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人教A版数学选修1-1 第2章《圆锥曲线与方程》单元测试(1)(含答案)

时间:2017-09-17


圆锥曲线与方程 单元测试
A 组题(共 100 分)
一.选择题(每题 7 分) 1. 已知椭圆 (

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16

) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2. 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,一个焦

点的坐标是(3,0) ,则椭 圆的标准方程为( ) A.

x2 y2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

x2 y2 ? ? 1 D. 16 25

x2 y2 ? ?1 16 9


3. 动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线

4. 中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 6,离心率等于

3 ,则椭圆的方程是( 5



x2 y2 ? ?1 A. 100 36

x2 y2 ? ?1 B. 100 64

x2 y2 ? ?1 C. 25 16


x2 y2 ? ?1 D. 25 9

5. 抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是(
A.

5 2
2

B.

5

C.

15 2

D.

10

二.填空(每题 6 分) 6. 抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____. 7.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________.

8. 若曲线

x2 y2 ? ? 1表示椭圆,则 k 的取值范围是 k 1? k
2 2

.

9.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为 三.解答题(13+14+14)

3 ,则它的半长轴长为_______________. 2

10. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?
2 2

没有公共点? 11. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y ? 2 x ? 1 交于 P、Q 两点,|PQ|= 15 , 求抛物线的方程.

12.椭圆的焦点为 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,点 P (3, 4) 是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.

B 组题(共 100 分)
一.选择题(每题 7 分) 1. 以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16
B.



A.

x2 y2 ? ?1 16 48 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27

x2 y2 ? ?1 9 27

C.

D. 以上都不对

2.

过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 P、 Q , F1 是另一焦点,若

∠ PF1Q ? A.

?
2

,则双曲线的离心率 e 等于( B.

) C.

2 ?1

2

2 ?1

D.

2?2

3.

F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 0 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF 1 F2 ? 45 ,则 9 7


Δ AF 1 F2 的面积为(

A.

7

B.

7 4

C.

7 2
2 2

D.

7 5 2

4. 以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方 程是( A. C. )

y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2 y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2
2

B. D.

y ? 3x 2 y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x


5. 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则 AB 的最小值为( A.

p 2

B.

p

C.

2p

D. 无法确定

二.填空: (每题 6 分)
2 2 6.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点坐标是 (0,2) ,那么 k ?

________.

7.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率 为 . 8.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是_______.

9. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ PF1 F2 的面 49 24

积为________________________. 三.解答题(13+14+14)

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上,求 x2 ? 2 y 的最大值. 10.已知点 P( x, y) 在曲线 4 b

11. 双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求双曲线的方程. 27 36

12. k 代表实数,讨论方程 kx2 ? 2 y 2 ? 8 ? 0 所表示的曲线.

C 组题(共 50 分)
1.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P y1 ), P2 (x2 , y2 ) , P ,y3 ) 在抛物 1 (x1, 3 ( x3 线上,且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 )
2 2

B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2

? FP3

2

? FP · FP3 1

2. 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部 分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是________________. 3. 已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M , 16 12

使 AM ? 2 MF 取得最小值时 M 点的坐标.

4 . 设动点 P 到点 A(? 1 , 0) 和 B(1, 0) 的距离分别为 d1 和 d2 , ?APB ? 2? ,且存在常数

? (0 ? ? ? 1) ,使得 d1d2 sin2 ? ? ? .
(1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M ,N 两点,试 确定 ? 的范围,使 OM ? ON ? 0 ,其中点 O 为坐标原点.

y
d1 2? d2 A

P

o

B

x

圆锥曲线与方程
A 组题(共 100 分)
一.选择题: 1.D 2.B 二.填空: 6. x ? ? 3.D 4.C 5.B

3 2

7.

x2 y 2 ? ? ?1 20 5

8. k ? 0

9. 1, 或2

三.解答题:

10. 解:由 ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?2 x ? 3 y ? 6

,得 2 x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 6 ? 0

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48
当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 ?
2

6 6 时,直线和曲线没有公共点. ?k? 3 3

? y 2 ? 2 px , 消去 y 得 11. 解:设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则 ? ? y ? 2x ?1
2

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (


p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x
12. 解:? 焦点为 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1; a 2 a 2 ? 25

16 9 y 2 x2 2 ? 1, a ? 40 ,所以椭圆方程为 ? ? 1. 点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 a a ? 25 40 15

B 组题(共 100 分)

一.选择题: 1.B 2.C 二.填空: 6. 1 7.3 三.解答题: 10.

3.C

4.D 8. (4, 2)

5.C 9.24

解:法一:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x2 ? 2 y ? 4cos2 ? ? 2b sin ? ? ?4sin 2 ? ? 2b sin ? ? 4 令 T ? x2 ? 2 y,sin ? ? t ,(?1 ? t ? 1) , T ? ?4t 2 ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ? 当

b 4

b b ? 1,即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1, 即0 ? b ? 4 时, 4 4

Tmax

b2 ?T | b? ?4 t? 4 4

? b2 ?b? 4 ? ?4, 0 ? ( x 2 ? 2y m ) a x? ? 4 ?2b ,b ? 4 ?

法 二 : 由

x2 y 2 y2 4 y2 ? 2 ? 1 得 x 2 ? 4(1 ? 2 ) 令 T ? x2 ? 2 y 代 入 得 T ? 4 ? 2 ? 2 y 即 b b 4 b
b2 x ? 4 y b2 4 ? ? ( 2 ) 4

4 b2 2 b2 b2 T ? ? 2 (y ? ) ? 4? ? b即0 ? b ? 时 4 ( 1 ) 当 b 4 4 4 b2 当 ? b时即b ? 4时 x ? b 4 ymax ? 2b ? ( x 2 ? 2 y) max

m a x

? b2 ? ? 4, 0 ? b ? 4 ?? 4 ?2b, b ? 4 ?
y2 x2 ? ? 1, a2 9 ? a2

11.解:由题意知双曲线焦点为F 1 (0, ?3) F 2 (0,3) ,可设双曲线方程为 点 ( 15, 4) 在曲线上,代入得 a2 ? 4或a2 ? 36(舍)

? 双曲线的方程为

y 2 x2 ? ?1 4 5
y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k

12.解:当 k ? 0 时,曲线

2 当 k ? 0 时,曲线 2 y ? 8 ? 0 为两条平行于 x 轴的直线 y ? 2或y ? ?2 ;

当 0 ? k ? 2 时,曲线

x2 y 2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k

当 k ? 2 时,曲线 x2 ? y 2 ? 4 为一个圆; 当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆. 8 4 k

C 组题(共 50 分)
1.C 2. 4 3

3.显然椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的 a ? 4, c ? 2, e ? ,记点 M 到右准线的距离为 MN 2 16 12



1 ? e ? , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值,

x2 y 2 ? ? 1 得 M x ? ?2 3 此时 M y ? Ay ? 3 ,代入到 16 12
而点 M 在第一象限,? M (2 3, 3)
2 4.解: (1)在 △PAB 中, AB ? 2 ,即 22 ? d12 ? d2 ? 2d1d2 cos 2? ,

, 4 ? (d1 ? d2 )2 ? 4d1d2 sin 2 ? ,即 d1 ? d 2 ? 4 ? 4d1d 2 sin 2 ? ? 2 1 ? ? ? 2 (常数) 点 P 的轨迹 C 是以 A,B 为焦点,实轴长 2a ? 2 1 ? ? 的双曲线.

x2 y2 ? ? 1. 方程为: 1? ? ?
(2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 )

, , N (1, ? 1) 在双曲线上. ①当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为 x ? 1 , M (11)


1 1 ?1 ? 5 5 ?1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? ,因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ? . 1? ? ? 2 2

②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 2 2 由 ?1 ? ? ? 得: ? ?? ? (1 ? ? )k ? ? x ? 2(1 ? ? )k x ? (1 ? ? )(k ? ? ) ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?

2 由题意知: ? ?? ? (1 ? ? )k ? ? ?0,

所以 x1 ? x2 ?

?2k 2 (1 ? ? ) ?(1 ? ? )(k 2 ? ? ) , . x x ? 1 2 ? ? (1 ? ? )k 2 ? ? (1 ? ? )k 2 k 2? 2 . ? ? (1 ? ? )k 2

于是: y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ?

因为 OM ? ON ? 0 ,且 M ,N 在双曲线右支上,所以

(1 ? ? ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?k 2 ? ? ? ? ? (1 ? ? ) 2 ? ? 5 ?1 2 ? ? ? ? ? ?1 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ?1 1? ? ? ??? . ? x1 ? x2 ? 0 2 3 ?x x ? 0 ?k 2 ? ? ?? 2 ? ? ? 1 ? 0 ? ? 1 2 ? 1? ? ?
由①②知,

5 ?1 2 ≤? ? . 2 3


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