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专题四 直线与圆锥曲线

时间:2012-10-05


专题四
一、选择题(每小题 7 分,共 35 分)

直线与圆锥曲线
)

x2 y2 1.AB 为过椭圆 2+ 2=1 中心的弦,F(c,0)为它的焦点,则△FAB 的最大面积为( a b A.b2 B.ab C.ac D.bc 2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 )

3. 过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物线在第一、 四象限分别交 |AF| 于 A、B 两点,则 的值等于( |BF| A.5 B.4 C.3 D.2 x2 y2 2 4.已知椭圆 C 的方程为 + 2=1 (m>0),如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上 16 m 2 的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( A.2 B.2 2 C.8 D.2 3 x2 y2 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点为 F1,左、右顶点为 A1、A2,P 为双曲线上任 a b 意一点,则分别以线段 PF1,A1A2 为直径的两个圆的位置关系为( A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能 二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) x2 y2 6.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是__________. 5 m 7.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为____________. 8. (2010· 湖北重点中学联考)]如图所示, 过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直 线 l 依次交抛物线及其准线于 A,B,C 三点,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3, 则抛物线的方程是__________. x2 y2 9. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, A1、 A2、 B1、 B2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b 的四个顶点,F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 __________. ) ) )

三、解答题(共 41 分) x2 y2 10. (13 分)设 AB 是过椭圆 + =1 的一个焦点的弦, 若 AB 的倾斜角为 60° , 求弦 AB 的长. 5 4 11.(14 分)已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、B 两点,若另有一条直线 l 经过 P(-2,0)及线段 AB 的中点 Q. (1)求 k 的取值范围; (2)求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围. 12.(14 分)(2010· 温州十校模拟)已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点,焦点在 x 轴上,且经过 1 点 A(0,2 3),离心率为 . 2 (1)求椭圆 P 的方程; 16 (2)是否存在过点 E(0,-4)的直线 l 交椭圆 P 于点 R,T,且满足 OR ? OT = .若存 7 在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 答案 1. D 2. C 3. C4. B 5. B 6. m≥1 且 m≠5 7. y2=± 8x 8. y2=3x 9.2 7-5 10 解 依题意,椭圆的一个焦点 F 为(1,0),则直线 AB 的方程为 y= 3(x-1), 代入 4x2+5y2=20,得 19x2-30x-5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 30 5 则 x1+x2= ,x1x2=- . 19 19 ∴|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] ?30?2 ? 5 ?? 32 5 = ?1+3?? ??19? -4×?-19??= 19 . 32 5 ∴弦 AB 的长为 . 19 11. 解 (1)将 y=kx-1 代入双曲线方程 x2-y2=1, 化简,整理,得(1-k2)x2+2kx-2=0.

?- 2k <0, 由题设条件? 1-k 2 >0 ?-1- k
2 2

4k2+8?1-k2?>0, ?- 2<k<-1.

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x,y), x1+x2 k 1 则 x= = 2 ,y= 2 , 2 k -1 k -1 1 ∴直线 l 的方程为 y= 2 (x+2). 2k +k-2 2 2 令 x=0,得 b= 2 = . 1 17 2k +k-2 ? 2 2?k+4? - ? 8 ∵- 2<k<-1,u=2k2+k-2 在(- 2,-1)上为减函数,∴-1<u<2- 2.

又 u≠0,∴b<-2 或 b>2+ 2. x2 y2 12. 解 (1)设椭圆 P 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b c 1 由题意得 b=2 3,e= = , a 2 ∴a=2c,b2=a2-c2=3c2,c2=4,c=2,a=4, x2 y2 ∴椭圆 P 的方程为 + =1. 16 12 (2)假设存在满足题意的直线 l. 易知当直线 l 的斜率不存在时, OR? OT <0 不满足题意. 故可设直线 l 的方程为 y=kx-4, R(x1,y1),T(x2,y2). ??? ? ??? ? 16 16 ? OR? OT = 7 ,∴x1x2+y1y2= 7 . y=kx-4 ? ? 2 2 由? x ,得(3+4k2)x2-32kx+16=0, y + = 1 ? ?16 12 由 Δ>0 得,(-32k)2-4(3+4k2)×16>0, 1 解得 k2> .① 4 32k 16 ∴x1+x2= , 2,x1x2= 3+4k 3+4k2 ∴y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k2x1x2-4k(x1+x2)+16, 16 16k2 128k2 16 故 x1x2+y1y2= , 2+ 2- 2+16= 7 3+4k 3+4k 3+4k 解得 k2=1,② 由①②解得 k=± 1,∴直线 l 的方程为 y=± x-4. 故存在直线 l:x+y+4=0 或 x-y-4=0 满足题意.

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