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2015年3月2015届高三第二次全国大联考(新课标I卷)理数卷(正式考试版)


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联考】2005 年第二次全国大联考统考 【新课标 I 卷】理科数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
x 2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? y y ? 2 , x ? 4 , B ? {x | x ? 2x ?15 ? 0} , ,那么 A

6.若函数 f ( x ) 满足对任意 x ? R , 都有 f ? x ?

? ?

3? ? ? ? f ? x ? ,如图 2?

表示该函数在区间 (?2,1] 上的图像,则 f (2014) + f (2015) = ( A.3 ) B .2 C.1 D.0

7. 阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于 64 , 则输入的整数

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?

?

?CU B ?

i 的最大值为(
A. 5

) B. 6 C. 7 D. 8



) B. ?5,16? C. ?3,16 ? D. ? ?5,3?

A. ? ?5,16?

8. 已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ ,点 R 在直线 PQ 上,且 满足 OR ?

i 2015 2. 若复数 z ? ,则复数 z 在复平面上对应的点位于( 1? i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

1 R 在抛物线准线上的射影为 S , 设? , ? 是 (OP ? OQ) , 2
( ) D.不确定
10

) D.第四象限

P Q S中的两个锐角, tan ? tan ? ?
A. 0
8

B.

1 2

C. 1

3. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 2a cos B ? b cos C ? c cos B ,则角 B 的大小为( A. ) B.

9. 数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 3 , an?2 是 an an?1 的个位数字, S n 是 ?an ? 的前 n 项和,则
4

6

?
6

?
4

? C. 3

? D. 2

S2015 ? (
20 15 10 5

2

) B. 8710
5

A. 8733
2

C. 8726
10

15

D. 8717
20

25

4. 某几何体的三视图如图所示,图中方格的长度为 1 ,则此几何体的体 积 为( A. 3 ) B. 4
2

4 10. 设函数 f ( x) ? log3 ?
4 6

? x?2? (1,2) 内有交点, 则实数 a 的取值范围是 ( ? ,g ? x ? ? ax 在 ? x ? ?1 ? log 3 2,1? ?2 ?
C. (? ?,1?)



主视图

侧视图

C. 5

D. 6

1 A. ( ,?log 3 2) 2
8 10 12

6

B. ?
8

1 2

D. (log3 ????)

5.如图,设抛物线 y ? ?ax ? 1? a ? 0? 的 顶点为 A ,与 x 轴 正半轴的交点为 B ,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域 为 M ,随机往 M 内投一点 P , 则点 P 落在 ?AOB 内的概率 是 A. ( ) B.

y

俯视图

11.如图,用一边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三
10

A

角形,做成一个蛋巢,将体积为 ? 的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋
12

14

4 3

巢形状保持不变, 则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为(
14

) D.

5 6

4 5

C.

3 4

D.

2 3

O

B

x


A.

6 3 ? 2 2
第2页 共6页

B.
16

3 2

C.

3 2

3 3 ? 2 2

第1页 共6页

18

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12.若对于任意实数 x 不等式 e ? ax ? b ? 0 恒成立,则 ab 的最大值为(
x



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. )
14

f?x? = 4?sin?x? A. e

B. e2 D.

C. e

e 2

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? 若 f ? 0? ? 3 ,且 AB ? BC ?
[来源:Z, xx, k. Co m]

?
2

) 的部分图像如图所示,

12

?2
8

第Ⅱ卷(共 90 分)

?8.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸 上)
13. 设 a ? 0, n 是大于 1 的自然数, ?1 ? ax ? 的展开式为 a0 ? a1x ? a2 x2 ?
n

A

P C

10 R (Ⅰ )求函 数 f ( x) 的单调递增区间;

4

? an xn .若点

(Ⅱ )若将 f ( x) 的图象向左平移
8

Ai ?i, ai ? ? i ? 1, 2? 的位置如图所示,则 n ?
?x ? y ? 2 ? 0 ? 14. 已知不等式组 ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域,则 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
x ? 2y ?3 z? 的最大值为 x ?1
.

.

y 5 4 3 2 1 -1 O 1 2 3 4 5 x -1

? 个单位,得到函数 8 6 ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最 2
10

6

O C

x

-2

小值.

6
12

18. (本小题满分 12 分)某校为了提高学生身体素质,决定组建学校足球队,学校为了解报名学 生的身体素质,对他们的体重进行了测量,将所得的数据
16

4

14

x2 y 2 15.若双曲线 2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 ? 2,1? 作圆 a b
10 b ? 点,则双曲线方程 x ? y ? 4 的切线,切点分别为 A, B ,直线 AB 恰好经过 ? a,0? , ? 0,

2

整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右
18

3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,其中第 2 小组的频数为
20

2

2

20

15

5

12 .
22

5

10

15

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

y 2 A

B

20



.

(Ⅰ )求该校报名学生的总人数;
2

16.以下四个命题中: ① 随机变量 ? 的取值为 0,1,2,若 P ?? ? 0 ? ?

(Ⅱ )若从报名的学生中任选 3 人,设 X 表示体重超过 60kg

24

1 3 , E ?? ? ? 1,则 D ?? ? ? ; 5 5

的学生人数4 ,求 X 的数学期望与方差.
26 28

② “ ln a ? ln b ”是 “ a ? b ”的充分不必要条件; ③ 函数 f ( x) ? 3 | log 1 x | ?1的零点个数为 3 ;
x 2

19. (本小题满分 12 分)如图所示的几何体中, ?ABC 内接于圆 O ,且 AB 是圆 O 的直径,四 6 边形 DCBE 为矩形,且 DC ? AB .
8 ? BC ; (Ⅰ )证明: AD

④ 已知 f (n) ? 1 ?

3 5 1 ? ( n? N? ) , 计算得 f (2) ? ,f (4) ? 2 ,f (8) ? ,f (16) ? 3 , 2 2 n 7 n ? 2 f (32) ? ,由此推算:当 n ? 2 时,有 f (2n ) ? ( n? N? ) ; 2 2

1 1 ? ? 2 3

(Ⅱ )若 AB ? 4, BC ? 2 且二面角 A ? BD ? C 所成角 ? 的余

其中真命题的个数为

.

弦值是

5 ,试求该几何体 ABCDE 的体积. 5
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… …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是圆 于点 D ,记满足 OM ? 1 (OP ? OD) 的动点 M 的轨迹为 C . 2 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

x 2 ? y 2 ? 4 上一动点, PD ? x 轴

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ?

1 , x?R . 2

(Ⅱ) A 是曲线 C 与 y 轴正半轴的交点, 曲线 C 上是否存在两点 M , N ,使得 AMN 是以 A 为 直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.

(I)求不等式 f ? ? x ? ? f ? x ?1? ? 5 的解集; (II)设 g ( x) ? f
2

? x? ?

55 ,且 | x ? a |? 1 求证: | g ( x) ? g (a ) |? 2(| a | ?1) . 4

x 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 (a∈ R) ,g?
(Ⅰ ) 求函数 f ( x) 的单调区间;

??x

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

1 2

2



(Ⅱ )已知当 x ? ?1, n ? 1 时, (1 ? x) n ? 1 ? nx ,求证:当 n ? N ? , x2 ? n 时,不等式

x n ? n(1 ? ) n e x ? x 2 成立. n

22

20

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做的第一个题目计分.
18

16 22. (本题满分 10 分) 选修 4 ? 1 :几何证明选讲

P B E D C O A

如图所示, ?? 是圆 ? 的切线, ? 为切点, ??? 是圆 ? 的 割线, ???? 的平分线与 ?? , ?? 分别交于点 C,D ,且
14

???? ? 30 .
?D ?? ?D ? ? (Ⅰ )求证: ; ?D ?? ?C
(Ⅱ )求 ?? DB 的大小.

12

10

8

6

23. (本题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1 的极坐
4

标方程为 ? ? sin ? ? cos? ? ? 1 ,曲线 C2 的参数方程为 ?
2

? x ? 2cos ? . ? y ? sin ?
5 10 15 20

15

(Ⅰ )求曲线 C1 的直角坐标方程与曲线 C2 的普通方程;

10

5

(Ⅱ )试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存在,说明理 由.
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