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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1精要课件 双曲线的标准方程


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2.3.1

2.3.1
【学习要求】
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双曲线的标准方程

1.了解双曲线的定义,几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的学习要

运用类比的方法, 在与椭圆的联系与区别中建 立双曲线的定义及标准方程.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.1

1.双曲线的定义

差的绝对值 把平面内与两个定点 F1, 2 的距离的______________等于常数 F
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(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线, 这两个定点叫

双曲线的焦点 两焦点间的距离 做________________,______________________叫做双曲线的
焦距.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.1

2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 标
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焦点在 y 轴上

准 方 程 焦 点 焦 距

x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

F1(-c,0),F2(c,0)

(0,-c) F1________,F2______ (0,c)
2 2

a +b |F1F2|=2c,c2=________

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.1

探究点一 双曲线的定义 问题 1 取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选
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择一点,分别固定在点 F1,F2 上,把笔尖放在点 M 处,拉 开闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,思考曲线满足 什么条件?
答案 如图,曲线上的点满足条件:|MF1 |- |MF2|=常数;如果改变一下位置,使|MF2 |- |MF1|=常数,可得到另一条曲线.

研一研·题型解法、解题更高效

2.3.1

结论:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常
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数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定 点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

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2.3.1

问题 2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差 的绝对值为常数,若没有绝对值,则动点的轨迹是什么?
答案 若没有绝对值,动点的轨迹就成了双曲线的一支.
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问题 3 答案

双曲线的定义中,为什么要限制到两定点距离之差

的绝对值为常数 2a,2a<|F1F2 |? 只有当 2a<|F1F2 |时,动点的轨迹才是双曲线;当 2a=

|F1F2 |时,动点的轨迹是两条射线;当 2a>|F1F2 |时,满足条件 的点不存在.

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2.3.1

问题 4

已知点 P(x,y)的坐标满足下列条件,试判断下列各

条件下点 P 的轨迹是什么图形? (1)| ?x+5?2+y2- ?x-5?2+y2|=6;
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(2) ?x+4?2+y2- ?x-4?2+y2=6.

解 (1)∵| ?x+5?2+y2- ?x-5?2+y2 |表示点 P(x,y)到两定 点 F1(-5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值, |F1F2 |=10,∴||PF1|-|PF2 ||=6<|F1F2 |, 故点 P 的轨迹是双曲线.

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2.3.1

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(2)∵ ?x+4?2+y2 - ?x-4?2+y2 表 示点 P(x, y)到两定点 F1(-4,0)、F2(4,0)的距离之差,|F1F2|=8, ∴|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|, 故点 P 的轨迹是双曲线的右支.

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探究点二 双曲线的标准方程

2.3.1

问题 1 类比椭圆标准方程的推导过程,思考怎样求双曲线 的标准方程?
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答案

(1)建系:以直线 F1F2 为 x 轴,F1F2 的中点为原点建立

平面直角坐标系. (2)设点:设 M(x,y)是双曲线上任意一点,且双曲线的焦点 坐标为 F1(-c,0),F2(c,0).

(3)列式:由|MF1 |-|MF2 |=± 2a, 可得 ?x+c?2+y2- ?x-c?2+y2=± 2a.

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(4)化简:移项,平方后可得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). 令 c2-a2=b2,得双曲线的标准方程为 x2 y2 - =1 (a>0,b>0). a2 b2 小结 双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 标准 方程 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) 焦点在 y 轴上 y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

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问题 2

2.3.1

两种形式的标准方程怎样进行区别?能否统一?

答案 两个标准方程的区别:双曲线标准方程中 x2 与 y2 的系 数符号决定了焦点所在的坐标轴.当 x2 系数为正时,焦点在
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x 轴上;当 y2 系数为正时,焦点在 y 轴上.而与分母的大小 无关. 两种形式可统一表示为 mx2+ny2=1(mn<0).

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问题 3

2.3.1

如图,类比椭圆中 a,b,c 的意义,你能在 y 轴上找一

点 B,使|OB|=b 吗?

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答案 以双曲线与 x 轴的交点 A 为圆心,以线段 OF2 为半径 画圆交 y 轴于点 B.

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2.3.1

例 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线过点(3, ?9 ? -4 2)和? ,5?,求双曲线的标准方程; ?4 ? x2 y2 (2)求与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双 16 4
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曲线方程.
y2 x2 解 (1)由已知可设所求双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b ?32 9 ?a2=16, ? a2 -b2=1, ? 则? 解得? 2 25 81 ?b =9, ? ? 2 - 2=1, ? a 16b y2 x2 ∴双曲线的方程为 - =1. 16 9

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(2)方法一 x2 y2 设双曲线方程为 2- 2=1. a b

2.3.1

由题意易求得 c=2 5. ?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ 2 - 2=1. a b
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又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8

x2 y2 方法二 设双曲线方程为 - =1 (-4<k<16), 16-k 4+k 将点(3 2,2)代入得 k=4, x2 y2 ∴所求双曲线方程为12- 8 =1.

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小结

2.3.1

(1)双曲线标准方程的求解方法是“先定型,后计

算”.先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,从而设出 相应的标准方程.
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(2)在求双曲线的方程时,若不知道焦点的位置,则进行讨 论,或可直接设双曲线的方程为 Ax2+By2=1 (AB<0). x2 y2 (3)与双曲线 2- 2=1 共焦点的双曲线的标准方程可设为 a b x2 y2 - 2 =1(-b2<λ<a2). a2-λ b +λ

2.3.1 研一研·题型解法、解题更高效 b 跟踪训练 1 (1)过点(1,1)且 = 2的双曲线的标准方程是( D ) a x2 2 y2 A. -y =1 B. -x2=1 1 1 2 2 y2 x2 2 y2 C.x2- =1 D. -y =1 或 -x2=1 本 1 1 1 专 2 2 2 题 栏 目 开 关

b 解析 由于 = 2,∴b2=2a2.当焦点在 x 轴上时,设双曲线方 a x2 y2 1 x2 程为 2- 2=1,代入(1,1)点,得 a2=2.此时双曲线方程为 1 - a 2a 2 y2 2 y2=1.同理求得焦点在 y 轴上时,双曲线方程为 1 -x =1. 2

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2.3.1

x2 y2 (2)若双曲线以椭圆 + =1 的两个顶点为焦点, 且经过椭圆的 16 9 两个焦点,则双曲线的标准方程为____________.
解析
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x2 y2 椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上, a=4, 且 b=3, c= 7, 16 9

所以焦点为(± 7,0),顶点为(± 4,0).于是双曲线经过点(± 7, 0),焦点为(± 4,0),则 a′= 7,c′=4,所以 b′2=9,所以 x2 y2 双曲线的标准方程为 - =1. 7 9 x2 y2 答案 7 - 9 =1

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探究点三

2.3.1

双曲线定义及标准方程的应用 x2 y2 例 2 已知双曲线的方程是 - =1,点 P 在双曲线上,且到 16 8 其中一个焦点 F1 的距离为 10,点 N 是 PF1 的中点,求|ON|
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的大小(O 为坐标原点).
解 连接 ON,ON 是三角形 PF1F2 的中位线, 1 所以|ON|= 2|PF2 |,因为||PF1|-|PF2 ||=8,|PF1|=10, 1 所以|PF2|=2 或 18,|ON|= |PF2 |=1 或 9. 2

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2.3.1

小结
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双曲线的 定义是解 决与双曲线 有关的问题 的主要依

据.在应用时,一是注意条件||PF1|-|PF2||=2a (0<2a<|F1F2|)的 使用,二是注意与三角形知识相结合,经常利用正、余弦定理, 同时要注意整体运算思想的应用.

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x2 y2 跟踪训练 2 如图,从双曲线 - =1 的左焦 3 5 点 F 引圆 x2+y2=3 的切线 FP 交双曲线右支 于点 P,T 为切点,M 为线段 FP 的中点,O
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2.3.1

为坐标原点,则|MO|-|MT|等于 A. 3 C. 5- 3 B. 5

( C )

D. 5+ 3 1 解析 |MO|-|MT|= |PE|-(|MF|-|FT|) 2 1 =|FT|-2(|PF|-|PE|) 1 = 5-2×2× 3= 5- 3.

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2.3.1

例 3 已知 A,B 两地相距 2 000 m,在 A 地听到炮弹爆炸声比 在 B 地晚 4 s,且声速为 330 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

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如图,建立直角坐标系 xOy,使 A,B 两

点在 x 轴上,并且坐标原点 O 与线段 AB 的中 点重合. 设爆炸点 P 的坐标为(x,y), 则|PA|-|PB|=330×4=1 320, 即 2a=1 320,a=660. 又|AB|=2 000, 所以 2c=2 000,c=1 000,b2=c2-a2=564 400. 因为|PA|-|PB|=330×4=1 320>0,所以 x>0.

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因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为 x2 y2 - =1 (x>0). 435 600 564 400
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2.3.1

小结 (1)解答与双曲线有关的应用问题时, 不但要准确把握 题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线 的定义及性质的灵活应用. (2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着 的变量范围.

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跟踪训练 3 2008 年 5 月 12 日,四川汶川发生

2.3.1

里氏 8.0 级地震,为了援救灾民,某部队在如 图所示的 P 处空降了一批救灾药品, 今要把这
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批药品沿道路 PA、 送到矩形灾民区 ABCD PB 中去, 已知 PA=100 km, PB=150 km, BC=60 km, ∠APB =60° ,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点 沿道路 PA 送药较近,而另一侧的点沿道路 PB 送药较近, 请说明这一界线是一条什么曲线?并求出其方程.

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2.3.1



矩形灾民区 ABCD 中的点可分为三类, 第一类沿道路 PA

送药较近,第二类沿道路 PB 送药较近,第三类沿道路 PA 和
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PB 送药一样远近.依题意,界线是第三类点的轨迹.

设 M 为界线上的任一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,|MA|- |MB|=|PB|-|PA|=50(定值). ∴界线是以 A、B 为焦点的双曲线的右支的一部分.

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如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的 垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系, x2 y2 设所求双曲线方程的标准形式为 2- 2 =1 a b (a>0,b>0),
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2.3.1

∵a=25,2c=|AB| = 1002+1502-2×100×150×cos 60° =50 7,

∴c=25 7,b2=c2-a2=3 750, x2 y2 故双曲线的标准方程为625-3 750=1. 注意到点 C 的坐标为(25 7,60), 故 y 的最大值为 60,此时 x=35, x2 y2 故界线的曲线方程为625-3 750=1 (25≤x≤35,y>0).

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2.3.1

1.已知 A(0,-5)、B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当 a=3 或 5 时,P 点的轨迹为
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( D )

A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线

解析 当 a=3 时,2a=6,此时|AB|=10, ∴点 P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点 B). 当 a=5 时,2a=10,此时|AB|=10, ∴点 P 的轨迹为射线,且是以 B 为端点的一条射线.

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2.3.1

2.若 k>1,则关于 x,y 的方程(1-k)x2+y2=k2-1 所表示的 曲线是 A.焦点在 x 轴上的椭圆
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( C )

B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的双曲线 D.焦点在 x 轴上的双曲线

解析 将已知方程化为标准形式,根据项的系数符号进行判 y2 x2 断.原方程可化为 2 - =1. k -1 1+k ∵k>1,∴k2-1>0,1+k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线.

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2.3.1

x2 y2 3.双曲线 - =1 上一点 P 到点(5,0)的距离为 15,那么该 16 9 点到(-5,0)的距离为 A.7
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( D )

B.23 D.7 或 23

C.5 或 25

解析

∵|PF1|-|PF2 |=± 8,

∴|PF2|=15± 8,即|PF2 |=23 或|PF2 |=7.

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2.3.1

4.已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x- 4)2+y2=2 内切,求动圆圆心的轨迹方程.

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设动圆 M 的半径为 r,由于动圆与圆 C1 相外切,所以

|MC1 |=r+ 2,又动圆与圆 C2 相内切,所以有|MC2|=r- 2,于是|MC1 |-|MC2 |=(r+ 2)-(r- 2)=2 2,且 2 2 <|C1C2|,因此动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双 曲线的右支. x2 y2 设其方程为 2- 2=1,则有 2a=2 2,即 a= 2, a b 又 c=4,∴b2=c2-a2=16-2=14, x2 y2 于是动圆圆心的轨迹方程为 2 - 14=1 (x>0).

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2.3.1

1.双曲线定义中||PF1|-|PF2 ||=2a (2a<|F1F2|)不要漏了绝对值 符号,当 2a=|F1F2|时表示两条射线.
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2.在双曲线的标准方程中,a>b 不一定成立.要注意与椭圆中 a,b,c 的区别.在椭圆中 a2=b2+c2,在双曲线中 c2=a2 +b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在 的位置,设出标准方程后,由条件列出 a,b,c 的方程组. 如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用 形如 mx2+ny2=1 (mn<0)的形式求解.


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