 个 子 总 体 ?1,2,

_____ (写出所有正确结论的序号) .

, m? 和
.

?m ?1, m ? 2,

且 2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本. , n? (m 是给定的正整数, ; 所有 P ij (1≤i<j≤ n ? 的和等于

用P 1n = ij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率,则 P

三、解答题: 15.有 20 件产品,其中 5 件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽 2 件.求:⑴第一次抽到次 品的概率;⑵第一次和第二次都抽到次品的概率;⑶在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概 率.

60 91
A.

B

1 2

C

5 18
4 9

91 216
11 21
D.

7.从 1,2,??,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率是:()

5 9

B.

C.

10 21

8.从甲口袋摸出一个红球的概率是

1 1 2 ,从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ,则 是( ) 3 2 3

16.在奥运会射箭决赛中,参赛号码为 1~4 号的四名射箭运动员参加射箭比赛。 (Ⅰ) 通过抽签将他们安排到 1~4 号靶位, 试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率; (Ⅱ)记 1 号、2 号射箭运动员射箭的环数为 ? ( ? 所有取值为 0,1,2,3. . . ,10)分别为 P 、 P2 . 1 根据教练员提供的资料,其概率分布如下表: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?

P 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0.06 0.04

0.04 0.05

0.06 0.05

0.3 0.2

0.2 0.32

0.3 0.32

0.04 0.02

A.2 个球不都是红球的概率 B. 2 个球都是红球的概率 C.至少有一个个红球的概率 D. 2 个球中恰好有 1 个红球的概率 9.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误, 假定接收一个信号时发生错误的概 率是

P2

①若 1,2 号运动员各射箭一次,求两人中至少有一人命中 9 环的概率; ②判断 1 号,2 号射箭运动员谁射箭的水平高?并说明理由.

1 ,为减少错误,采取每一个信号连发 3 次,接收时以“少数服从多数”的原则判断,则判错一 10
1 100
B.

个信号的概率为:( ) A.

7 250

C.

1 250

D.

1 1000

17.一个口袋中装有 n 个红球( n ? 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则 为中奖. (Ⅰ)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (Ⅱ)若 n ? 5 ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (Ⅲ)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P .当 n 取多少时, P 最大?

西、南、北四个方向行走的概率均为 q ⑴求 p 和 q 的值; ⑵问最少几分钟,甲、乙二人相遇?并求出最短时间内可以相遇的概率。

北 B

西

18.甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是 通过测试的概率是

2 ,甲、乙、丙三人都能 5

A



3 3 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 ,且乙通过测试的概率比丙大。 20 40



(Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少; (Ⅱ)求测试结束后通过的人数 ? 的数学期望 E? 。

19.某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试.已知 每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目 A 每次 考试成绩合格的概率均为 响. (1) 求他不需要补考就可获得证书的概率; (2) 在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的分布列和 数学期望 E? .

2 1 , 科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 .假设各次考试成绩合格与否均不影 3 2

20.如图是一个方形迷宫,甲、乙两人分别位于迷宫的 A、B 两处,两人同时以每一分钟一格的速度向东、 西、南、北四个方向行走,已知甲向东、西行走的概率都为

1 1 ,向南、北行走的概率为 和 p ,乙向东、 4 3

高二理科数学练习参考答案
一.1-5: DBBDA

,8,1.6 6-10: ACCBD11. 0.7,0.21

12.

2 ,26% 3

13. ①③

14.

4 ,6 m(n ? m)

19. 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1, “科目 A 补考合格”为事件 A2; “科目 B 第一次考试合 格”为事件 B, “科目 B 补考合格”为事件 B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P( A1 B1 ) ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) ?

15. 解: 17. 解:设第一次抽到次品为事件 A, 第二次都抽到次品为事件 B. ⑴第一次抽到次品的概率

5 1 1 ? . ⑵ P( AB ) ? P( A) P( B) ? ⑶在第一次抽到次品的条件下, 第二次抽到次品的概率 20 4 19 1 1 4 ? ? . 为 p ? B A? ? 19 4 19 2 16. (Ⅰ)从 4 名运动员中任取两名,其靶位号与参赛号相同,有 C4 种方法,另 2 名运动员靶位号与参 p ? A? ?
赛号均不相同的方法有 1 种,所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为
2 C4 ?1 1 ? 4 A4 4 (Ⅱ)①由表可知,两人各射击一次,都未击中 9 环的概率为 P=(1-0.3) (1-0.32)=0.476? 至少有

(Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

2 1 1 ? ? . 3 2 3

P?

一人命中 9 环的概率为 p=1-0.476=0.524 ②? E?1 ? 4 ? 0.06 ? 5 ? 0.04 ? 6 ? 0.06 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.3 ? 10? 0.04 ? 7.6

E? 2 ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.05 ? 6 ? 0.05 ? 7 ? 0.2 ? 8 ? 0.32 ? 9 ? 0.32 ? 10? 0.02 ? 7.75

2 1 1 1 1 1 4 P(? ? 2) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 A2 ) ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9 4 P(? ? 3) ? P( A1 B1 B2 ) ? P( A1 B1 B2 ) ? P( A1 A2 B2 ) = 9 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 P(? ? 4) ? P( A1 A2 B2 B2 ) ? P( A1 A2 B1 B2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 1 1 1 1 1 ? ? ? p ? 1 ,? p ? 又 4q ? 1 ,? q ? 20.解:⑴ 4 4 3 6 4
⑵最少需要 2 分钟,甲乙二人可以相遇(如图在 C、D、E 三处相遇) 设在 C、D、E 三处相遇的概率分别为 pC、pD、pE ,则

所以 2 号射箭运动员的射箭水平高.
2 1 1 17.(Ⅰ)一次摸奖从 n ? 5 个球中任选两个,有 Cn ?5 种,它们等可能,其中两球不同色有 Cn C5 种,一

5 次摸奖中奖的概率 . (Ⅱ)若 n ? 5 ,一次摸奖中奖的概率 p ? ,三次摸奖是独立重复试验, 10n p? 9 (n ? 5)(n ? 4)
三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是: P (1) ? C1 ? p ? (1 ? p)2 ?
3 3

80 . (Ⅲ)设每次摸奖中奖的概率 243



p , 则 三 次 摸 奖 ( 每 次 摸 奖 后 放 回 ) 恰 有 一 次 中 奖 的 概 率 为

2 1 2 3 2 P?P 3 (1) ? C3 ? p ? (1 ? p) ? 3 p ? 6 p ? 3 p , 0 ? p ? 1 , P ' ? 9 p ?12 p ? 3 ? 3( p ? 1)(3 p ? 1) ,知 1 1 1 在 (0, ) 上 P 为增函数, 在 ( ,1) 上 P 为减函数, 当 p ? 时 P 取得最大值. 又 10n 1 ,解得 n ? 20 . p? ? 3 3 3 (n ? 5)(n ? 4) 3 18.解: (Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 x 、 y 依题意得:

1 1 1 1 1 pC ? ( ? ) ? ( ? ) ? 6 6 4 4 36 ?16 1 1 1 1 1 pD ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? 6 4 4 4 6 ?16 1 1 1 1 1 pE ? ( ? ) ? ( ? ) ? 4 4 4 4 16 ?16 1 1 1 1 37 ? pC ? pD ? pE ? ( ? ? ) ? 32 18 3 8 2304 37 即所求的概率为 2304

北 C D 西 A E 东 B



3 ?2 xy ? , ? ?5 20 ? ? 3 (1 ? x)(1 ? y) ? 3 , ? 40 ?5

3 ? x? , ? 即? 4 ? ?y ? 1. ? 2 ?



1 ? x ? , (舍去)所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 ? ? 2 ? ?y ? 3. ? 4 ?

3 1 、 . 4 2

(Ⅱ)因为 P (? ? 0) ?

3 3 ; P (? ? 3) ? ; 40 20 2 3 1 2 3 1 2 3 1 7 P(? ? 1) ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 5 4 2 5 4 2 5 4 2 20 ; 3 7 17 3 33 17 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 所以 E? = 0 ? P (? ? 2) ? 1 ? ( P0 ? P 1?P 3) ? 40 20 40 20 20 40


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