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2013年全国高中数学联赛湖北省预赛试题(高二年级)

时间:2013-10-23


2010 年全国高中数学联赛湖北省预赛试题(高二年级)
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 )
1.数列 {a n } 满足: a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 a n ? 2 ?| a n ?1 | ?a n (n ? N ) .记 {a n } 前 n 项的和
*

为 S n ,则 S100 ?



2.在△ ABC 中,已知 ?B 的平分线交 AC 于 K.若 BC=2,CK=1, BK ? 的面积为 .
n

3 2 ,则△ ABC 2

3.设 n ? 100 ,则使得 ( a ? b) 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n 为 . 4.在小于 20 的正整数中,每次不重复地取出 3 个数,使它们的和能被 3 整除,不同的取 法种数为 . 5.若 x, y, z 均为正实数,且 x ? y ? z ? 1 ,则 S ?
2 2 2

( z ? 1) 2 的最小值为 2 xyz



6.设椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 4


?F1MF2 ? 2? ,△ MF1F2 的内心为 I,则 | MI | cos? ?

7.对于一切 x ? [?2, ] ,不等式 ax ? x ? x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 .
3 2

1 2

8.将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上,且任意三个相邻的数之和不小于 58.所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 .

二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
9.已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, a 2 ? (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ? N ,有
*

(n ? 1)a n 1 ,且 a n ?1 ? n ? an 4

(n ? 2,3,4,?) .

?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

10.设 P ? x ? 6 x ? 11x ? 3x ? 31 ,求使 P 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

11.已知直线 y ? x 与椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾斜 16 11

角为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程.


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