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2014级高三文科高考模拟试卷10


2014 级高三文科高考模拟试卷 10
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项.) 1.已知集合 A.{4}

A ? ? x x ? 3? , B ? ?1, 2,3, 4?
C.{2,3,4}

,则 A

/>
B =

B.{3,4}
2

D.{1,2,3,4}

2.设条件 p : a ? a ? 0 , 条件 q : a ? 0 ; 那么 p是q 的 A.充分但不必要条件 C.充要条件 B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 数列 A.155

{an } 对任意 n ? N * ,满足 an+ 1 = an + 3 ,且 a3 ? 8 ,则 S10 等于
B. 160 C.172 D.240

4. 若 a、b是任意实数,且a ? b ,则下列不等式成立的是

A. a ? b
2

2

b ?1 B. a

C. lg(a ? b) ? 0

1 1 ( ) a ? ( )b 3 D. 3
5.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧 视图 都是由半圆 和矩形组成 ,根据图中 标出的尺寸 ( 单 位:cm),可得这个几何体的体积是

A.π cm3

4? B. 3 cm3

5? C. 3 cm3

D.2π cm3

6. 已知

a ? 2 , b ? log

1 2

3

3

, 运算原理如右图所

示 则输出的值为

2 A. 2
2 ?1 2

B. 2

C.

D.

2 ?1 2

7、已知 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 4, BC ? 10 , 则 AB ? AC 等于

96 A. 5 ?

?
B.

15 2

C.

15 2

96 D. 2
B

8、如图 AB 是长度为定值的平面 ? 的斜线段,点 A 为斜足,若 点 P 在平面 ? 内运动,使得 ?ABP 的面积为定值,则动点 P 的轨 迹是 A.圆 C 一条直线 B.椭圆 D 两条平行线
?

A

P

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. )

2 9. 1 ? i =
10.一个正方形的内切圆半径为 2,向该正方形内随机投一点 P,点 P 恰好落在圆内的概率是 __________ 11.《中华人民共和国道路交通安全法》 规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80 mg/100mL(不含 80)之间,属于酒后驾车; 血液酒精浓度在 80mg/100mL(含 80)以上 时,属醉酒驾车。 据有关调查,在一周内,某地区查处酒后驾 车和醉酒驾车共 500 人.如图是对这 500 人 血液中酒精含量进行检测所得结果的频率 分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为 __________

12.若不等式组

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? ?x ? 1 ?y ?1 ?

表示的平面区域是一个三角形,则此三角形的面积是_______;

若 x, y 满足上述约束条件,则 z ? x ? y 的最大值是

13. 已知抛物线的方程是 y ? 8 x ,双曲线的右焦点是抛物线的焦点,离心率为 2,则双曲
2

线的标准方程是 ______,其渐近线方程是______________

m?
14. 给出定义:若

1 1 ? x? m? 2 2 (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记

作 {x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题:

1 ①函数 y = f ( x) 的定义域为 R ,最大值是 2

;②函数 y = f ( x) 在 [0,1] 上是增函数;

③函数 y = f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1;④函数 y = f ( x) 的图象的对称中心是(0,0). 其中正确命题的序号是__________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 cos 2 x .

f( ) 3 ; (I) 求
(II)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间

?

16.(本小题满分 13 分) 某校为了解学生的视力情况, 随机抽查了一部分学生视力, 将调查结果分组, 分组区间为 (3.9, 4.2], (4.2,4.5],… , (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计 频数 3 6 25 y 2 n 频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00

(I)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值; (II)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力差 的绝对值低于 0.5 的概率.

17.(本小题满分 13 分)
D

在空间五面体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是正方形,

AB ? 平面BCE , ?CBE ? 90 0 .
点 F 是 BE 的中点. 求证: (I) ED // 平面ACF (II) AC ? 平面BDF

A C

B F E

18. (本小题满分 14 分)

f ( x) ?
设函数

x3 ? (a ? 1) x 2 ? 4ax ? b, 其中a、b ? R 3

1 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 3 处取得极小值是 2 ,求 a、b 的值;
(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在 (?1,1) 上有且只有一个极值点, 求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 已知椭圆 C: a 的左焦点为 F (-1,0) ,离心率为 2 ,过点 F 的直线与
椭圆 C 交于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (II)设过点 F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a ( x ? R ) ,在定义域内有且只有一个零点,存在 0 ? x 1 ? x 2 , 使
2
* {a } 得不等式 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 成立. 若 n ? N , f (n) 是数列 n 的前 n 项和.

(I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)设各项均不为零的数列 ?c n ? 中,所有满足

ck ? ck ?1 ? 0 的正整数 k 的个数称为这个数列

?c n ? 的变号数,令
Tn ?
(Ⅲ)设

cn ? 1 ?

4 a n (n 为正整数) ,求数列 ?c n ? 的变号数;

1 a n ? 6 ( n ? 2 且 n ? N* ) ,使不等式

7m 1 ? (1 ? T2 ) ? (1 ? T3 )...(1 ? Tn ) ? 30 2n ? 3 恒成立,求正整数 m 的最大值.

参考答案 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 1 2 3 4 5 题号 答案 B B A D C

6 D

7 C

8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

?
9. 1+ 11. 12. 75 1, 2 10.

4
第一空 3 分,第二空 2 分

x2 ?
13.

y2 ?1 3 ,

y ? ? 3x

第一空 3 分,第二空 2 分

14. ① ③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分) 解: (I)依题意 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 ?

cos 2 x ? 1 2 ………2 分
…….3 分

= 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1

2 sin(2 x ?


?
6

) ?1

??? 5 分

? 2? ? f ( ) 2 sin( ? ) ?1 ? 2 3 = 3 6

……7 分

(II)设函数 f ( x) 的最小正周期为 T= ?

??? 9 分

2k? ?


?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )
时,函数单调递增

k? ?
故解得

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z )

?

k? ?
函数的单调递增区间为[

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z )

??? 13 分

16.(本小题满分 13 分)

2 ? 0.04 解: (I)由表可知,样本容量为 n ,由 n ,得 n ? 50 x?


25 ? 0.5 n ;……3 分 z? y 14 ? ? 0.28 n 50

y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14 ,

6分

(II)设样本视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a, b, c , 样本视力在(5.1,5.4]的 2 人为 d , e . 由题意从 5 人中任取两人的基本事件空间为: ….….7 分

? ? {(a , d ), (a , e ), (b , d ), (b ,e ), (c ,d ), (c ,e ), (a ,b ), (a ,c ), ( b ,c ), ( d ,e } ) ,….9 分
∴ n ? 10 ,且各个基本事件是等可能发生的. 设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5” ,则事件 A 包含的基本事件有:

(a, b), (a, c), (b, c), (d , e) ,∴ m ? 4

P( A) ?


m 2 ? n 5,

2 故抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 5 .

13 分

17.(本小题满分 13 分) 证明: (I)? 点 F 是 AB 的中点 ,AC ? BD ? o ,? FO为?BED 的中位线

? OF // DE 又? ED ? 平面ACF , OF ? 平面ACF
? DE // 平面ACF
……6 分
D

(II)

? AB ? 平面BCE,BF ? 平面BCE
A
O

? AB ? BF

? ?CBE ? 90 0 ? BF ? BC

C

? AC ? BD ? AB ? BC ? B ,

B F E

? BF ? 平面ABCD , AC ? 平面ABCD

BF ? AC
又 四边形ABCD是正方形 ? AC ? BD ,

BD ? BF ? B

? AC ? 平面BDF

……13 分

18. (本小题满分 14 分) 解: (I) ? f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 4a
' 2

.......3 分

? f (3) ? 9 ? 6(a ? 1) ? 4a ? 0
'

a?


3 2

......4 分

? f (3) ?
' 2

1 2

解得:

b ? ?4

???5 分

(II)? f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 4a ? ( x ? 2a )( x ? 2) 令 f ( x) ? 0,即x ? 2a或x ? 2
'

…..7 分

当 a ? 1时,x ? 2a, x ? 2 ,即 f ( x) 的单调递增区间为 (??,2)和(2a,??) ….8 分 当 a ? 1时,f ( x) ? ( x ? 2) ? 0 ,即 f ( x) 的单调递增区间为 (??,??) ….9 分
' 2

当 a ? 1时,x ? 2a, x ? 2 ,即 f ( x) 的单调递增区间为 (??,2a )和(2,??) …..10 分

?a ? 1 ? ' f (?1) ? f ' (1) ? 0 ……12 分 (Ⅲ)由题意可得: ?
? (2a ? 1)(2a ? 1) ? 0

?

1 1 ?a? 2 2
……14 分

1 1 (? , ) ? a 的取值范围 2 2
19(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意可知: c ? 1 , a ? b ? c ,
2 2 2

e?

c 2 ? a 2

……2 分

解得: a ?

2,b ? 1

……3 分

x2 ? y2 ?1 2 故椭圆的方程为:

……4 分

(II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , ……5 分

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?2
联立,得 ,整理得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0
2 2 2 2

。 。 。 。 。 。7 分

? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F ? 方程有两个不等实根.
记 ….…8 分

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), AB的中点N ( x0 , y0 )
? 4k 2 1 ? 2k 2
x0 ? x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2



x1 ? x2 ?

…..9 分

…..10 分

1 y ? y 0 ? ? ( x ? x0 ) k 垂直平分线 NG 的方程为 ,

…..11 分



y ? 0, 得xG ? x0 ? ky0 ? ?
1 ? xG ? 0 2

2k 2 k2 k2 1 1 ? ? ? ?? ? 2 2 2 2 2 4k ? 2 …..12 分 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

? k ? 0,? ?

…… 13 分

1 ?点G横坐标的取值范围为( ? , 0) 2
20.(本小题满份 13 分) 解: (I)∵ 函数f ( x) 在定义域内有且只有一个零点

….14 分

? ? ? a 2 ? 4a ? 0得a ? 0或a ? 4
当 a =0 时,函数 f ( x) ? x 在 (0,??) 上递增
2

……1 分 故不存在 0 ? x1 ? x 2 ,

使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立 综上,得 a ? 4, f ( x) ? x ? 4 x ? 4
2

…… 2 分 …….3 分

? S n ? n 2 ? 4n ? 4

n ?1 ?1, ? a n ? S n ? S n ?1 ? ? ?2n ? 5, n ? 2

????4 分

n ?1 ?? 3, ? cn ? ? 4 1? , n?2 ? ? 2n ? 5 (II)解法一:由题设

? n ? 3 时,

c n ?1 ? c n ?

4 4 8 ? ? ?0 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ? 3)

? n ? 3 时,数列 ?c n ? 递增

1 ?c4 ? ? ? 0 3

1?


4 ? 0得n ? 5 2n ? 5

可知 a 4 ? a 5 ? 0 又? c1 ? ?3, c 2 ? 5, c 3 ? ?3 ∴此处变号数有 2 个 ……9 分

即 n ? 3 时,有且只有 1 个变号数; 即 c1 ? c 2 ? 0, c 2 ? c 3 ? 0

综上得数列 ?c n ? 共有 3 个变号数,即变号数为 3

n ?1 ?? 3 ? cn ? ? 4 1? n?2 ? 2 n ? 5 ? 解法二:由题设

当 n ? 2 时,令

cn ? cn ?1 ? 0得

2n ? 9 2n ? 7 ? ?0 2n ? 5 2n ? 3

3 5 7 9 即 ?n? 或 ?n? 2 2 2 2 解得n ? 2或n ? 4
又? c1 ? ?3, c 2 ? 5 ? n ? 1 时也有 c1 ? c 2 ? 0 综上得数列 ?c n ? 共有 3 个变号数,即变号数为 3 ????9 分

(Ⅲ) n ? 2 且 n ? N

*

时,

Tn ?

1 2n ? 1

7m 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )...(1 ? )? 30 5 7 2n ? 1 2n ? 3

可转化为

7 m 6 8 10 2n 2n ? 2 1 ? ? ? ... ? ? 30 5 7 9 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 .

6 8 10 2n 2n ? 2 1 ? ? ... ? ? 2n ? 3 , 设 g ( n) ? 5 7 9 2n ? 1 2n ? 1
6 8 10 2n ? 2 2n ? 4 1 ? ? ... ? ? g (n ? 1) 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 ? 6 8 10 2n ? 2 1 g ( n) ? ? ... ? * 5 7 9 2 n ? 1 2n ? 3 n ? 2 n ? N 则当 且 ,
?
?

2n ? 4 2n ? 3 2n ? 4 ? ? 2n ? 3 2n ? 5 (2n ? 3)(2n ? 5)
2n ? 4 4n ? 16n ? 15
2

?

2n ? 4 4n ? 16n ? 16
2

?

2n ? 4 (2n ? 4)
2

?

2n ? 4 ?1 2n ? 4

.

所以 g (n ? 1) ? g (n) ,即当 n 增大时, g ( n) 也增大.

7m 1 ? (1 ? T2 )(1 ? T3 )...(1 ? Tn ) ? 2n ? 3 对于任意的 n ? N* 恒成立,只需 要使不等式 30 1 6 7 6 7 7m g (n) min ? g (2) ? ? ? ? ? g (n) min 35 , 7 5 7 30 即可.因为
7m 6 7 180 1 ? m? ?5 35 . 35 7 所以 30 即 所以,正整数 m 的最大值为 5.

?????13 分


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