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第一章1.2.1(二)排列与组合经典


1.2.1(二)

1.2.1
【学习要求】

排列(二)

1.进一步加深对排列概念的理解.
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2.掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决简单的 实际问题. 【学法指导】 排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队” 问题,绝大多数排列

问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法,必要时 可画出树形图帮助思考.

试一试·双基题目、基础更牢固

1.2.1(二)

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1.4×5×6×?×(n-1)×n 等于 A.A4 n
解析

( D ) D.An-3 n

B.An-4 n

C.n!-4!

原式可写成 n×(n-1)×?×6×5×4,故选 D.

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1.2.1(二)

2.6 名学生排成两排,每排 3 人,则不同的排法种数为 A.36
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B.120
6 排法种数为 A6=720.

C.720

( C ) D.240

解析

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1.2.1(二)

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3.从集合 M={1,2,?,9}中,任取两个元素作为 a,b,①可以得 x2 y2 到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 2+ 2=1?②可以得到多少 a b x2 y2 个焦点在 x 轴上的双曲线方程 2- 2=1?其中属于排列问题的 a b

72 ② 是________,其结果为________.

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1.2.1(二)

4.有 5 名男生和 3 名女生,从中选出 5 人分别担任语文、数学、 英语、物理、化学学科的科代表,若某女生必须担任语文科代
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表,则不同的选法共有________种(用数字作答). 840

解析

由题意知,从剩余 7 人中选出 4 人担任 4 个学科科代表,

4 共有 A7=840(种).

研一研·题型解法、解题更高效

1.2.1(二)

题型一 例1
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无限制条件的排列问题

(1)有 5 本不同的书, 从中选 3 本送给 3 名同学, 每人各 1 本,

共有多少种不同的送法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有 多少种不同的送法?



(1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学,对应于从

5 个不同元素中任取 3 个元素的一个排列,因此不同送法的种数
3 是:A5=5×4×3=60,所以,共有 60 种不同的送法.

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1.2.1(二)

(2)由于有 5 种不同的书, 送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选 购方法,因此送给 3 名同学,每人各 1 本书的不同方法种数是:
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5×5×5=125,所以,共有 125 种不同的送法.
小结 本题两小题的区别在于:第(1)小题是从 5 本不同的书中选 出 3 本分别送给 3 名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问 题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 本,各人得到哪本书相互之间没有联系,要用分步乘法计数原理 进行计算.

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跟踪训练 1

1.2.1(二)

(1)某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗

杆上表示信号,每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序 表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号? (2)将 4 位司机、4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一
本 课 解 (1)分 3 类:第一类用 1 面旗表示的信号有 A1种; 3 时 2 第二类用 2 面旗表示的信号有 A3种; 栏 目 第三类用 3 面旗表示的信号有 A3种, 3 开 关 由分类加法计数原理,所求的信号种数是:
1 3 A3+A2+A3=3+3×2+3×2×1=15, 3 即一共可以表示 15 种不同的信号. (2)由分步乘法计数原理,分配方案种数共有
4 N=A4· 4=576. 4A 即共有 576 种不同的分配方案.

辆汽车分别有一位司机和一位售票员, 共有多少种不同的分配方案?

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题型二 元素“在”与“不在”问题

1.2.1(二)

例 2 用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三 位数? 解 方法一 (特殊位置)
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由于在没有重复数字的三位数中,百位上的数字不能是 0,因此可 以分两步完成排列. 第 1 步,排百位上的数字,可以从 1 到 9 这九个数字中任选 1 个,
1 有 A9种选法;

第 2 步,排十位和个位上的数字,可以从余下的 9 个数字中任选 2
2 个,有 A9种选法.

1 根据分步乘法计数原理,所求的三位数的个数为 A9· 2=9×9×8 A9

=648.

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方法二 (特殊元素)

1.2.1(二)

符合条件的三位数可以分成三类:
3 每一位数字都不是 0 的三位数有 A9个,

2 个位数字是 0 的三位数有 A9个,

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2 十位数字是 0 的三位数有 A9个,

2 由分类加法计数原理, 符合条件的三位数的个数是: 9+A2+A9=648. A3 9

方法三

(间接法)

3 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10,其中以 0 为排 2 头的排列数为 A9,因此符合条件的三位数的个数是 A3 -A2=648. 10 9

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1.2.1(二)

小结
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解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法.

排列问题的实质是“元素”占“位子”问题, 有限制条件的排列问 题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不 排某些元素,解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即 优先排特殊元素或优先满足特殊位子.

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跟踪训练 2 解
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1.2.1(二)

五个学生和一个老师站成一排照相,问老师不排在两 (先满足特殊位置)

端的排法有多少种? 方法一 由于排头和排尾两个位置有限制要求,因此先从五个学生中选出两
2 个坐在排头和排尾,有 A5种方法,余下的四人可任意站,有 A4种 4

方法,
2 所以符合要求的排法为 A5· 4=480(种). A4

方法二

(先满足特殊元素)

老师既然不能排在两端,于是可以从中间四个位置中任选一个,有
1 A4种方法. 五个学生在余下的五个位置中任意排列, A5种排法. 有 5 因 1 此符合题意的排法为 A4A5=480(种). 5

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1.2.1(二)

方法三
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(间接法)

由于六个人任意排有 A6种排法,但实际必须除去老师排在排头的 6
5 5 A5种方法和排在排尾的 A5种方法,因而有 A6-2A5=480(种). 6 5

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题型三 例3 元素“相邻”与“不相邻”问题 7 人站成一排.

1.2.1(二)

(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种? (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?
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(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种? (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?



(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5

2 人全排列,共有 A6种排法.甲、乙两人可交换位置,有 A2种 6 2 排法,故共有 A6· 2=1 440(种)排法. 6A

(2)方法一 3 600(种).

(间接法)7 人任意排列,有 A7种排法,甲、乙两人 7

6 2 相邻的排法有 A2· 6种, 故甲、 乙不相邻的排法有 A7-A2· 6= A6 2A 7

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方法二

1.2.1(二)

5 (插空法)将其余 5 人全排列,有 A5种排法,5 人之间及两

端共有 6 个位置,任选 2 个排甲、乙两人,有 A2种排法.故共有 6
5 A5· 2=3 600(种)排法. A6

(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排列,有
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5 5 A5种排法, 甲、 乙、 丙三人有 A3种排法, 共有 A5· 3=720(种)排法. A3 3
4 (4)(插空法)将其余 4 人排好,有 A4种排法.将甲、乙、丙插入 5 个 3 空中,有 A5种排法. 4 故共有 A4· 3=1 440(种)排法. A5 小结 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局

部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干 个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将 这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”, 先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列, 然后在“普通”元素 之间及两端插入不相邻元素.

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跟踪训练 3 对于本例中的 7 人: (1)甲、乙两人之间只有 1 人的排法有多少种? (2)甲、乙、丙排序一定时,有多少种排法? (3)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?
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1.2.1(二)



(1)第一步:从其余 5 人中选 1 人放于甲、乙之间,有 A1种方法. 5

第二步:将甲、乙及中间 1 人看作一个元素与其他四个人全排,有
5 A5种方法. 2 第三步:甲、乙及中间 1 人的排列为 A2. 1 5 根据分步乘法计数原理得 A5×A2×A5=1 200(种), 2

故有 1 200 种排法.

(2)方法一

7 人的所有排列方法有 A7种,其中甲、乙、丙的排序有 7

3 A3种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一定 A7 7 的排法共有 3=840(种). A3

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1.2.1(二)

方法二
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(填空法)7 人站定 7 个位置,只要把其余 4 人排好,剩下

的 3 个空位,甲、乙、丙就按他们的顺序去站,只有一种站法,故 有 A4=7×6×5×4=840(种). 7 (3)甲在乙的左边的 7 人排列数与甲在乙的右边的 7 人排列数相等, 1 7 而 7 人排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的排法有2A7= 2 520(种).

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1.2.1(二)

1.用 1,2,3,4,5 这 5 个数字,组成无重复数字的三位数,其中
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奇数共有 A.30 个 C.40 个 B.36 个 D.60 个

( B )

1 解析 分 2 步完成:个位必为奇数,有 A3种选法;从余下的 4

个数中任选 2 个排在三位数的百位、 十位上, A4种选法. 有 2 由
1 分步乘法计数原理,共有 A3×A2=36(个)无重复数字的三位 4

奇数.

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1.2.1(二)

2.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法 种数为 A.720
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( C ) B.144 C.576 D.684

解析

3 (间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为 A4×A3; 4

6 不考虑任何限制,6 人的全排列有 A6.
6 3 ∴符合题意的排法种数为:A6-A4×A3=576. 4

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1.2.1(二)

3.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又
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增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中, 那么不同的插法种数为 ( A )

A.42 B.30 C.20 D.12 2 解析 分两类:①两个新节目相邻的插法有 6A2种;
2 ②两个新节目不相邻的插法有 A6种.

故 N=6×2+6×5=42.

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1.2.1(二)

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4.将红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小球,分别放入红、黄、 蓝、白、黑 5 种颜色的小口袋中,若不允许有空袋,且红 口袋中不能装入红球,则有________种不同的放法. 96
1 解析 先装红球,且每袋一球,所以有 A4×A4=96(种). 4

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1.2.1(二)

1.对有特殊限制的排列问题,优先安排特殊元素或特殊位置.
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2.对从正面分类繁杂的排列问题,可考虑使用间接法. 3.对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题,可使用“捆绑 法”、“插空法”.


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