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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练4 新人教A版


名校专题----圆锥曲线培优训练 4
x2 y 2 ? ?1 4 1、在 ?ABC 中 AC ? 2 3 , B 是椭圆 5 在 x 轴上方的顶点,l 的方程是 y ? ?1 ,当 AC 在直线 l
上运动时. (1)求 ?ABC 外接圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程;

3 F (0, ) 2 作互相垂直的直线 l1 , l2 ,分别交轨

迹 E 于 M , N 和 R, Q ,求四边形 MRNQ 面积的 (2)过定点
最小值.

x2 y 2 ? ?1 4 解: (1)由椭圆方程 5 得点 B(0, 2), 直线 l 方程是 y ? ?1 ? AC ? 2 3, 且 AC 在直线 l 上运动.
可设 A(m ? 3, ?1), C(m ? 3, ?1), 则 AC 的垂直平分线方程为 x ? m ①

AB 的垂直平分线方程为

y?

1 m? 3 m? 3 ? (x ? ) 2 2 2



? P 是 ?ABC 的外接圆圆心,? 点 P 的坐标 ( x, y ) 满足方程①和②,由①和②联立消去 m 得
故圆心 P 的轨迹 E 的方程为 x ? 6 y
2

y?

x2 6

(2)由图可知,直线 1 和 2 的斜率存在且不为零,设 1 的方程为

l

l

l

y ? kx ?

3 2,

3 ? y ? kx ? ? ? 2 ? 1 3 ? y ? 1 x2 y ? ? x? ?l1 ? l2 ,? l2 的方程为 6 ? k 2 .由 ?
2 ? △= ? ? 26k ? 36 ? 0,?直线 l1 与轨迹 E 交于两点.

得 x ? 6kx ? 9 ? 0
2



M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6k , x1x2 ? 9 .

?| MN |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 36k 2 ? 36 ? 6(1 ? k 2 ).
| RQ |? 6(1 ?
同理可得:

1 ). k 2 ? 四边形 MRNQ 的面积

Q

y P

A

F

O

B

x
1

S?

1 1 1 | MN | ? | RQ |? 18(k 2 ? 2 ? 2) ? 18(2 ? 2 k 2 ? 2 ) ? 72. 2 k k
k2 ? 1 k 2 ,即 k ? ?1 时,等号成立.

当且仅当

故四边形 MRNQ 的面积的最小值为 72 .

2 2、已知圆 O: x ? y ? 2 交 x 轴于 A,B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为 2 的椭圆,其左焦点为 F.
2 2

若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是,请证 明;若不是,请说明理由.

a ? 2, e ?
解:(Ⅰ)因为

2 2 ,所以 c=1

x2 ? y2 ? 1 C 2 则 b=1,即椭圆 的标准方程为

(Ⅱ)因为 P (1,1),所以

k PF ?

1 2 ,所以 kOQ ? ?2 ,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x

又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q(-2,4) 所以

kPQ ? ?1

,又

kOP ? 1 ,所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ ,

故直线 PQ 与圆 O 相切 (Ⅲ)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切

证明:设

P( x0 , y0 ) ( x0 ? ? 2 ),则 y ? 2 ? x
2 0

2 0 ,所以

k PF ?

y0 x ?1 kOQ ? ? 0 x0 ? 1 , y0 ,

y??
所以直线 OQ 的方程为

x0 ? 1 x y0

2 x0 ? 2 y0 ) 所以点 Q(-2,

2

y0 ? kPQ ?
所以 所以

2 x0 ? 2 y0 y 2 ? (2 x0 ? 2) ? x0 2 ? 2 x0 x y ? 0 ? ?? 0 kOP ? 0 x0 ? 2 ( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) y0 y0 ,又 x0 ,
,即 OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切

k OP ? k PQ ? ?1

2 2 3、已知圆 M : ( x ? 5) ? y ? 36, 定点N ( 5,0),点P为圆M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足

NP ? 2NQ, GQ ? NP ? 0 .
(I)求点 G 的轨迹 C 的方程; (II)过点(2,0)作直线 l,与曲线 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,设 OS ? OA ? OB, 是否存在这样 的直线 l,使四边形 OASB 的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明 理由.

NP ? 2 NQ ? ? ?? GQ ? PN ? 0? ? Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN ? GQ 为 PN 的中垂线 ? |PG|=|GN| 1. 解: (1)
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a ? 3 ,半焦距 c ?

5 ,∴半轴

x2 y2 ? ?1 4 长 b=2,∴点 G 的轨迹方程是 9
(2)因为 OS ? OA ? OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形 若存在 l 使得| OS |=| AB |,则四边形 OASB 为矩形? OA ? OB ? 0
?x ? 2 ?x ? 2 ? 2 ? 2 得? ?x y 2 5 ? 1 ?y ? ? ? ? 4 3 ? 若 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由 ? 9

? OA ? OB ?

16 ? 0, 与OA ? OB ? 0 9 矛盾,故 l 的斜率存在.

设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 2) ? 由? x 2 y 2 ? (9k 2 ? 4) x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0 ?1 ? ? 4 ?9
36k 2 36(k 2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 9k ? 4 9k 2 ? 4



3

y1 y2 ? [k ( x1 ? 2)][k ( x2 ? 2)]

? k 2 [ x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4] ? ?
3 2

20k 2 9k 2 ? 4



把①、②代入

x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0得k ? ?

∴存在直线 l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0或3x ? 2 y ? 6 ? 0 使得四边形 OASB 的对角线相等.

x ?y b 2.已知椭圆 a
2 2

2

2

? 1(a ? b ? 0)

1 的长轴长为 4 , 离心率为 2 ,F1 , F2 分别为其左右焦点. 一动圆过点 F2 ,

且与直线 x ? ?1 相切。 (Ⅰ) (ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (ⅱ)求动圆圆心轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 在曲线 C 上有两点 M , N ,椭圆 C1 上有两点 P, Q ,满足 MF2 与 NF2 共线, PF2 与 QF2 共线,且

PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的最小值。
?2a ? 4 ?a ? 2 ? ? b2 ? a2 ? c2 ? 3 ? c 1?? x2 y2 c ? 1 e ? ? C : ? ?1 ? ? a 2 1 4 3 解:(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得 ? ,则所求椭圆方程 .…3 分
(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线 C 的焦点为 (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 ,则动圆圆心轨迹 方程为 C : y ? 4 x .…………6 分
2

(Ⅱ)当直线 MN 的斜率不存在时,|MN|=4,此时 PQ 的长即为椭圆长轴长,|PQ|=4,

从而

S PMQN ?

1 1 | MN | ? | PQ |? ? 4 ? 4 ? 8 2 2 .…………8 分

设直线 MN 的斜率为 k ,则 k ? 0 ,直线 MN 的方程为: y ? k ( x ? 1)

1 y ? ? ( x ? 1) k 直线 PQ 的方程为 ,


M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 )

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 2 y ? 4x y 由? ,消去 可得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0
由抛物线定义可知:

4

| MN |?| MF2 | ? | NF2 |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ?

2k 2 ? 4 4 ?2 ? 4? 2 2 k k …………10 分

1 ? y ? ? ( x ? 1) ? ? k ? 2 2 ? x ? y ?1 2 2 2 3 ? 4 由? ,消去 y 得 (3k ? 4) x ? 8x ? 4 ?12k ? 0 ,

1 12(1 ? k 2 ) | PQ |? 1 ? (? )2 | x3 ? x4 |? k 3k 2 ? 4 , 从而
S PMQN
2

…………12 分



1 1 4 12(1 ? k 2 ) (1 ? k 2 )2 ? | MN | ? | PQ |? (4 ? 2 ) ? 24 4 2 2 k 3k 2 ? 4 3k ? 4k 2

令1 ? k ? t ,

S PMQN ?
∵k>0,则 t ? 1 ,则

1 24t 2 24t 2 24 | MN | ? | PQ |? ? ? 2 2 2 3(t ? 1) ? 4(t ? 1) 3t ? 2t ? 1 3 ? 2 ? 1 t t2

2 1 1 3 ? ? 2 ? 4 ? (1 ? ) 2 ? (0,3) t t t

SPMQN ?
所以

24 ?8 2 1 3? ? 2 t t

…………14 分

所以四边形 PMQN 面积的最小值为 8. …………15 分
? 3? ?1 , ? 3.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F1 F2 |? 2 ,点 ? 2 ? 在椭圆 C 上.

⑴求椭圆 C 的方程;
12 2 7 ,求以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆

⑵过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,且 ?AF2 B 的面积为 的方程.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 3. ⑴设椭圆的方程为 a ,由题意可得:
3 3 5 3 2a ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? ? ? 4 2 2 2 2 .∴ .

椭圆 C 两焦点坐标分别为

F1 ? ?1 , 0 ?



F2 ?1 , 0 ?

x2 y 2 ? ?1 3 ∴ a ? 2 ,又 c ? 1 , b ? 4 ? 1 ? 3 ,故椭圆的方程为 4 .
2

5

3? 3? ? ? A ? ?1 , ? ? B ? ?1 , ? S?AF B ? 1 ? | AB | ? | F1F2 |? 1 ? 3 ? 2 ? 3 2 2 2?, ?, ? 2 2 ⑵当直线 l ? x 轴,计算得到: ? ,不符合题意.

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,
? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 2 ? 3 由? 4 ,消去 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 .显然 ? ? 0 成立,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,



x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 , 3 ? 4k 2 .
64k 4 4(4k 2 ? 12) ? 2 2 (3 ? 4k ) 3 ? 4k 2

| AB |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?

| AB |? 1 ? k 2 ?



| k ?1 ? 0 ? k | 2|k | 12 k 2 ? 1 12(k 2 ? 1) r? ? ? 2 2 2 1? k 1? k2 . 3 ? 4k 3 ? 4k ,又圆 F2 的半径

所以

S?AF2 B ?

1 1 12(k 2 ? 1) 2 | k | 12 | k | 1 ? k 2 12 2 | AB | r ? ? ? ? ? 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 7 1? k2 ,
r? 2|k | 1? k2 ? 2

4 2 化简,得 17k ? k ? 18 ? 0 ,即 (k ? 1)(17k ? 18) ? 0 ,解得 k ? ?1 .所以,

2

2



2 2 故圆 F2 的方程为: ( x ? 1) ? y ? 2 .

? x ? ty ? 1 ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 ? 3 ⑵另解:设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 ,由 ? 4 ,消去 x 得 (4 ? 3t ) y ? 6ty ? 9 ? 0 , ? ? 0 恒成立,



A ? x1 , y1 ?



B ? x2 , y2 ?

,则

y1 ? y2 ?
?

6t 9 y1 ? y2 ? ? 2 4 ? 3t , 4 ? 3t 2 .
36t 2 36 12 t 2 ? 1 ? 2 2 2 ? (4 ? 3t ) 4 ? 3t 4 ? 3t 2 .

所以

| y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 ? y2
2

又圆 F2 的半径为

r?

|1 ? t ? 0 ? 1| 1? t
2

?

2 1 ? t2 .

2 12 t 2 ? 1 12 2 1 r? ? ? S?AF2 B ? ? | F1 F2 | ? | y1 ? y2 | 2 2 ?| y1 ? y2 | 1? t2 ? 2 . 7 ,解得 t ? 1 ,所以 4 ? 3t 2 所以
2 2 故圆 F2 的方程为: ( x ? 1) ? y ? 2 .

6

x2 y2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) e? 2 x ? 6 y b 2 , P 是它们的一个交 4.已知抛物线 的焦点为 F,椭圆 C: a 的离心率为
2

点,且 | PF |? 2 . (I)求椭圆 C 的方程; (II)若直线 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) 与椭圆 C 交于两点 A、B,点 D 满足 AD ? BD =0,直线 FD 的斜率为 k 1 ,

试证明

k ? k1 ? ?

1 4. yp ? 1 2 ,∴ x p ? ? 3 ,…………(2 分)

4. 解: (I)设将

P( x p , y p )

,根据抛物线定义,

b2 3 3 x2 y2 1 ? ? ? 2 ? 1, e? 2 2 2 2 a 2 ,∴ a ? 4b ,椭圆是 4b b 2 ,即 ∵ ………(4 分)
x2 1 ? y2 ? 1 P(? 3, ) 4 2 把 代入,得 a=2,b=1,椭圆 C 的方程为 ;…………(6 分)
(II)方法 1:? AD ? BD ? 0, ? AD ? DB ,点 D 为线段 AB 的中点…………(8 分)

? x1 2 2 ? y1 ? 1 ? ? 4 ?? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? A ( x , y ), B ( x , y ), G ( x , y ) ? 4 1 1 2 2 D D , 设 ,∴ x D ? ?4ky D ,
由 y D ? k ? x D ? m ,得

yD ?

m ?0 1 ? 4k 2 ,

…………(10 分)

3 k1 ? F (0, ) 2 ,∴ ∵
? k ? k1 ? ? 1 3 ? 4 8yD

yD ?

3 3 yD ? 2? 2? 1 ? 3 xD ? 4ky D 4k 8ky D ,

,∴

k ? k1 ? ?

1 4.

…………(12 分) …………(8 分)

方法 2:? AD ? BD ? 0, ? AD ? DB ,点 D 为线段 AB 中点,

? x1 2 2 ? y1 ? 1 ? ? ? ? 42 x ? x2 ? y 2 ? 1 yD ? ? D 2 ? 4k , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), G( x D , y D ) , ? 4 ,∴

7

由 y D ? k ? x D ? m ,得

xD ? ?
yD ?

4km m , yD ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ,

…………(10 分)

3 F (0, ) 2 ,∴ ∵
?

k1 ?

m 3 3 ? 2 2 2 ? 3(1 ? 4k ) ? 1 2 ? 1 ? 4k 4k 3(1 ? 4k 2 ) 1 xD 8km 4k ? ? k ? k1 ? ? 2 1 ? 4k 8m 4 , ∵ m?0 , ,

3(1 ? 4k 2 ) 1 ?0 k ? k1 ? ? 8m 4 .………(12 分) ,∴

? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 2 2 2 ? ? y ?1 方法 3:由 ? 4 ,得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 令 ? ? 64k m ? 16(1 ? 4k )(m ? 1) ? 0 ,得 1 ? 4k ? m ,

…………(8 分)

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,

? x1 ? x2 ? ?

8km . 1 ? 4k 2
…………(10 分)

? AD ? BD ? 0, ? AD ? DB ,点 D 为线段 AB 的中点,
? xD ? ?

设 G( x D , y D ) ,

4km 4k 2 m m , yD ? k ? xD ? m ? ? ?m? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ,

3 F (0, ) 2 ,∴ ∵
?

k1 ?

yD ?

m 3 3 ? 2 2 2 ? 3(1 ? 4k ) ? 1 2 ? 1 ? 4k 4k 3(1 ? 4k 2 ) 1 xD 8km 4k ? ? k ? k1 ? ? 2 1 ? 4k 8m 4 , ∵ m?0 , ,

3(1 ? 4k 2 ) 1 ?0 k ? k1 ? ? 8m 4. ,∴

…………(12 分)

1 3 ( ?1, ) 2 ,过点 P(2,1)的直线 l 与 5、已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 2 ,且经过点
椭圆 C 在第一象限相切于点 M . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程以及点 M 的坐标; (3) 是否存过点 P 的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B,满足 PA ? PB ? PM ?若存在,求出 直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由.
2

8

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ? ?c 1 ? ? ?a 2 2 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 b 5. 解(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 a ,由题意得 ?

x2 y2 ? ?1 2 2 3 解得 a ? 4, b ? 3 ,故椭圆 C 的方程为 4 .……………………4 分
(Ⅱ)因为过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆在第一象限相切,所以 l 的斜率存在,故可调直线 l 的议程 为 y ? k ( x ? 2) ? 1.

? x2 y2 ? 1, ? ? 3 ?4 ? y ? k ( x ? 2) ? 1 由?

得 (3 ? 4k ) x ? 8k (2k ? 1) x ? 16k ? 16k ? 8 ? 0 .①
2 2 2 2 2 2

因为直线 l 与椭圆相切,所以 ? ? [?8k (2k ? 1)] ? 4(3 ? 4k )(16k ? 16k ? 8) ? 0.

整理,得 32(6k ? 3) ? 0

1 k ?? . 2 解得

1 1 y ? ? ( x ? 2) ? 1 ? ? x ? 2. 2 2 所以直线 l 方程为 k??


1 3 (1, ). 2 代入①式,可以解得 M 点横坐标为 1,故切点 M 坐标为 2 ……8 分

(Ⅲ)若存在直线 l1 满足条件,的方程为 y ? k1 ( x ? 2) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程得

(3 ? 4k12 ) x 2 ? 8k1 (2k1 ? 1) x ? 16k12 ? 16k1 ? 8 ? 0.
因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,设 A,B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),

所以

? ? [?8k1 (2k1 ?1)] ? 4(3 ? 4k )(16k ?16k1 ? 8) ? 32(6k1 ? 3) ? 0.
2 2 1 2 1

所以

k1 ? ?

1 2.

8k1 (2k1 ? 1) 16k12 ? 16k1 ? 8 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 3 ? 4 k 3 ? 4k12 1 又 ,
因为 PA ? PB ? PM 即
2

( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ?

5 4,

9

2 2 所以 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)(1 ? k ) ?| PM |

?

5 4.



[ x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4](1 ? k12 ) ?

5 . 4

16k 2 ? 16k 2 ? 8 8k1 (2k1 ? 1) 4 ? 4k12 5 2 1 [ 1 ? 2 ? ? 4 ]( 1 ? k ) ? ? k1 ? ? . 1 2 2 2 4 3 ? 4 k 3 ? 4 k 3 ? 4 k 2 因为 A,B 为不 1 1 1 所以 ,解得
k1 ? 1 2. y? 1 x 2 …………………12 分

同的两点,所以

于是存在直线 l 1 满足条件,其方程为

6 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 6、 已知椭圆 a 的离心率为 3 , 短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 , 直线 l : y ? kx ? m

交椭圆于不同的两点 A , B . ⑴求椭圆的方程; ??? ? ??? ? ⑵若 m ? k ,且 OA ? OB ? 0 ,求 k 的值( O 点为坐标原点) ;
3 O l 2 ⑶若坐标原点 到直线 的距离为 ,求 △ AOB 面积的最大值.

6. ⑴设椭圆的半焦距为 c ,依题意

?c 6 ? ? 3 ?a ?a? 3 ?

2 2 2 ,解得 c ? 2 .由 a ? b ? c ,得 b ? 1

x2 ? y2 ? 1 ∴所求椭圆方程为 3
⑵∵ m ? k ,∴ y ? kx ? k ? k ( x ? 1) .
? x2 2 ? ? y ?1 ?3 ? y ? k ( x ? 1) ?
2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,其坐标满足方程

,消去 y 并整理得

(1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 ,则 ? ? ? 6k

?

? 4 ?1 ? 3k 2 ?? 3k 2 ? 3? ? 0 (?)



x1 ? x2 ?

?6k 2 3k 2 ? 3 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 .

??? ? ??? ? 2 2 2 ∵ OA ? OB ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) ? (1 ? k ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? k
10

? (1 ? k 2 )

3k 2 ? 3 ?6k 2 k2 ? 3 ? k2 ? ? k2 ? 2 ?0 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 3k ? 1

∴ k ? ? 3 ,经检验 k ? ? 3 满足(*) 式.
m ? 3 2

⑶由已知, 1 ? k

2

3 m2 ? (k 2 ? 1) 4 ,可得

2 2 2 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (1 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0

? ? (6km)2 ? 4(1 ? 3k 2 )(3m2 ? 3) ? 0 (?)



x1 ? x2 ?

?6km 3m2 ? 3 , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 .

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? | AB |2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ∴
? 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2

? 3?

12k 2 12 12 ? 3? ≤3? ? 4(k ? 0) 1 9k 4 ? 6k 2 ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k

当且仅当

9k 2 ?

3 1 k?? 2 3 k ,即 时等号成立. 3 3 满足(*)式.当 k ? 0 时, | AB |? 3
Smax ?

k??

经检验,

综上可知, | AB |max ? 2
1 3 3 ? 2? ? 2 2 2 .

所以,当 | AB | 最大时, △ AOB 的面积取得最大值

7.如图,设抛物线 的椭圆

C1 : y ? 4mx(m ? 0) 的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为 F2 ;以 F1 , F2 为焦点,离心率
2

e?

1 2

C2 与抛物线 C1 在 x 轴上方的交点为 P , PF2 交 延长 C1 上一动点, 且 M 在 P 与Q 之

M 是抛物线 抛物线于点 Q ,
间运动. (1)当 m ? 1 时,求椭圆 (2)当

C2 的方程;

?PF1 F2 的边长恰好是三个连续的自然数时,

11

求 ?MPQ 面积的最大值.

F (?1,0), F2 (1,0) 解: (1)当 m ? 1 时, y ? 4 x ,则 1
2

c 1 x2 y 2 e? ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a 2 ,所以 a ? 2, b ? 3 b 设椭圆方程为 a ,则 c ? 1, 又

x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆 C2 方程为 4
e?

………… 4 ?

(2)因为 c ? m ,

c 1 x2 y2 ? ? ?1 a 2 ,则 a ? 2 m , b 2 ? 3m2 ,设椭圆方程为 4m2 3m2

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 ? 4m 3m ? y 2 ? 4mx 2 2 由? ,得 3x ? 16mx ? 12m ? 0
即 ( x ? 6m)(3x ? 2m) ? 0 ,得

………… 6 ?

xP ?

2m 2 6 2m 2 6 m yp ? m P( , ) 3 代入抛物线方程得 3 3 3 ,即

PF2 ? x p ? m ?

5m 5m 7m 6m , PF1 ? 2a ? PF2 ? 4m ? ? F1 F2 ? 2m ? 3 3 3 , 3 ,
………… 8 ?

因为

?PF1 F2 的边长恰好是三个连续的自然数,所以 m ? 3
2

此时抛物线方程为 y ? 12 x , P(2, 2 6) ,直线 PQ 方程为: y ? ?2 6( x ? 3) .

? ? y ? ?2 6( x ? 3) ? 2 2 ? y ? 12 x 联立 ? ,得 2 x ? 13x ? 18 ? 0 ,即 ( x ? 2)(2 x ? 9) ? 0 ,
xQ ? 9 9 Q ( , ?3 6) y ? ? 3 6 2 ,代入抛物线方程得 Q ,即 2

所以

9 25 PQ ? (2 ? )2 ? (2 6 ? 3 6)2 ? 2 2 . ∴
t2 M ( , t) 12 到直线 PQ 的距离为 d , t ? (?3 6 ,2 6 ) 设

12

d?


6 2 t ?t ?6 6 6 24 ? 1

?

6 6 2 75 (t ? ) ? 30 2 2

………… 10?

t??


6 6 75 5 6 dmax ? ? ? 2 时, 30 2 4 ,

1 25 5 6 125 6 ? ? ? 4 16 . 即 ?MPQ 面积的最大值为 2 2
C1 :

………… 12?

8、已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 3 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心,椭圆 C1 的短半轴

长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C1 的方程; (II)直线 l1 过椭圆 C1 的左焦点 F1 ,且与 x 轴垂直,动直线 l2 垂直于直线 l1 ,垂足为点 P ,线段 PF2 的垂直 平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程;

??? ? ??? ? ??? ? C | OS | 的取值范围( O 为坐标原点) S OR ? RS ? 0 2 (III)设 上的两个不同点 R 、 满足 ,求 .
e? 3 2 2 2 3 得 2a 2 ? 2b 2 ,∵直线 l : y ? x ? 2 与圆 x ? y ? b 相切,

解: (I)由

x2 y2 ? ?1 2 ∴ b ? 2, a ? 3 ,椭圆方程 3

………………(3 分)

(II)由 | MP |?| MF2 | 得动点 M 的的轨迹是以直线 x ? ?1 为准线,以 F2 为焦点的抛物线.
2 ∴轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x ………………(6 分)

(III)设

R(

??? ? ??? ? ??? ? y12 y2 y2 y2 y 2 ? y12 OR ? ( 1 , y1 ) RS ? ( 2 , y2 ) RS ? ( 2 , y2 ? y1 ) , y1 ) S ( 2 , y2 ) 4 4 4 4 4 , ,则 , ,∴ , y12 ( y2 2 ? y12 ) ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 0 16 ,

??? ? ??? ? ∵ OR ? RS ? 0 ,∴

∵ y2 ? y1 ,∴

y2 ? ?( y1 ?

16 ) y1

y2 2 ? ( y1 ?
,∵

16 2 162 ) ? y12 ? 2 ? 32 ? 64 y1 y1

y12 ?
,当且仅当

256 y12

, y1 ? ?4 等号

成立,……(9 分)

??? ? y2 1 ??? ? | OS |? ( 2 )2 ? y2 2 ? ( y2 2 ? 8)2 ? 64 2 2 y ? ? 8 y ? 64 y ? 64 | OS | 取得最小值 8 5 , 4 4 2 2 2 ∵ , , ∴当 , 即 时,
13

??? ? | OS | 的取值范围是 [8 5, ??) ∴

………(12 分)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 9、点 M 在椭圆 a 上,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的右焦点 F.
(I)若圆 M 与 y 轴相交于 A、B 两点,且△ABM 是边长为 2 的正三角形,求椭圆的方程; (II)已知点 F(1,0) ,设过点 F 的直线 l 交椭圆于 C、D 两点,若直线 l 绕点 F 任意转动时,恒有

| OC |2 ? | OD |2 ?| CD |2 成立,求实数 a 的取值范围.
解: (I)? ? ABM 是边长为 2 的正三角形,∴圆的半径 r=2,∴M 到 y 轴的距离 d ? 3 …………(2 分)

b4 b2 x ? c时, 得y ? 2 , r ? . a ……………(4 分) a ∴ 又圆 M 与 x 轴相切,∴当
2

b2 ? 2, c ? 3 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 , ∴ a 2 ? 3 ? 2a, 解得 a=3 或 a=-1(舍去) ∴ a ,则 b ? 2a ? 6.

x2 y2 ? ? 1. 6 故所求椭圆方程为 9

……………(6 分)
2 yA ?

(II) (方法 1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,把 x=1 代入,得

b 2 (a 2 ? 1) . a2

? 恒有 | OC | ? | OD | ?| CD | ,
2 2 2

2 2 2 ? 2(1 ? y A ) ? 4 yA , yA ? 1,即

a2 ? 1 ? 1. a

a?
解得

1? 5 1? 5 1? 5 a? . 或a ? 2 2 2 (舍去) ,即

……………(8 分)

②当 l 不垂直 x 轴时,设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,

y ? k ( x ? 1), 代入
直线 AB 的方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2

2a 2 bk 2 a 2 k 2 ? a 2b 2 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ? a2k 2 b ? a2k 2 得 (b ? a k ) x ? 2a k x ? a k ? a b ? 0, 则

? 恒有 | OC |2 ? | OD |2 ?| CD |2 ,
2 2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 , 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 恒成立.……………(10 分)

? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k ( x1 ? 1) ? (1 ? k ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? k ,
2 2 2 2

?

(a 2 ? a 2 b 2 ? b 2 )k 2 ? a 2 b 2 b2 ? a2k 2 ,

由题意得, (a ? a b ? b )k ? a b ? 0对k ? R 恒成立.
2 2 2 2 2 2 2

14

当 a ? a b ? b ? 0对k ? R 不是恒成立的.
2 2 2 2

a 2 ? a 2 b 2 ? b 2 ? 0时, a ?


1? 5 2 ,恒成立.

2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 当 a ? a b ? b ? 0时 恒成立,?a ? a b ? b ,即a ? (a ? 1)b ? b ,? a ? 0, b ? 0,

? a ? b ,即a ? a ? 1, ? a ? a ? 1 ? 0, 解得
2 2 2

a?

1? 5 1? 5 1? 5 或a ? ,即a ? . 2 2 2

1? 5 [ , ??) 2 综上,a 的取值范围是
(方法 2)设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 )

……………(12 分)

①当直线 CD 与 x 轴重合时,有 | OC | ? | OD | ? 2a , | CD | ? 4a .
2 2 2 2 2

? c ? 1, ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1, 恒有 | OC |2 ? | OD |2 ?| CD |2 . ……………(8 分)
x ? my ? 1(m ? 0), 代入 x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

②当直线 C 不与 x 轴重合时,设直线 CD 的方程为 整理得 (a ? b m ) y ? 2b my ? b ? a b ? 0.
2 2 2 2 2 2 2 2

? y1 ? y 2 ? ?

2b 2 m b 2 ? a 2b 2 y y ? ? , 1 2 a 2 ? b2m2 a 2 ? b2m2

? 恒有 | OC |2 ? | OD |2 ?| CD |2 , ? ?COD 恒为钝角,
则 OC ? OD ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立 ……………(10 分)

? x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1
? (m 2 ? 1)(b 2 ? a 2 b 2 ) 2b 2 m 2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 1 ? ? 0. a 2 ? b 2b 2 a 2 ? b2m2 a 2 ? b2m2
2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 又 a ? b m ? 0. ? ?m a b ? b ? a b ? a ? 0对m ? R 恒成立,
2 2 2 即 m a b ? a ? a b ? b 对m ? R 恒成立.当 m ? R, m ? 0 时, a b m ? 0,

2

2

2

2

2

2

2

2 2 2 2 2 2 4 ? a 2 ? a 2b2 ? b2 ? 0. ?a ? a b ? b ,即a ? (a ? 1)b ? b . ? a ? 0, b ? 0,

? a ? b2 ,即a ? a 2 ? 1, ? a 2 ? a ? 1 ? 0, 解得

a?

1? 5 1? 5 1? 5 或a ? ,即a ? . 2 2 2
15

1? 5 [ , ??) 2 综上,a 的取值范围是

……………(12 分)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 10、椭圆 a 的左、右焦点为 F1、F2,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点.
2 2 2 (1)如果点 A 在圆 x ? y ? c (c 为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离心率;

(2)若函数 值范围.

y ? 2 ? logm x (m ? 0且m ? 1) 的图象,无论 m 为何值时恒过定点 ?b, a ? ,求 F2 B ? F2 A 的取
2 2 2

1 F2为一直角三角形 解: (1)∵点 A 在圆 x ? y ? c 上,? ?AF ,

?| F1 A |? c, | F1 F2 |? 2c

?| F2 A |? | F1 F2 | 2 ? | AF1 | 2 ? 3c
? c ? 3c ? 2a ?e ?

…………3 分

由椭圆的定义知:|AF1|+|AF2|=2a, (2)∵函数

c 2 ? ? 3 ?1 a 1? 3 ………5 分

y ? 2 ? logm x的图象恒过点 (1, 2 )
………………6 分

? a ? 2, b ? 1, c ? 1,

点 F1(-1,0) ,F2(1,0) ,

①若

AB ? x轴, 则A(?1,

2 2 ), B(?1,? ) 2 2 ,

? F2 A ? (?2,

2 2 1 7 ), F2 B ? (?2,? ), F2 A ? F2 B ? 4 ? ? 2 2 2 2

…………7 分

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的方程为 y=k(x+1)

? y ? k ( x ? 1) 消去y得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ? 2 2 x ? 2y ? 2 ? 0 由? …(*)
? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0,?方程(*)有两个不同的实根.
设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1,x2 是方程(*)的两个根

x1 ? x2 ? ?

4k 2 2(k 2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

……………9 分

F2 A ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 B ? ( x2 ? 1, y2 ), F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2
? (1 ? k 2 ) 2(k 2 ? 1) 4k 2 7k 2 ? 1 7 9 2 2 ? ( k ? 1 )( ? ) ? 1 ? k ? ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 2(1 ? 2k 2 ) ……10 分

16

?1 ? 2k 2 ? 1,? 0 ?

1 9 9 ? 1,0 ? ? 2 2 1 ? 2k 2(1 ? 2k ) 2 7 9 7 ? 1 ? F2 A ? F2 B ? ? ? , 2 2(1 ? 2k 2 ) 2

由①②知

? 1 ? F2 A ? F2 B ?

7 2

……………12 分

11.(2010 全国四校二模) 如图,S(1,1)是抛物线为 y ? 2 px( p ? 0) 上的一点,弦 SC,SD 分别交 x 小轴于 A,B 两点,且 SA=SB。
2

(I)求证:直线 CD 的斜率为定值; (Ⅱ)延长 DC 交 x 轴于点 E,若
2

| EC |?

1 | DE | 3 ,求 cos 2?CSD 的值。

(1)将点(1,1)代入 y ? 2 px ,得 2 p ? 1
2 ? 抛物线方程为 y ? x

---- 1 分

y ? 1 ? k ( x ? 1) , C ( x1 , y1 ) 设 直线SA的方程为
与抛物线方程 y ? x 联立得: ky ? y ? 1 ? k ? 0 --- 2 分
2 2

? y1 ? 1 ?

1 1 ? y1 ? ? 1 k k

?C(

(1 ? k ) 2 1 , ? 1) k2 k

---- 3 分

由题意有 SA ? SB ,?直线SB的斜率为? k

(1 ? k ) 2 1 ? D( ,? ? 1) k2 k

----4 分

? KCD

1 1 ?1? ?1 1 ? k 2 k ?? 2 (1 ? k ) (1 ? k ) 2 ? 2 2 k k ----5 分

(2)设 E (t ,0)

? EC ?

1 (1 ? k )2 1 1 (1 ? k ) 1 ED ? ( ? t , ? 1) ? ( 2 ? t ,? ? 1) 2 3 k k 3 k k
17

2

1 1 1 ? 1 ? (? ? 1) k 3 k

?k ? 2

------ 7 分 ----8 分

?直线SA的方程为y ? 2 x ? 1
1 ? A( ,0) 2
3 B ( ,0 ) 同理 2

----10 分

? cos?CSD ? cos?ASB ?

SA2 ? SB2 ? AB2 3 ? 2SB ? SA 5
7 25

----- 11 分

? cos 2?CSD ? 2 cos 2 ?ASB ? 1 ? ?

----- 12 分

C:
12.已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) P (1, ) 2 2 ,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形。 a b 经过点

(1)求椭圆的方程;

1 l : mx ? ny ? n ? 0(m, n ? R) 3 (2)动直线 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点
T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T。若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由。

x2 y2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 解: (1)∵椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, x2 y2 ? ?1 2 b2 ∴ a ? 2b ∴ 2b

P (1,
又∵椭圆经过点

2 ) 2 ,代入可得 b ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1. a ? 2 2 ∴ ,故所求椭圆方程为
1 (2)首先求出动直线过(0, 3 )点. ?

3分

5分

1 4 x2 ? ( y ? )2 ? ( )2 3 3 当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程:
当 L 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? y ? 1
2 2

1 2 4 2 ? 2 ?x ? 0 ?x ? ( y ? ) ? ( ) 3 3 解得? ? ?y ? 1 ?x 2 ? y 2 ? 1 由?

18

即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1) 。事实上,点 T(0,1)就是所 求的点。……7 分 证明如下: 当直线 L 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1)

y ? kx ?
若直线 L 不垂直于 x 轴,可设直线 L:

1 3

1 ? y ? kx ? ? ? 3 消去y得 : (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? 由? 2

12k ? x1 ? x 2 ? ? ? 18k 2 ? 9 B( x 2 , y 2 ),则? ? x x ? ? 16 1 2 ? 18k 2 ? 9 ? 记点 A( x1 , y1 ) 、

9分

又因为 TA ? ( x1, y1 ?1),TB ? ( x2 , y2 ?1)

4 4 所以TA ? TB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? x1 x2 ? (kx1 ? )( kx 2 ? ) 3 3
? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 4 16 k ( x1 ? x 2 ) ? 3 9 ? 16 4 12 k 16 ? (1 ? k 2 ) ? ? k? ? ?0 2 2 18k ? 9 3 18k ? 9 9

所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1) 所以在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件. 12 分

19


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