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参数方程、极坐标含教案

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参数方程、极坐标 一、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点 Po(x0,y0),倾斜角为α 的直线 l(如图)的参数方程是 ? x ? x0 ? t cos a ? ? y ? y 0 ? t sin a (t 为参数) (2)一般式 过定点 P0(x0,y0)斜率 k=tgα = b 的直线的参数方程是 a ? x ? x 0 ? at (t 为参数) ?

? y ? y 0 ? bt 2.圆锥曲线的参数方程 ② (1)圆 圆心在(a,b),半径为 r 的圆的参数方程是 ? ? x ? a ? r cos? (φ 是参数) ? y ? b ? r sin ? φ 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角,φ ∈[0,2π ](见图) ? x ? a cos? x2 y2 ? (2)椭圆 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的参数方程是 ? y ? b sin ? a b y2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的参数方程是 a2 b2 (φ 为参数) 椭圆 ? x ? b cos? (φ 为参数) ? ? y ? a sin ? 3.极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点 O,从 O 引一条射线 Ox,选定一个单位长度以及计 算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O 点叫 做极点,射线 Ox 叫 做极轴. ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可. 点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点,用ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示射线 Ox 到 OM 的角度 ,那 么ρ 叫做 M 点的极径,θ 叫做 M 点的极角,有序数对(ρ ,θ )叫做 M 点的极坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与 x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 ? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ? ' ?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tg? ? ( x ? 0) x ? 二、知识点 (一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化 例 椭圆 ? ?x ? 3 ? cos? (?是参数)的两个焦点坐标是 ? y ? ?1 ? 5 sin ? B.(3,3),(3,-5) ( ) D.(7,-1),(-1,-1) A.(-3,5),(-3,-3) C.(1,1),(-7,1) 例 在方程 ? ? x ? sin ? (θ 为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( y ? cos 2 ? ? B.( ) A.(2,-7) 1 2 , ) 3 3 C.( 1 1 , ) 2 2 D.(1,0) (二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化 例 曲线的极坐标方程ρ =4sinθ 化 成直角坐标方程为( ) 2 2 2 2 2 2 A.x +(y+2) =4 B.x +(y-2) =4 C.(x-2) +y =4 例 极坐标ρ =cos( A.双曲线 三、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρ cosθ = D.(x+2) +y =4 2 2 ? 4 ? ? )表示的曲线是( B.椭圆 ) C.抛物线 D.圆 4 表示( 3 ) B.一条垂直于 x 轴的直线 C.一个圆 ) D.相交但直线不过圆心 D.抛物线 ) C D.(1, D.一条抛物线 A.一条平行于 x 轴的直

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