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简单的幂函数练习题


高中数学幂函数
重难点:掌握常见幂函数的概念、图象和性质,能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大 小. 考纲要求:①了解幂函数的概念; ②结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3

1 x

1

, y ? x 2 的图像,了解他们的变化情况.

知识

梳理: 1. 幂函数的基本形式是 y ? x? ,其中 x 是自变量,? 是常数. 要求掌握 y ? x , y ? x 2 , y ? x3 , y ? x1/ 2 , y ? x?1 这五个常 用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性,总结如下: (1)当 ? ? 0 时,图象过定点 ;在 (0, ??) 上 是 函数. (2)当 ? ? 0 时,图象过定点 ;在 (0, ??) 上 是 函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标 轴无限趋近. 3. 幂函数 y ? x? 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指数 . y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 诊断练习: 1. 如果幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (2, 2.函数 y=(x -2x)
2
2

.

2 ) ,则 f (4) 的值等于 2



1 2

的定义域是

3.函数 y= x 5 的单调递减区间为 4.函数 y=
x 1
2-m-m
2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是_______ _.

范例分析: 例 1 比较下列各组数的大小:
1 1

(1)1.5 3 ,1.7 3 ,1;
? 2 3 2 3

(2)(-

2 2



?

2 3

,(-

10 7

2

) 3 ,1.1

?

4 3



(3)3.8

,3.9 5 ,(-1.8) 5 ;

(4)3 ,5 .

1.4

1.5

例 2 已知幂函数 y ? xm?6 (m ? Z ) 与 y ? x2?m (m ? Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共点,且

6

y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值.

例 3 幂函数 f ( x) ? (t 3 ? t ? 1) x

7 ? 3t ? 2t 2 5

是偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数,求函数解析式.

反馈练习:

1 1.幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (4, ) ,则 f (8) 的值为 2
2. 比较下列各组数的大小: (a ? 2) 2 3.幂函数的图象过点(2,
1 4
3
3

.
? 2 3

a 2 ; (5 ? a 2 )

5

?

2 3

; 0.40.5 .

0.50.4 .

), 则它的单调递增区间是
a

4 . 设 x ∈ (0, 1) , 幂 函 数 y = x 的 图 象 在 y = x 的 上 方 , 则 a 的 取 值 范 围 是 5.函数 y= x 4 在区间上 6.一个幂函数 y=f (x)的图象过点(3,
4
? 3

. 是减函数.

27 ),另一个幂函数 y=g(x)的图象过点(-8, -
(3)作出这两个

2), (1)求这两个幂函数的解析式; (2)判断这两个函数的奇偶性; 函数的图象,观察得 f (x)< g(x)的解集.

6

巩固练习
1.用“<”或”>”连结下列各式: 0.32 2.函数 y ? ( x ? 1) 2 ? (4 ? x) 3. y ? x a
2
0.6

0.32

0.5

0.34 , 0.8?0.4

0.5

0.6?0.4 .

1

??

3 2

的定义域是 .

?4 a ?9
5

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是

2

4.已知 x 3 ? x 3 ,x 的取值范围为 5.若幂函数 y ? xa 的图象在 0<x<1 时位于直线 y=x 的下方,则实数 a 的取值范围是 6.若幂函数 f ( x) 与函数g(x)的图像关于直线y=x对称,且函数g(x)的图象经过 (3 3, 3 ) ,则 3

f ( x) 的表达式为
7. 函数 f ( x) ?

x?2 的对称中心是 x?3

,在区间



函数(填

“增、减” ) 8.比较下列各组中两个值的大小

(1)1.55 与1.65 (2)0.61.3 与0.71.3 (3)3.5 3 与5.3 3 (4)0.18?0.3 与0.15?0.3

3

3

?

2

?

2

9.若 (a ? 2)

?

1 3

? (3 ? 2a)

?

1 3

,求 a 的取值范围。

10.已知函数 y= 4 15 -2x-x 2 . (1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.

诊断练习:1。

1 2

2。 (-∞,0) ? (2,+∞)

3。 (-∞,0) 4。-1
6

例 1 解:(1)∵所给的三个数之中 1.5 和 1.7 的指数相同,且 1 的任何次幂都是 1,因 此,比较幂 1.5 、1.7 、1 的大小就是比较
1 3 1 3 1 3 1 1.5 3

1 3

1 3

、1.7 、1 的大小,也就是比较函数

1 3

1 3

y=x 中,当自变量分别取 1.5、1.7 和 1 时对应函数值的大小关系,因为自变量的值的大小
关系容易确定,只需确定函数 y=x 的单调性即可,又函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增, 且 1.7>1.5>1,所以 1.7 >1.5 >1. (2) (-
2 2
?

1 3

1 3

1 3

1 3


? 2 3

2 3

=(

2 2



?

2 3

, (-

10 7

2 )3

=(
7 10

7 10



?

2 3

,1.1

?

4 3

=[(1.1) ]

2

?

2 3

?

=1.21

2 3



∵幂函数 y=x ∴(
7 10

在(0,+∞)上单调递减,且
2 2


2 3

2 2

<1.21,
2 2
?



2 ? 3

>(



2 ? 3

>1.21

2 ? 3

,即(-

10 7

) >(-
? 2


2

2 3

>1.1

?

4 3


3

(3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现 0<3.8 3 <1,3.9 5 >1,(-1.8) 5 <0, 从而可以比较出它们的大小. 1.5 (4)它们的底和指数也都不同,而且都大于 1,我们插入一个中间数 3 ,利用幂函数和指 1.4 1.5 1.5 数函数的单调性可以发现 3 <3 <5 . m?6?0 例 2 解:∵ 幂函数图象与 x 、 y 轴都没有公共点,∴ ,解得 2 ? m ? 6 . 2?m?0

?

又 ∵ y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称, ∴ 例 3 解:∵ f ( x) 是幂函数, ∴
7 5
3

m ? 2 为偶数,即得 m ? 4 .

t ? t ? 1 ? 1 ,解得 t ? ?1,1或0 .

当 t ? 0 时, f ( x) ? x 是奇函数,不合题意; 当 t ? ?1 时; f ( x) ? x 5 是偶函数,在 (0, ??) 上为增函数; 当 t ? 1 时; f ( x) ? x 5 是偶函数,在 (0, ??) 上为增函数. 所以, f ( x) ? x 5 或 f ( x) ? x 5 .
2 8 8 2

反馈 1。

2 4

2。.>,≤, <,
a

3。(-∞, 0);4. (-∞, 1);5. (0,+∞);

6. (1)设 f (x)=x , 将 x=3, y= 4 27 代入,得 a= 设 g(x)=x , 将 x=-8, y=-2 代入,得 b=
b

3 , f ( x) ? x 4 ; 4
1

3

1 , g ( x) ? x 3 ; 3

(2)f (x)既不是奇函数,也不是偶函数;g(x)是奇函数;(3) (0,1) 巩固练习: 1. 0.32 ? 0.32 ? 0.34 , 0.8
0.6 0.5 0.5

?

2 5

? 0.6

?

2 5

?x ? 1 ? 0 2. [1, 4) 提示: ? ?1? x ? 4 。 ?4 ? x ? 0

6

3 . 5

提 示 : ∵ y ? xa

2

?4 a ?9

是 偶 函 数 , 且 在 (0,??) 是 减 函 数 ,

,当 a 2 ? 4a ? 9 ? 2k (k为 负 整 数 )k ? ?2 时,解得 a ? 5 。
2 3 2

4. (??,0) ? (1,?? ) 提示:函数 y= x 3 与 y= x 5 的定义域都是 R,y= x 3 的图象分布在第一、 第二象限,y=
3 5 x

的图象分布在第一、第三象限,所以当 x ? (??,0) 时,
2 x3 3 x5

2 x3



3 5 x

,当 x=0

时,显然不适合不等式;当 x ? (0,?? ) 时,

>0,

>0,由

2 x3 3 5 x

1

? x 15 ? 1 知 x>1。即 x

2

3

>1 时, x 3 > x 5 。综上讨论,x 的取值范围是 (??,0) ? (1,?? ) 。
5.a>1

函数 y ? x 的图象在 0<x<1 时位于直线 y=x 的下方,说明函数的图象下凸,所以
a

a ?1.

6 . f ( x) ? x ?3

因为函数 g(x)的图象经过 (3 3, 3 ) ,所以函数 f(x) 的图象就经过点 3

(

3 ,3 3 ) 3
增 提示: f ( x) ?

7. (-3, 1) (-∞, -3); (-3, +∞)
8.解析:

x ? 2 x ? 3 ?1 1 = . ?1 ? x?3 x?3 x?3

(1) ?1.5 与1.6 可看作幂函数y=X 在1.5与1.6处的函数值,
3 3 3 5 5 且 ? 0, 1.5 ? 1.6 ?由幂函数单调性知: 1.5 ? 1.6 5

3 5

3 5

3 5

(2) ? 0.61.3 与0.71.3 可看作幂函数y=X1.3在0.6与0.7处的函数值, 且1.3 ? 0,0.6 ? 0.7 ?由幂函数单调性知: 0.61.3 <0.71.3
(3) ? 3.5 3 与5.3 3 可看作幂函数y=X 3 在3.5与5.3处的函数值,
2 2 ? ? 2 且- ? 0,3.5<5.3 ?由幂函数单调性知: 3.5 3 >5.3 3 3 ? 2 ? 2 ? 2

(4) ? 0.18?0.3 与0.15?0.3可看作幂函数y=X ?0.3在0.18与0.15处的函数值, 且-0.3 ? 0,0.18>0.15 ?由幂函数单调性知: 0.18?0.3 <0.15?0.3
9.解析:∵ (a ? 2)
? 1 3 1 3
1 3

? (3 ? 2a)

?

,据 y= x

?

的性质及定义域 x x ? R, x ? 0 ,有三种情况:

?

?

?a ? 2 ? 0 ? ?3 ? 2a ? 0 ?a ? 2 ? 3 ? 2 a ?

?a ? 2 ? 0 或? ?3 ? 2a ? 0

?a ? 2 ? 0 ? 或 ?3 ? 2a ? 0 , ?a ? 2 ? 3 ? 2 a ?

6

解得 a ? (??,?2) ? ( , ) 。
10.这是复合函数问题,利用换元法令 t=15-2x-x ,则 y= (1)由 15-2x-x ≥0 得函数的定义域为[-5,3] , ∴t=16-(x-1) ? [0,16] .∴函数的值域为[0,2] .
2 2 2

1 3 3 2

4

t



(2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数. (3)∵函数的定义域为[-5,3] ,对称轴为 x=1, ∴x ? [-5,1]时,t 随 x 的增大而增大;x ? (1,3)时,t 随 x 的增大而减小. 又∵函数 y=
4
4

t 在 t ? [0,16]时,y 随 t 的增大而增大,
2

∴函数 y= 15-2 x-x 的单调增区间为[-5,1] ,单调减区间为(1,3) .

6


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