nbhkdz.com冰点文库

人教A版高三复习课件热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用


热点专题突破系列(二) 三角函数与平面向量的综合应用

考点一

三角函数的求值与平面向量的综合

【考情分析】以平面向量为载体利用诱导公式、同角三角函数关系式、 两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题, 是高考的重要考向,考查学生分析问题、解决问题的能力.

【典例1】(20

15·海滨模拟)已知m=(sinx, 3 cosx),n=(sinx,sinx), f(x)=m·n. (1)求 f( ? ) 的值. (2)当x∈[0, ? ]时,求函数f(x)的最大值与最小值.
2 12

【解题提示】(1)利用向量的坐标计算两向量的数量积,从而得f(x), 把x= ? 代入可得.
12

(2)利用x的范围确定角的范围,从而得三角函数的最大值与最小值.

【规范解答】(1)由已知得. f(x)=m·n=(sinx, 3 cosx)·(sinx,sinx) =sin2x+ =
1 ? cos 2x 3 cosxsinx= ? sin 2x 3 2 2

3 sin2x- 1 cos2x+ 1 =sin(2x- ? )+ 1 . 2 6 2 2 2 故 f( ? ) ? sin(2 ? ? ? ? ) ? 1 ? 1 . 12 12 6 2 2

(2)当x∈[0, ? ]时, 2x ? ? ? [? ? , 5? ],

2 6 6 6 故当2x- ? = ? ,即x= ? 时,f(x)max=1+ 1 = 3 , 2 6 2 2 3 当2x- ? =- ? ,即x=0时, 6 6 f(x)min=sin(- ? )+ 1 =- 1 + 1 =0. 2 2 2 6

【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤

(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出,把
向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式.

(2)利用三角恒等变换进行条件求值.

【变式训练】(2015·南京模拟)已知向量a=(sinθ,-2)与 b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0, (1)求cosθ,sinθ的值. (2)若5cos(θ-φ)=3 5 cosφ,0<φ< ,求cosφ的值. 2
? ? ). 2

【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=sinθ-2cosθ=0, 即sinθ=2cosθ. 又sin2θ+cos2θ=1, 所以4cos2θ+cos2θ=1,即cos2θ= 1 . 因为θ∈(0, ),所以cosθ=
? 2 5

5 ,sinθ=2cosθ= 2 5 . 5 5

(2)由5cos(θ-φ)=3 5 cosφ,得
5(cosθcosφ+sinθsinφ)=3 5 cosφ,

即 5 cosφ+2 5 sinφ=3 5 cosφ,所以sinφ=cosφ.
因为φ∈(0, ),所以cosφ=
? 2

2 . 2

【加固训练】设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c= (cosβ,-4sinβ). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值.

(2)求|b+c|的最大值.
(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.

【解析】(1)因为b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),a与b-2c垂

直,
所以4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0, 即sinαcosβ+cosαsinβ =2(cosαcosβ-sinαsinβ), 所以sin(α+β)=2cos(α+β),所以tan(α+β)=2.

(2)因为b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),
所以|b+c|=
(sin? ? cos?)2 ? (4cos? ? 4sin?) 2

= 1 ? 2sin?cos? ? 16 ? 32cos? sin? ? 17 ? 15sin 2? ,
所以当sin2β=-1时,|b+c|取最大值,且最大值为 32 ? 4 2.

(3)因为tanαtanβ=16,所以 sin? ?sin? =16,
cos? cos?

即sinαsinβ=16cosαcosβ, 所以(4cosα)·(4cosβ)=sinαsinβ, 即a=(4cosα,sinα)与b=(sinβ,4cosβ)共线, 所以a∥b.

考点二

三角函数的性质与平面向量的综合

【考情分析】以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角
恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性、周期 性、最值、取值范围及三角函数的图象变换等.

【典例2】(2015·沈阳模拟)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,

3 ), 2

f(x)=(m+n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

(2)当x∈[0, ? ]时,求f(x)的值域.
(3)将f(x)的图象左移 3? 个单位后得g(x)的图象,求g(x)在 [? ? , ? ]
8 3 3 2

上的最大值.

【解题提示】(1)利用向量坐标运算得f(x)的解析式可求周期及增区

间.
(2)利用已知求得角的范围后可求f(x)的值域. (3)利用图象平移变换可得g(x),再利用角的范围求解最大值.

【规范解答】(1)由已知可得m+n=(sinx+cosx, ),

1 2

故f(x)=(m+n)·m
=(sinx+cosx, 1 )·(sinx,-1) =sin2x+sinxcosx- 1 = 1 sin2x- 1 cos2x =
2 ? sin(2x ? ). 2 4
2 2 2 2

故f(x)的最小正周期T= 2 ? =π,
由2kπ- ? ≤2x- ? ≤2kπ+ ? ,k∈Z,
2 4 2 得kπ- ? ≤x≤kπ+ 3? ,k∈Z. 8 8 2

故f(x)的单调递增区间是[kπ- ? ,kπ+ 3? ](k∈Z).
8 8

(2)当x∈[0, ? ]时,2x- ? ∈ [ ? ? , 3? ],
2 4 4 4

2 ≤sin(2x- ? )≤1, 2 4 故- 1 ≤ 2 sin(2x- ? )≤ 2 . 2 2 4 2 所以当x∈[0, ? ]时,f(x)的值域为 [? 1 , 2 ]. 2 2 2

故-

(3)由已知得g(x)=

2 3? ? sin[2(x ? ) ? ] 2 8 4

=

2 ? 2 sin(2x ? ) ? cos 2x. 2 2 2
3 3 3 3

故当x∈ [? ? , ? ] 时,2x∈ [? 2? , 2? ]. 所以当2x=0即x=0时,g(x)max=
2 cos0= 2 . 2 2

【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法 (1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题. (2)利用三角函数恒等变换公式(尤其是辅助角公式)化简函数解析式. (3)根据化简后的函数解析式研究函数的性质.

【变式训练】(2015·东营模拟)已知m=(bsinx,acosx),n=(cosx,
-cosx),f(x)=m·n+a,其中a,b∈R,且满足 f( ) =2,f′(0)=2 3 .
? 6

(1)求a,b的值.
(2)若关于x的方程f(x)- log 1 k =0在[0, 2 ? ]上总有实数解.求k的取
3

3

值范围.

【解析】(1)由已知得,f(x)=m·n+a=bsinxcosx-acos2x+a

= b sin 2x ? a cos 2x ? a . 由 f( ? ) =2得a+
2 2 2 6

3 b=8. 3 ,

又因为f′(x)=bcos2x+asin2x且f′(0)=2 所以b=2
3 ,所以a=2.

(2)由(1)得f(x)=

3 sin2x-cos2x+1

=2sin(2x- ? )+1,
6

所以x∈ [0, 2? ] 时,2x- ? ∈ [ ? ? , 7? ], 所以-1≤2sin(2x- ? )≤2,
6 3 6 6 6

所以f(x)∈[0,3].

又因为f(x)- log 1 k =0在 [0, 2? ] 上总有实数解,即f(x)= log 1 k 有解,所
3

3

3

以0≤ log 1 k ≤3, 即-3≤log3k≤0,所以 1 ≤k≤1.
27
3

故k的取值范围是 [ 1 ,1].
27

【加固训练】已知向量a=(sin(π-ωx),sin(

? -ωx)), b=(cosωx, 2

cosωx)(ω>0),若f(x)=a·b,且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值. (2)试述由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到f(x)的图象. (3)求y=f(x)的值域.

【解析】(1)f(x)=a·b

=sin(π-ωx)cosωx+sin( ? -ωx)cosωx
2

=sinωxcosωx+cos2ωx= 1 sin2ωx+ 1 ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? ? ) ? 1 , 所以 2? =π,即ω=1.
2? 2

2

2

4

2

2 ? 1 sin(2x ? ) ? . 首先把y=sinx的图象向左平移 2 4 2 ? 个单位,得y=sin(x+ ? )的图象;其次把y=sin(x+ ? )的图象纵坐标 4 4 4 不变,横坐标变为原来的 1 倍,得y=sin(2x+ ? )的图象;然后把y= 4 2 sin(2x+ ? )的横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得y= 2 sin(2x ? ? ) 2 4 4 2 1 的图象;最后,把y= 2 sin(2x ? ? ) 的图象向上平移 个单位,得f(x)= 2 2 4 2 ? 1 sin(2x ? ) ? 的图象. 2 4 2

(2)由(1),得f(x)=

(3)因为f(x)min= ? 2 ? 1 , f(x)max=
2 2

2 1 ? , 2 2

所以f(x)的值域是 [? 2 ? 1 , 2 ? 1 ].
2 2 2 2

考点三

平面向量在三角形计算中的应用

【考情分析】以平面向量的线性运算、数量积为载体考查三角形中正、 余弦定理的应用及简单的三角恒等变换,主要解决三角形中求边、求 角及求三角形面积等.考查分析问题,解决问题的能力.

【典例3】(2015·台州模拟)在△ABC中,三内角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,已知sinC=2sin(B+C)cosB.
(1)判断△ABC的形状. (2)设向量m=(a+c,b),n=(b+a,c-a),若m∥n,求A. 【解题提示】(1)利用A+B+C=π转化角后去掉角C,得角A,B的关系,可 判断. (2)利用已知转化边的关系,利用余弦定理可解.

【规范解答】(1)在△ABC中,因为sinC=sin(A+B), sinA=sin(B+C), 故sinC=sin(A+B)=2sin(B+C)cosB=2sinAcosB, 所以sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0. 又因为-π<A-B<π,所以A-B=0即A=B. 故△ABC为等腰三角形.

(2)由m∥n得(a+c)(c-a)=b(b+a),

即b2+a2-c2+ab=0,
即b2+a2-c2=-ab,
2 2 2 b ? a ? c 1 从而cosC= ?? . 2ab 2 又0<C<π,所以C= 2? , 3 又因为A=B,所以A+B= ? 即A= ? . 3 6

【规律方法】平面向量与三角形计算综合问题的解法

(1)利用平面向量数量积的计算公式,把问题转化为三角形中的计算问
题,在三角形中,结合三角形内角和公式、正余弦定理、三角形的面积

公式进行相关计算.
(2)先在三角形中利用相关公式进行计算,再按要求求向量的数量积、

夹角、模等.
提醒:解决三角形中向量夹角问题的思维误区是不注意向量的方向,从

而弄错向量的夹角.

【变式训练】(2015·安庆模拟)已知△ABC的面积是30,三内角A,B,C

所对边长分别为a,b,c,cosA= 12 .
??? ? ??? ? (1)求 AB ?AC.
13

(2)若c-b=1,求a的值.

【解析】(1)由cosA= 12 ,得sinA=
13

1 ? cos 2 A ?

1 S△ABC= bcsinA= 5 bc=30,bc=156. 2 26 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 12 12 AB?AC ? AB AC cos A ? cb? ? 156 ? ? 144. 13 13

5 . 13

(2)因为c-b=1,bc=156,
所以a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc- 24 bc =1+ 2 〓156=25,即a=5.
13 13

【加固训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=3 7 .

(1)求cosC的值.
(2)若 CB?CA ? 5 ,且a+b=9,求c的长.
2 ??? ? ??? ?

【解析】(1)因为tanC=3 7 ,所以 sin C ? 3 7.

cos C 又因为sin2C+cos2C=1,解得cosC=〒 1 . 8 1 因为tanC>0,所以C是锐角.所以cosC= . 8 ??? ? ??? ? 5 (2)因为 CB?CA ? ,所以abcosC= 5 ,解得ab=20. 2 2

又因为a+b=9,所以a2+b2=41. 所以c2=a2+b2-2abcosC=36,所以c=6.


2015届高考语文一轮总复习专题突破二 高考三角函数与平面向量(带解析)V

2015届高考语文一轮总复习专题突破二 高考三角函数与平面向量(带解析)V_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。1.根据课文默写古诗文或诗题。 (11 分) ⑴树德...

三角函数与向量专题复习 2

三角函数与向量专题复习 2_高三数学_数学_高中教育_...在高考中是一个热点.根据 2011 年考纲预计在高考中...解决问题的综合应用能力,同时考查方程的 思想及转化...

【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 热点专题突破二 三角函数与平面向量的综合问题习题 理

【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 热点专题突破二 三角函数与平面向量的综合问题习题 理_数学_高中教育_教育专区。热点专题突破二 三角函数与...

高三二轮平面向量复习专题

高三二轮平面向量复习专题_高三数学_数学_高中教育_...例 1.| a |=1,| b |=2,c = a + b,且...,则点 t R P 的轨迹方程 4.平面向量三角函数...

高三二轮复习之专题突破

1/2系列文档 人教版高一语文(上)知识点... ...高三二轮复习专题突破力... 高三二轮复习专题突破...本专题知识是历年高考的热点,对应 用电路的串、并联...

平面向量专题二 高考三角函数与平面向量命题动向

平面向量专题二 高考三角函数与平面向量命题动向高二数学组 昂云龙 高考命题分析...三角函数的综合应用 三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题,新...

专题三 三角函数与平面向量的综合应用

高中数学复习资料高中数学复习资料隐藏>> 专题三角函数与平面向量的综合应用 1. 三角恒等变换 (1)公式:同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式. (2)公式...

2013年(理)二轮复习_三角函数与平面向量(带解析)

三维设计 2013 年高考数学(理)二轮复习 专题 三角函数与平面向量 三角函数与...排除解三角形中 2 2 的增解问题等; (3)测量问题是解三角形在实际应用中的...

高三数学二轮专题复习资料(理)

高三数学二轮专题复习资料(理) 专题一:三角函数与平面向量一、高考动向: 1....在实际问题中也有广泛的应用,平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与...

2015届高三地理二轮复习专题突破系列:世界地理

【小题狂练?大题冲关】2014 届高三地理二轮复习专题突破系列(权威命制) : 世界地理 一、选择题 读“某地区主要农作物分布图”,回答 1~2 题。 1.该地区...

相关文档

更多相关标签