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第十届高数竞赛理工类(一)试题


南昌大学第十届高等数学竞赛理工类(一)试题
序号: 班级:
题号 题分 得分 一
15

姓名: 第
二 15 三 7 四 8 五 9

学号: 考场
六 8 七 10 八 9

学院(学科部) : 考试日期: 2013 年 10 月 13 日
九 9 十 10

总分 100 累分人 签名

注: 本卷共六页, 十道大题, 考试时间为 8:30——11:30.
得分 评阅人

一、填空题(每题 3 分,共 15 分)

1、 曲面 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 21 在点 ?1, ?2, 2 ? 处的法线方程为

.

?1 ? x ??1 ? x ???1 ? x ? = 2、设 n 为正整数,则 lim
3 n x ?1

(1 ? x) n?1

.

b 3、 设向量 a ? ?1, 2,3? , ? ?1,1,0? , 若非负实数 k 使得向量 a ? kb 与 a ? kb 垂直, k ? 则
4、过直线 为
?

?

?

?

?

?

?

.

x ?1 y ? 2 z ? 2 ? ? 且 垂 直 于 平 面 3x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 的 平 面 方 程 2 ?3 2
.

5、幂级数

? ? ?1?
n?2

n

1 2 n?3 x 的收敛域为 2n n

.

第 1 页 共 6页

二、单项选择题(每题 3 分,共 15 分)
得分 评阅人

1、设 f ? x ? ? 2 x ? 3x ? 2 ,则当 x ? 0 时( (A) f ? x ? 与 x 是等价无穷小. (B) f ? x ? 与 x 是同阶但非等价无穷小. (C) f ? x ? 是比 x 低阶的无穷小. (D) f ? x ? 是比 x 高阶的无穷小. 2、 x ? 0 是 f ? x ? ?



2 x ?1 2 ?1
1 x

1

的(

).

(A)可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 无穷间断点. (D)振荡间断点.

? g ( x) , x?0 ? 3、设 f ? x ? ? ? x 其中 g ? x ? 在 x ? 0 的某个邻域内二阶导数存在,且 g ? 0 ? ? 0 , ? 0, x ? 0 ?
g ? ? 0 ? ? 0 ,则(
) (B) f ? x ? 在 x ? 0 处连续但不可导.

(A) f ? x ? 在 x ? 0 处不连续.

(C) f ? x ? 在 x ? 0 处可导,但导函数在 x ? 0 处不一定连续. (D) f ? x ? 在 x ? 0 处导函数连续. 4、设线性无关的函数 y1 ? x ? , y2 ? x ? , y3 ? x ? 均是二阶非齐次线性方程

y?? ? p ? x ? y? ? q ? x ? y ? f ? x ?
的解, c1 , c2 是任意常数,则该非齐次方程的通解是( (A) c1 y1 ? c2 y2 ? y3 . (C) c1 y1 ? c2 y2 ? ?1 ? c1 ? c2 ? y3 . 5、设 a 为常数,则级数 (A) 发散. )

(B) c1 y1 ? c2 y2 ? ? c1 ? c2 ? y3 . (D) c1 y1 ? c2 y2 + ?1 ? c1 ? c2 ? y3 .

?? ?

? sin na 1 ? ? ? ( ). n2 n? n ?1
?

(B) 绝对收敛.

(C) 条件收敛.
第 2 页 共 6页

(D) 敛散性与 a 的取值有关.

得分

评阅人

三、 (本题满分 7 分)

2 求极限 lim x ? ln arctan( x ? 1) ? ln arctan x ? . x ???

得分

评阅人

四、 (本题满分 8 分)

计算

ln ?1 ? x ? ?0 1 ? x 2 dx .
1

第 3 页 共 6页

得分

评阅人

五、 (本题满分 9 分)

设 y ? y ? x ? 由方程 e y ?

?

y

0

et dt ? e x ? x ? 0 ,且 y ? 0 ? ? 0 ,求 y ? y ? x ? 的最小值.
2

得分

评阅人

六、 (本题满分 8 分)

已 知 f n ? x ? 满 足 f n? ? x ? ? f n ? x ? ? x n ?1e x ( n 为 正 整 数 ) 且 f n ?1? ? ,

e ,求函数项级数 n

? f ? x ? 的和函数.
n ?1 n

?

第 4 页 共 6页

得分

评阅人

七、 (本题满分 10 分)

? n2 ? n ? 3 ? x n?1 讨论级数 ? ? 2 ? x ? 0 ? 的敛散性. ? n n ? 2 ? n ? 3n ? 4 ? 1 ? x
?

n

得分

评阅人

八、 (本题满分 9 分)

计算

?

??

0

e?2 x sin x dx .

第 5 页 共 6页

得分

评阅人

九、 (本题满分 9 分)

计算曲面积分 I ? ?? zdS ,其中 ? 为锥面 z ?
?

x 2 ? y 2 在柱体 x 2 ? y 2 ? 2 x 内的部分.

得分

评阅人

十、 (本题满分 10 分)

计算曲面积分

I ? ?? ?
?

ez x2 ? y 2

dxdy ,

其中 ? 为曲面 z ?

x 2 ? y 2 与平面 z ? 1, z ? 2 所围立体的边界曲面,取外侧.

第 6 页 共 6页


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