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江西省崇仁县第二中学学高二数学下学期第二次月考试题理-课件


抚州市崇仁二中 2016 年高二年级下学期第二次月考 数学试题(理科)
第Ⅰ 卷(选择题,共 60 分) 一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. ?1 ? 3i B. 1 ? 3i

2 2 ? z

的共轭复数是( z C. 1 ? 3i D. ?1 ? 3i



2.随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B(9, p) ,且 E? ? 3 ,则 p 等于(



2 1 C. D.0 3 3 3. 对两个变量的相关系数 r ,下列说法中正确的是 (
A. 1 B. A. | r | 趋近于 0 时,没有非线性相关关系 C. | r | 越大,相关程度越大 4. 某气象台统计, 该地区下雨的概率为



B. | r | 越接近于 1 时,线性相关程度越强 D. | r | 越小,相关程度越大

2 4 1 , 刮风的概率是 , 既刮风又下雨的概率为 , 15 15 10


设 A 为下雨, B 为刮风,则 P( A B) =( A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

3 8

5.现有 8 名青年,其中 5 名能 胜任英语翻译工作,4 名能胜任电脑软件设计工作,且每人 至少能胜任这两项工作中的一项,现从中选 5 人,承担一项任务,其中 3 人从事英语翻译工 作,2 人从事软件设计工作,则不同的选派方法有( A.60 种 B.54 种 C.30 种 ) D.42 种

6.如图,曲 线 y ? sin x 在圆 x2 ? y 2 ? ? 2 内的部分与 x 轴围成的阴影部分区域记为 ? ,随 机向圆内投掷一个点 A ,则点 A 落在区域 ? 的概率为( A. ) C.

y
0

4 ?3

B.

3 ?3

2 ?3

1 . 3 ?

??

?

xD

7.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为 中率是( )

80 ,则此射手的命 81

1

A.

1 3

B.

1 4

C.

2 3

D.

2 5

8. 设 m 为正整数, ( x ? y )

2m

展开式的二项式系数的最大值为 a , ( x ? y ) ) D.8

2 m ?1

展开式的二项式

系数的最大值为 b ,若 13a ? 7b ,则 m ? ( A.5 B .6 C.7

9. 如图所示,连结棱长为 2 cm 的正方体各面的中心得一个多面体容器,从顶点 A 处向该 容器内注水,注满为止.已知顶点 B 到水面 的高度 h 以每秒 1 cm 匀速上升,记该容器内水 的体积 V (cm3 ) 与时间 t ( s ) 的函数关系是 V (t ) , 则函数 V (t ) 的导函数 y ? V ?(t ) 的图像大致 是 ( )

10.若函数 f(x)=x -3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A. (-2,2) B. [-2,2] C. (-∞,-1)

3



D. (1,+∞)

1 3 1 2 11. 在 R 上的可导函数 f ( x) ? x ? ax ? 2bx ? c , 当 x ? (0,1) 取得极大值, 当 x ? (1,2) 3 2 b?2 取得极小值,则 的取值范围是( ) . a ?1 1 1 1 1 1 1 A. ( ,1) B. ( ,1) C. ( ? , ) D. ( ? , ) 2 4 2 2 4 2
12.设函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 的导函数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在区间 ( a, b) 的导函数记为 f ??( x) , 若在区间 ( a , b ) 上的 f ??( x) ? 0 恒成立, 则称函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 上为“凸函数”.已 知函数 f ( x)=

1 4 1 3 x ? mx ? 4 x 2 ? 2 ,且当实数 m 满足 m ? 3 时,函数 f ( x) 在区间 6 3
) D. 8

(a ? b, a ? b)为“凸函数”,则 a2 ? (b ? 3)2 的最小值为(
A. 2 B. 4 C. 6

第 II 卷(非选择题 , 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
2 13. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (3, ? ) , P(? ? 2) ? 0.3 ,则 P(? ? 4) ?

.

14.将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班,要求每个班至少分到一名老师,且
2

甲、乙两名老师不能分到同一个班,则不同分法的种数为___ ___. (用数字作答)

a? ? 15.设常数 a ? R ,若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x7 项的系数为 ?10 ,则 a ? ______ . x? ?
16.一个袋中装有黑球、白球和红球共 n(n∈N )个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中 2 任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是 ,现从袋中 任意摸出 2 个球.若 n=15,且摸出的 2 5 2 个球都是白球的概率是 , 设 ξ 表示摸出的 2 个球中红球的个数, 则随机变量 ξ 的数学期 21 望 Eξ = ________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)5 个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲不在排头,也不在排尾, (2)甲、乙、丙三人必须在一起, (3)甲、乙、丙三人两两不相邻,
*

5

? 1 ? 18.(本小题满分 12 分) 若 ? ? x? 4 ? ? 展开式中前三项系数成等差数列,求: 2? x ? ?
(1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中的所有有理项.

n

19. (本小题满分 12 分)2016 届江西免费师范毕业生选岗测试统计显示抚州市有 3 名学生, 假设有 A, B, C , D 共 4 所学校供这 3 名学生选择,每位学生必须且只能选 1 所学校. (1)求这 3 名学生选择学校的选法总数; (2)求恰有 2 所学校没有被这 3 名学生选择的概率; (3)求选择 A 学校人数的数学期望.

20. (本小题满 12 分) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先 从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任 意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红.蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ? X ? .
3

21. (本小题满分 12 分) 通常把大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称为可入肺颗 粒物 )称为 PM2.5.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, 空气质量与 PM2.5 的关系 如下表: 空气质量 日均值(微克/立方 米) 一级 35 以下 二级 35~75 超标 75 以上

某城市环保局从该市城区 2012 年冬季每天的 PM2.5 监测数据中随机抽取 15 天的数据作为样 本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).

PM2.5 日均值(微克/立方米) (1)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中, 随机抽出三天数据, 求至少有一天空气质量达到一 级的概率; (2)从这 15 天的数据中任取三天的数据,记 ξ 表示抽到 P M2.5 监测数据超标的天数,求 ξ 的分布列和数学期望.

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx , 2

1 时,求 f ( x) 的最大值; 2 1 2 a (2)令 F ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? (0 ? x ? 3) ,其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的 2 x 1 斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 2 (3)当 a ? 0, b ? ?1时,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.

4

抚州市崇仁二中 2016 年高二年级下学期第二次月考数学试题(理科) 参考答案 一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 D 6 A 7 C 8 B 9 D 10 A 11 A 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.0.3 14.30 15.—2 16.

8 15

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(1)72 种 (2)36 种 (3)12 种 1 1 0 2 1 18.解:(1)由已知可得 Cn+Cn· 2=2Cn· , 解得 n=8 或 n=1(舍去). 2 2
k Tk ?1 ? C8 ( x ) 8? k (

1 2 x
4

k ?k ) k ? C8 2 x

3 4? k 4



3 令 4- k=1,得 k=4. 4

35 4 -4 所以 x 的一次项为 T5=C82 x= x. 8

3 令 4- k∈Z,且 0≤k≤8,则 k=0,4,8 4

35 1 4 所以含 x 的有理项分别为 T1=x ,T5= x,T9= 2. 8 256x 19 解: (1) 64 (3) ? 的分布列是 0 1 2 3 (2) P ?

9 16

P

所以 E? ? 20.解:

3 4

5



21.解: (1)从茎叶图可知,空气质量为一级的有 4 天,为二级的 有 6 天,超标的有 5 天, 记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,至少有一天空气质量达到一级”为 事件 A, 则 P(A)= 1 ?
3 C11 58 ? 3 C15 91

(2)ξ 的可能值为 0,1,2,3,

P(ξ =0)=

3 2 1 C10 C10 C5 45 24 , P ( ξ = 1) = , ? ? 3 3 C15 91 C15 91 1 3 C10 C52 20 C5 2 , P ( ξ = 3) = ? ? 。 3 3 C15 91 C15 91

P(ξ =2)=

所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3

P E(ξ )=

24 91

45 91

20 91

2 91

24 45 20 2 5 ×0+ ×1+ ×2+ ×3=1 或 E(ξ )=3× =1(超几何分布). 91 91 91 15 91
1 1 2 1 时,f ( x) ? ln x ? x ? x 2 4 2

22. 解: (1)依题意, 知 f ( x) 的定义域为 (0,??) , 当a ? b ?

f ?( x) ?

1 1 1 ? ( x ? 2)( x ? 1) ? x? ? x 2 2 2x

6

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . (? x ? 0,? x ? ?2 舍去 ) 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减. ∴ f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?

3 ,此即为最大值. 4

(2) F ( x ) ? ln x ? ∴ a ? ??

x ?a 1 a , x ? ?0,3? ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? 在 x0 ? ?0,3?上恒成立, x 2 x0

? 1 2 ? x0 ? x0 ? , x0 ? ?0,3? . ? 2 ? max 1 2 1 1 当 x0 ? 1 时, ? x0 ? x0 取得最大值 ,∴ a ? . 2 2 2 2 2 ( 3)∵方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,∴ x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解.
设 g ( x) ? x 2 ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ?( x) ? 令 g ?( x) ? 0, x 2 ? mx ? m ? 0 ∴ x1 ?

2 x 2 ? 2m x ? 2m x ∵ m ? 0, x ? 0

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m , x2 ? ? 0 (舍去) 2 2 当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减,当 x ? ( x2 ,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 ,??) 上单调递增. 当 x ? x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x) 取最小值 g ( x2 ) . ? x 2 ? 2m ln x2 ? 2m x2 ? 0 ? g ( x2 ) ? 0 则? ,即 ? 2 2 ∴ 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0 x ? m x ? m ? 0 ? g ?( x 2 ) ? 0 2 2 ?
∵m ? 0 设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ∴ 2 ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 (※)

∵当 x ? 0 时, h( x) 是增函数, ∴ h( x) ? 0 至多有一解. ∵ h(1) ? 0 ∴方程(※)的解为 x2 ? 1 ,即

1 m ? m 2 ? 4m ? 1 ,解得 m ? . 2 2

7


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