nbhkdz.com冰点文库

2.2.1等差数列定义及通项公式

时间:2012-02-28


第1课时 等差数列的定义及通项公式

1.通过实例,理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式. 3.掌握等差数列的简单应用.

1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做 等差数列的公差,通常用字母 d 表示.

2.

等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通 项公式是 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差 中项.

1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义,其一,第 1 项前面没有项,无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合;其二,定义中包括首项这一基本量,且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.

(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求,它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面 的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求, 否则这个数列 不能称为等差数列.

2.怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法. (2)由方程思想,根据 an,a1,n,d 中任何三个量可求 解另一个量,即知三求一. (3)通项公式可变形为 an=dn+(a1-d),可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数.

? 等差数列的通项公式 在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元 素; 有关等差数列的问题, 如果条件与结论间的联系不明显, 则均可化成有关 a1、d 的关系列方程组求解,但是,要注意 公式的变形及整体计算,以减少计算量.

例 1 在等差数列{an}中,已知 a3=7,a5=11,求 a8.

[分析]

已知等差数列中的某两项求另外项,可利用待

定系数法求出 an,由 an 求另外一项.

[解]

设数列{an}的公差为 d,由题意知
?a1=3 ? ,解得? ?d=2 ?

?a1+2d=7 ? ? ?a1+4d=11 ?

.

∴an=3+(n-1)×2=2n+1, ∴a8=2×8+1=17.

? 变式训练 1 在等差数列{an}中,已知 a5=11,an=1,d=-2,求 n.

[解]

?a +4d=11 ? 1 由? ?a1+?n-1?· d=1 ?

?a =19 ? 1 ,解得? ?n=10 ?

.

? 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种: (1)定义法:n+1-an=d(常数)(n∈N*)?{an}为等差数列; a (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}为等差数 列. 如果要证明一个数列是等差数列, 必须用定义法或等差 中项法.

例 2 已知数列{an}满足 a1=4,an=4- 1 = . an-2 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

4 an-1

(n≥2),bn

[分析]

欲证数列{bn}是等差数列,根据等差数列的定

1 1 义只要证 bn+1-bn 是常数,即证 - (n∈N*)为常 an+1-2 an-2 数,而数列{an}的通项公式可以利用(1)求得.

(1)[证明]

∵an=4-

(n≥2), an-1

4

4 2?an-2? ∴an+1-2=2- = , an an 1 an 1 1 ∴ = = + (n≥1). 2 an-2 an+1-2 2?an-2? 1 1 1 故 - = (n≥1), an+1-2 an-2 2 1 即 bn+1-bn= .∴数列{bn}是等差数列. 2

(2)[解]

1 ∵{ }是等差数列, an-2

1 1 1 n ∴ = +(n-1)·= , 2 2 an-2 a1-2 2 2 ∴an-2=n,∴an=2+n.

[评析]

根据 bn 的结构,将条件变形,然后利用定义进

1 行证明.在求{an}通项公式时,要用到{ }是等差数列, an-2 1 先求{ }的通项,再求{an}的通项公式. an-2

? 变式训练 2 2an 已知数列{an},满足 a1=2,an+1= , an+2 1 (1)数列{a }是否为等差数列?说明理由; n (2)求 an.

[解]

1 (1)数列{a }是等差数列,理由如下: n

2an ∵a1=2,an+1= , an+2 an+2 1 1 1 1 1 ∴ = = + ,∴ - = , 2an 2 an an+1 an+1 an 2 1 1 1 1 1 即{ }是首项为 = ,公差为 d= 的等差数列. an a1 2 2

1 1 n (2)由上述可知 = +(n-1)d= , an a1 2 2 ∴an= . n

? 等差中项问题 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时, 可设出首 项 a1 和公差 d 列方程组求解, 也可采用对称的设法, 三个数 时,设 a-d,a,a+d;四个数时,设 a-3d,a-d,a+d, a+3d.利用和为定值.先求出其中某个未知量.

例 3 成等差数列的四个数之和为 26,第二个数和第三 个数之积为 40,求这四个数.

[分析]

已知四个数成等差数列,有多种设法,但如果

四个数的和已知,常常设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d 更 简单,再通过联立方程组求解.

[解]

设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,则

??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26,① ? ??a-d??a+d?=40. ②

13 3 由①,得 a= .代入②,得 d=± . 2 2 ∴四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

[评析] 就本题而言, 若用两个基本量首项和公差表示, 建立方程组求解,计算量大,容易出错.通过巧妙地设解, 会使计算量明显降低,达到快速解题的目的.一般地,已知 三个数成等差数列且和已知,可设 a-d,a,a+d.四个数成 等差数列且和已知,可设 a-3d,a-d,a+d,a+3d.同样, 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为 a- d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中 间两项为 a-d, a+d, 其余各项再根据等差数列的定义进行 对称设元.

? 变式训练 3 设 x 是 a 与 b 的等差中项,2 是 a2 与-b2 的等差中项, x 则 a、b 的关系是( A.a=-b C.a=-b 或 a=3b ) B.a=3b D.a=b=0

[解析] 由等差中项的定义知: a+b 2 a2-b2 x= ,x = , 2 2 a2-b2 a+b 2 ∴ =( ) ,即 a2-2ab-3b2=0. 2 2 故 a=-b 或 a=3b.
[答案] C

? 教师备选例题 例 4 某公司经销一种数码产品,第 1 年可获利 200 万 元.从第 2 年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年 比上一年减少 20 万元,按照这一规律,如果公司不开发新 产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产 品将亏损?

[分析]

由题设知第 1 年获利 200 万元, 2 年获利 180 第

万元, 3 年获利 160 万元, 每年获利构成等差数列{an} 第 ?, 且当 an<0 时,该公司会出现亏损.

[解]

设从第 1 年起,第 n 年的利润为 an,则 a1=200,

an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),所以每年的利润 an 可构成一 个等差数列{an},且公差 d=-20, ∴an=a1+(n-1)· d=200+(n-1)(-20)=220-20n. 若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损,所以由 an= 220-20n<0,得 n>11. 即从第 12 年起,该公司经销此产品将亏损.

[评析]

在实际问题中,若涉及到一组与顺序有关的数

的问题,可考虑利用数列方法解决.若这组数依次成直线上 升或递减,则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方 法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.

1.已知等差数列{an}的通项公式 an=3-2n, 则它的公差 为( ) A.2 C.-2 B.3 D.-3

[答案]

C

2.△ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则角 B 等于( ) B.60° D.120°

A.30° C.90°

[解析] ∵A+C=2B,又 A+B+C=180° ,∴B=60° .
[答案] B

3. 数列{an}是首项为 2, 公差为 3 的等差数列, 数列{bn} 是首项为-2,公差为 4 的等差数列.若 an=bn,则 n 的值 是( ) A.4 B.5 C.6 D.7

[解析] 2+3(n-1)=-2+4(n-1),∴n=5.
[答案] B

4.首项是 18,公差为 3 的等差数列的第________项开 始大于 100.
[解析] 由题意 an=18+3(n-1)=3n+15, 1 由 3n+15>100 得 n>28 . 3 ∵n∈N*,

∴n=29,即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29

1 1 1 5.若 , , 成等差数列,求证:a2,b2,c2 b+c c+a a+b 成等差数列.

[证明]

1 1 2 由已知得 + = . b+c a+b a+c

2b+a+c 2 ∴ = , ?b+c??a+b? a+c ∴(2b+a+c)(a+c)=2(b+c)(a+b), ∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2 成等差数列.

一、选择题 1.已知数列 3,9,15,?,3(2n-1),?那么 81 是它的 第几项( A.12 ) B.13 C.14 D.15

[解析] an=3(2n-1)=6n-3.由 6n-3=81 得 n=14.
[答案] C

2.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则 a1 等于 ( ) A.-9 B.-8

C.-7 D.-4 [解析] 由 a6=a4+6,得 a6-a4=6=2d,∴d=3.

又 a2=a1+d=-5,∴a1=-8.
[答案] B

3.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为 ( ) A.49 C.51 B.50 D.52

[解析]

1 由 2an+1=2an+1,得 an+1-an= , 2

1 ∴{an}是首项 a1=2,公差 d= 的等差数列. 2 n+3 1 ∴an=2+ (n-1)= , 2 2 101+3 ∴a101= =52. 2 [答案] D

4.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数,则它的公差是( A.-2 C.-4 B.-3 D.-5 )

[解析]

设该数列的公差为 d,则由题设条件知:a6=a1

+5d>0,a7=a1+6d<0. 23 ? ?d>- 5 又∵a1=23,∴? ?d<-23 6 ? 23 23 ,即- <d<- . 5 6

又∵d 是整数,∴d=-4.故选 C.

[答案]

C

二、填空题 5.若 x≠y,数列 x,a1,a2,y 和 x,b1,b2,b3,y 各 a1-a2 自成等差数列,则 =________. b1-b2 x-y x-y a1-a2 4 [解析] 由于 a1-a2= , 1-b2= b , 则 = . 3 4 b1-b2 3

4 [答案] 3

6.已知直线上的一列点 P1(1,a1)、P2(2,a2)、?Pn(n, an)、?,且 a1=-2,a2=-1.2,则数列{an}的通项公式 an =________.
[解析] 由题意,知数列{an}成等差数列,由 a1=-2, a2=-1.2 得公差 d=0.8,则 an=a1+(n-1)d=0.8n-2.8.
[答案] 0.8n-2.8

7.等差数列的首项为 2,从第 10 项起开始比 10 大,则 公差的取值范围是________.
?2+8d≤10 ? ? ?2+9d>10 ?

[解析]

8 ,解得 <d≤1. 9

8 [答案] ( ,1] 9

三、解答题 5 8.在数列{an}中,an=lg 2n+1,判断该数列是否为等 3 差数列? 5 5 [解] an+1-an=lg 2n+3-lg 2n+1= 3 3

32n+1 5 1 lg( 2n+1 2× )=lg =-lg3(常数). 5 3 3 · 3 ∴{an}是等差数列.

9.等差数列的 a1=-24,公差 d 为整数,且从第 10 项 开始为正数,求 d 和通项公式. [解] 设数列的通项公式为 an=-24+(n-1)· d
?a10>0 ? 则由题意知? ?a9≤0 ? ?-24+9d>0 ? ,∴? ?-24+8d≤0 ?



24 ∴ <d≤3.又 d 为整数, 9

∴d=3.

∴an=a1+(n-1)· d=-24+3(n-1)=3n-27. ∴通项公式为 an=3n-27.

10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始, 每一项与它前一项的平方差是相同的常数, 则称该数列为等 方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差. (1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an-
1(n≥2)的关系式;

(2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该 数列为常数列.

[解]

(1)由等方差数列的定义可知: 2 -a2 -1=p(n≥2). an n

(2)解法一:∵{an}是等差数列,设公差为 d,则 an-an
-1

=an+1-an=d(n≥2).又{an}是等方差数列,∴a2 -a2 -1= n n

a 2 +1-a 2 (n≥2),∴(an+an - 1)(an-an- 1)=(an+ 1 +an)(an + 1 - n n an),即 d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,∴d=0,即{an} 是常数列.

解法二:∵{an}是等差数列,设公差为 d,则 an-an-1 =d(n≥2),即 an-1=an-d①, 又{an}是等方差数列,设公方差为 p′, 则 a2 -a2 -1=p′(n≥2)②, n n ①代入②得,-d2+2dan-p′=0③, ∴-d2+2dan-1-p′=0(n≥2)④, 两式相减得 2d(an-an-1)=2d2=0, ∴d=0,即{an}是常数列.


高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念与通项公式学案

高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念通项公式学案_数学_高中教育_教育...5.等差数列定义的数学表达式: 试一试:它们是等差数列吗? (1)1,3,5,7,9,2...

...(2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式)示范教...

高中数学 (2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式)示范教案 新人教A版必修...学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项 公式、 ...

高中数学第2章2.2.1等差数列的概念及通项公式知能优化...

高中数学第2章2.2.1等差数列的概念及通项公式知能优化训练新人教A版必修_...利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列. 6.数列{an}是首项为 2,...

【人教A版】高中数学 2.2.1等差数列的概念与通项公式练...

2.2.1 等差数列的概念通项公式练习 新人教 A 版必修 5 ?基础梳理 1.(1)等差数列的定义:___. 定义的数学式表示为___. (2)判断下列数列是不是等差数...

高中数学第2章2.2.1-2.2.2等差数列的概念,等差数列的通...

高中数学第2章2.2.1-2.2.2等差数列的概念,等差数列的通项公式(一) 配套训练苏教版必修_数学_高中教育_教育专区。§2.2 2.2.1 2.2.2 一、基础过关 ...

高中数学第2章2.2.1-2.2.2等差数列的概念,等差数列的通...

高中数学第2章2.2.1-2.2.2等差数列的概念,等差数列的通项公式(二)配套...{an} 是递增的等差数列,前三项的和为 12 ,前三项的积为 48 ,则它的首项...

...(2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式)示范教...

最新人教A版必修5高中数学 (2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式)示范...师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法...

...2.2.1-2.2.2等差数列的概念、等差数列的通项公式(二...

高中数学苏教版必修5课时作业 2.2.1-2.2.2等差数列的概念、等差数列的通项公式(二)_数学_高中教育_教育专区。高中数学苏教版必修5课时作业 ...

...5课后强化作业:2-2-1《等差数列的概念及通项公式》

高中数学人教B版数学必修5课后强化作业:2-2-1等差数列的概念及通项公式》_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教B版数学必修5课后强化作业 ...

1.2第1课时 等差数列的概念及通项公式 教案(北师大版必...

1.2第1课时 等差数列的概念及通项公式 教案(北师大版必修五)_数学_高中教育...要证明一个数列是等差数列,根据等差数列的定义,只需证明对任意正整数 n,an+1...