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高一数学对数函数经典题及详细答案

时间:2016-01-22


高一数学对数函数经 典练习题 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1、已知 3a ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示 是(
A、 a ? 2 B、 5a ? 2 C、 3a ? (1 ? a)2 ) D、 3a ? a
2

答案 A。
∵3 =2 ?∴a=log 3 2
a

则: log 3 8-2log 3 6=log 3 2 -2log 3 (2*3) =3log 3 2-2[log 3 2+log 3 3] =3a-2(a+1) =a-2

3

2、 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则
1 4 答案 B。

M 的值为( N

) D、4 或 1

A、

B、4

C 、1

∵2log a (M-2N)=log a M+log a N, ∴log a (M-2N) =log a (MN) ,∴(M-2N) =MN, ∴M -4MN+4N =MN, ?m -5mn+4n =0(两边同除 n ) ?( m ) -5 m +4=0,设 x= m n n n
2 2 2 2

2

2

2

2

x+ ? x 2 -5x+4=0 ? (x 2 -2* 5 2 x- 5 =? 2
3 2

25 4

)-

25 4

+

16 4

=0 ? (x-

5 2

) -

2

9 4

=0 ? (x-

5 2

) =

2

3 2

?

? x= 5 2 ?

3 2

m ?x ? 4 ? n ? 4 即 ?m ?? ?x ? 1 ? n ? 1

又∵ 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,看出 M-2N>0 M>0 N>0 ∴m =1 即 M=N 舍去, 得 M=4N 即 m =4 ∴答案为:4 n n
2 2 x ?m ,log 3、已知 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 ,且 log a(1 ? )
a

A、 m ? n

B、 m ? n

C、

1 ? m ? n? 2

1 ?, n log 则 a y 等于( 1? x 1 D、 ? m ? n ? 2



答案 D。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n,loga(1-x)=-n 两式相加得:? loga [(1+x)(1-x)]=m-n

?loga(1-x?)=m-n

?∵ x?+y?=1,x>0,y>0, ? y?=1- x? ?loga(y?)=m-n

∴2loga(y)=m-n ?loga(y)= 1 (m-n) 2 4. 若 x 1 , x 2 是方程 lg x +(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2 = 0 的两根, 则 x 1 x 2 的值是( (A).lg3·lg2 答案 D ∵方程 lg x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0 的两根为 x1 、 x2 ,[注:lg x 即(lgx) ,这里可 把 lgx 看成能用 X,这是二次方程。] b ∴lg x1 +lg x2 = - a = -(lg2+lg3) ? lg( x1 × x2 )= -lg(2×3)
2 2 2
2

).

(B).lg6

(C).6

(D).

1 6

?∴lg( x1 × x

2

)= -lg6=lg

1 6

? ∴ x1 × x
? 1 2

2

=

1 6


?则 x1?x2 的值为 1

6



5、已知 log7 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x A、

等于(

1 3

B、

1 2 3

C、

1 2 2

D、

1 3 3

答案 C ∵log 7 【log 3 (log 2 X)】=0 ? ∴log 3 (log 2 x)=1 ? log 2 x=3 ? x=8

x

?1 2

=8

?1 2

=2

3?( ? 1 ) 2

=2

??

3 2

1
=
3 = 22

1 2
3

1
= 2 2 =

2 4

6.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于( ) lg 15
a ? 2b 1? a ? b
C.

A.

2a ? b 1? a ? b

B.

2a ? b 1? a ? b

D.

a ? 2b 1? a ? b

答案 C lg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+b lg15=lg 30 =lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1 (注:lg10=1) 2 ∴比值为(2a+b)/(1-a+b) 7、函数 y ? log(2 x ?1) 3x ? 2 的定义域是( A、 ? )

?2 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?3 ? ?2 ? , ?? ? ?3 ?

B、 ?

?1 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?2 ?

C、 ?

D、 ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

答案 A

y ? log(2 x?1)

? ?3x ? 2 ? 0 ? x ? 2 3 ? ? 1 2 3x ? 2 的定义域是 ?2 x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? ? x ? 3 , x ? 1 ?2 x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? ? ?

∴答案为: ?

?2 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?3 ?
) D、 ?3, ?? ?

8、函数 y ? log 1 ( x2 ? 6 x ? 17) 的值域是(
2

A、 R

B、 ?8, ?? ?

C、 ? ??, ?3?

答案为:C ,y=(- ? ,-3] ∵ x -6x+17=x ? -6x+9+8=(x-3) ? +8 ≥ 8 ,∵ log
2
1 2

= log

1 2

?1

=(-1) log 2 = - log 2 ( ∴ -

log 2 x 单调减 ? log 1 x 单调减 ? log 1 [(x-3)?+8] 单调减.,为减函数
2 2

∴x -6x+17=(x-3)?+8 ,x 取最小值时(x-3)?+8 有最大值 ? (x-3)?+8=0 最小,x=3, 有最大
2

值 8, ? log 1 [(x-3)?+8]= log 1 8= - log 2 8= -3, ∴值域 y≤-3∴y=(- ? ,-3][注:
2 2

Y=x

2

-6x+17 顶点坐标为(3,8) ,这个 Y 为通用 Y]

9、若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是(



A、 m ? n ? 1 B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1 D、 0 ? m ? n ? 1 答案为:C {对数函数的定义:一般地,我们把函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) ,值域是 R。对数函数的解析式: y=logax(a>0, 且 a≠1) 。对数函数的底数为什么要大于 0 且不为 1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的 时候是会有相应 b 的值。但是,根据对数定义:log 以 a 为底 a 的对数;如果 a=1 或=0 那么 log 以 a 为底 a 的对数就可以等于一切实数(比如 log11 也可以等于 2,3,4,5,等等) 】 } 分析:根据对数函数的图象与性质可知,当 x=9>1 时,对数值小于 0,所以得到 m 与 n 都 大于 0 小于 1, 又 logm9<logn9, 根据对数函数的性质可知当底数小于 1 时, 取相同的自变量, 底数越大对数值越小,所以得到 m 大于 n. ∵logm9<0,logn9<0,得到 0<m<1,0<n<1;又 logm9<logn9,得到 m>n, ∴m.n 满足的条件是 0<n<m<1. (注另解:∵logm9<0,logn9<0,得到 0<m<1,0<n<1;也可化成 logm9= lg m ,
lg 9

lg 9 1 lg 9 1 lg 9 logn9= lg n ,则 lg m < lg n <0 由于 lg9 大于 0 ∴ lg m < lg n n<m,0<n<m<1.

【注:换底公式

a,c 均大于零且不等于 1】
10、 log a A、 ? 0,

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3
B、 ?



? ?

2? ? ? ?1, ?? ? 3?

?2 ? , ?? ? ?3 ?

C、 ?

?2 ? ,1? ?3 ?

D、 ? 0, ? ? ?

? ?

2? ?2 ? , ?? ? 3? ?3 ?

答案为:A. ①0<a<1 时

?则 loga(x)是减函数, 1=loga(a),∵ log

a

?∴2/3>a 此时上面有 0<a<1 综述得 0<a<2/3 ②a>1 时 ? 则 loga(x)是增函数, loga(2/3)<1(即 log a) ?∴2/3<a 此时上面有 a>1 综述得取 a>1 有效。 ?∴0<a< 2 3 ,a>1
a

2 ? 1 ,即 loga(2/3)<loga(a) 3

11、下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是( A、 y ? log 1 ( x ? 1)
2



B、 y ? log 2 D、 y ? log

x2 ?1

C、 y ? log 2 答案为:D。 A、

1 x

1 2

( x2 ? 4x ? 5)

x+1 在(0,2)上是增函数 以 2 为底的对数就是一个减函数 ∴复合函数 y 就是个减 函数。

1

B、

x 2 ? 1 在(0,2)上递增,但又不能取<1 的数,x<1 不在定义域(0,2)内 ∴不对。
这种情况虽然是增,但(0,2)内含有<1 的。

C、

1 x 是减函数,以 2 为底的对数是个增函数,∴y 为减函数
2

D、与 A 相反,x?-4x+5=(x-2) +1,对称轴为 2,在(0,2)上递减,以 2 的对数也是递减, 所以复合函数是增函数 12.已知函数 y=log 1 (ax +2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是( )
2
2

1

A.a > 1 答案为:C。

B.0≤a< 1

C.0<a<1

D.0≤a≤1
2

(注:对数函数定义底数则要>0 且≠1 真数>0)∵函数 y=log 1 (ax +2x+1)的值域为 R
2

∴ax +2x+1 恒>0,令 g(x)=ax +2x+1,显然函数 g(x)=ax +2x+1 是一个一元二次函数(抛 物线),要使 g(x)(即通用的 Y)恒>0, ①必须使抛物线开口向上,即 a>0 ②同时必须使△>0(保证抛物线始终在 x 轴上方,且与 x 轴没有交点,这也是△不能为 0 的 原因)(注:如△<0, 抛物线可在 x 轴下方,且与 x 轴有交点) 即 b -4ac=4-4a>0,解得 a<1。∴则实数 a 的取值范围是 0<a<1。 说明:答案是 0<a<1,而不是 0≤a≤1。 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上) 13 计算:log2.56.25+lg 答案为: 【注:自然常数 e(约为 2.71828)是一个无限不循环小数。是为超越数。ln 就是以 e 为底 的对数。ln1=0,lne=1。 设2 ∵2
1og 2 3
2

2

2

2

1 +ln e + 100

21?log2 3 =



=x ?则由指数式化为对数式可得: log 2 x= (log 2 3) ?∴x=3
1og 2 3

1og 2 3

=x, 又∵ x=3, ?∴2

=3.】
?2.5?2
?3

log2.56.25+lg

1 +ln e + 100

21?log2 3 = log
+6=

2.5

+

lg10

+ lne

1 2

+2 ? 2
1

1og 2 3

1 =2+(-3)+ 2
2
?1?1og 2 3

1 +2 ? 3=2-3+ 2
log2 2?1 ? log2 3

51 2

。 =2

【 注 : 假 如 是
log 2 3 2

2

?1?1og 2 3

, 则

=2

=2

log2 2?1?3

=2

log2 1 ?3 2

=2 】 。

3

14、函数 答案为:

y ? log( x-1) (3- x) 的定义域是

(2)要使原函数有意义,则真数大于 0,底数大于 0,底数不等于 1 。

?3 ? x ? 0 ? 3 ? x ? ? ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1 ?1 ? x ? 3, x ? 2 ? ∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3)。 ?x ? 1 ? 1 ? x ? 2 ? ? ?
15、 lg 25 ? lg 2? lg50 ? (lg 2)2 ? lg25+lg2·lg50+(lg2)
2
2



答案为:∵lg2+lg5=1 ,lg10=1 lg25+lg2 ? lg50+(lg2)
2

=lg5 +lg2 ? lg50+lg2 ? lg2 ?=2lg5+lg2(lg50+lg2) ?=2lg5+lg2lg(50 ? 2) ? =2lg5+lg2 ? lg100 ?=2lg5+lg2 ? lg10 ?=2lg5+lg2 ? 2lg10 ? =2lg5+2lg2 ?=2(lg5+lg2) ?=2lg10 ?=2 16、函数 f ( x) ? lg 答案为: 第①种解:∵f(-x)=lg( x ? 1 +x)=lg( x ? 1 +x)*
2 2
2

?

x2 ? 1 ? x 是

?

(奇、偶)函数。

x 2 ?1 ? x x 2 ?1 ? x

=lg

( x2 ?1? x )?( x 2 ?1? x ) x 2 ?1? x

=lg

( x 2 ?1 ? x 2 ) x 2 ?1? x

2

=lg

( x 2 ?1) ? x 2 x 2 ?1? x

= lg

1 =lg( x ?1? x
2

x 2 ? 1 -x) ? 1 = -lg( x 2 ? 1 -x)= -f(x), f(-x) = -f(x)∴是奇函数

第②种解: ∵f(-x)+f(x)= lg( x 2 ? 1 +x)+ lg( x 2 ? 1 -x)= lg[( x 2 ? 1 +x) ?( x 2 ? 1 -x)]= lg(x +1-x )= lg1=0, f(-x)-f (x)=0,∴f(-x)与 f (x)互为正负数
2 2

?

∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数. 三、解答题: (本题共 3 小题,共 36 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17 已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围. 答案为: 【对数函数含义:一般地,如果 a(a>0,且 a≠1)的 y 次幂等于 x,那么数 y 叫做以 a 为底 x 的对数,记作 logax=y,其中 a 叫做对数的底数,x 叫做真数。y 叫对数(即 是幂)。注意:负数和 0 没有对数。 底数 a 则要>0 且≠1,真数 x>0。并且,在比较两个函数值时:

?(a ? 1 ? 时)如果底数a一样, 真数x越大, 函数值y越大。 是增函数。 ? ? ? ? ? ?(0 ? a ? 1 ? 时)如果底数a一样, 真数x越小, 函数值y越大。 是减函数。 ?
对于不同大小 a 所表示的函数图形:关于 X 轴对称:

以上要熟记】 解题:∵y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,∵a>0,真数(2-ax)已经是减函数 了,然后要使这个复合函数是减函数,那么对数底 a 要是增函数,∵增减复合才得减,∴由 函数通用定义知要使函数成增函数必 a>1。 又∵函数定义域:2-ax >0 得 ax<2, ∴x< a 又∴a 是对数的底数
2

?a>0

且 a ≠ 1 。 ∵ [ 0,1 ] 区 间 内 2-ax 递 减 , ∴ 当

? x ? 1(取最大时)? ? ? ? ? ?a取最大时 ?
2

? 即-ax 最大时,2-ax 取得最小值,为 2-a。
2

∵x=1∵x< a 可得 a >1,∴a<2. ∴a 的取值范围 1<a<2 。 18、已知函数 f ( x ? 3) ? lg
2

x2 , x2 ? 6

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)判断 f ( x ) 的奇偶性。 解题: 【注:定义域没有与原点对称的函数是非奇非偶函数。 如果定义域是全体实数,那肯定就是关于原点对称了,那就可能或奇或偶函数、既奇又偶函 数。 如果定义域不是全体实数,比如是全体正实数,那定义域在 x 轴的负半轴上都不能取值,当 然更谈不上是对称了。 再比如定义域是全体负实数, 那定义域在 x 轴正半轴也不能取值, 所以定义域也不是关于原 点对称。

举个例子: f (x) = 1? x 此题的定义域是 x ? 1, 那么如果定义域要是关于原点对称, x 也 ? -1。 再举个例子:f(x)=x 的偶次方根,此题的定义域是 x 非负,x 非负这个取值,关于原点的 对称区间是 x 非正(没有) 。 所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的。 】 解题: (即 Y 值的取值方向固定)

1

x 2 ? 3? ? 3 ? t ?3 x2 (1)设 x -3= t(t>-3) ,∵ f ( x ? 3) ? lg 2 ,∴f(t)=lg t ?3 ,又 ? lg 2 x ?6 ? x ? 3? ? 3
2

2



x2 ?0 x2 ? 6

?

t ?3 t ?3

>0,∴t>3 ? x ? 3 ? 3 (注:这里 x 非负),
2

2

∴ f ( x ) 的定义域为 ?3, ??? 。 (2)∵ f ( x ) 的定义域不关于原点对称(x 非负),∴ f ( x ) 为非奇非偶函数。 19、已知函数 f ( x) ? log 3 解题: ∵f(x)=log 3
mx 2 ?8 x ? n 2 2 的定义域为 R,∵x +1>0,∴mx +8x+n>0 恒成立. x 2 ?1
2

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R ,值域为 ? 0, 2? ,求 m, n 的值。 x2 ? 1

mx 2 ?8 x ? n mx 2 ?8 x ? n 2 令 y= ,∵函数 f(x)的值域(即 log 3 )为[0,2], x ?1 x 2 ?1 mx 2 ?8 x ? n 2 2 2 2 ∴ 1≤y(即 )≤9 。 y(x +1)=mx +8x+n ?yx +y -mx -8x-n=0 ? (y-m) x 2 ?1
?x -8x+y-n=0 成立。 ∵x∈R,可设 y-m≠0,∴方程的判别式△=64-4(y-m) (y-n)≥0
2

?-16 +(y-m) (y-n) ? 0 ?即 y
2

2

-(m+n)y+mn-16≤0.

∵y=1 和 y=9 是方程 y -(m+n)y+mn-16=0 的两个根,

∴y 1 +y 2 = -

b a =m+n=10,y 1 ? +y 2 =mn-16=9。 ?m=10-n,
2

? (10-n) n-16=9 ?10n-n
20.已知 x 满足不等式 2log
1 2

-25=0

?

n -10n +25=0

2

?(n-5)

2

=25

?m=n=5。
x 2 的最

若 y-m=0,即 y=m=n=5 时,对应的 x=0,符合条件。综上可得,m=n=5。 x +7log 1 x +3≤0,求函数 f(x)=log 2 4 ? log 2
2
2

x

大值和最小值。 (换元法是必须要有的)求多种方法。 解题: 第①种解:设 a = log 2log
2
1 2

x,则原不等式
2

1 2

x +7log 1 x +3≤0 可化为: 2a
2

+ 7a + 3 ≤ 0

? ? a ? 3 ? 0 ? a ? ?3 ? 无解 ?? 1? ??2 a ? 1 ? 0 ? a ? ? 2 ? ∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0 ? ? ? ? a ? 3 ? 0 ? a ? ?3 ? 1 ??2 a ? 1 ? 0 ? a ? ? 1 ? ? 3 ? a ? ? 2 2? ??
∴ -3 ≤ a ≤ - 1 2

?∴-3 ≤log
?

1 2

x ≤- 1 2
2 2 1 2

?-3 ≤-log

2

x ≤- 1 2

? 3 ? ? log x ? 3 ? log x ? ? ?? ? ? ? log x ? ? ? log x ?
2 1 2 2 1 2

? ?

? log2 x ? 3

∴1 ≤ log 2 x ≤ 3。 2 解以上不等式的所有方法中,“因式分解法”较为简便. f(x)=log 2 4 ? log 2

x

x 2 = (log 2 x -log 2 4) × (log 2 x -log 2 2)

=(log 2 x -2) × (log 2 x -1) 设 m = log 2 x , ∵1 ≤ log 2 x ≤ 3 (已证) 2 ∴ m ∈ [1 ,3 ] 2 于是问题转化为: 求函数 y = f(x) = ( m - 2 ) × ( m -1 ) 的最大值和最小值. 这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题. y = f(x) = ( m - 2 ) × ( m -1 ) y = f(x) = m
2

- 3m + 2 = m - 6 m+ 9 -1 2 4 4
3 2

2

?y = f(x) = (m -

) -1 其中 m ∈ [ 1 ,3 ] 4 2
2

2

考察二次函数 y = f(x) = (m - 3 ) -1 2 4 开口向上、对称轴为 m = - 2 a =
b
3 2
2

、最小值为- 1 、关键是定义域为 m ∈[ 1 2 ,3 ]. 4

画出二次函数 y = f(x) = (m - 3 ) -1 的图像, 4 2

由图知:对称轴在定义域范围之内, 故当 m = 3 时,函数 y = f(x) 取到最小值- 1 ; 4 2 当 m = 3 时,函数 y = f(x) 取到最大值,把 m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为: (3 - 3 )2 -1 =( 6 -3 ) -1 =9 -1 =2. 4 2 4 4 4 2 2 第②种解:设 a = log 则原不等式 2log
1 2 1 2

2

x

x +7log 1 x +3≤0 可化为:
2

2

2a 2 + 7a + 3 ≤ 0(这种基本化解要熟) ∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0 ∴ -3 ≤ a ≤ - 1 2 (同上化得) ∴-3 ≤log
1 2

x ≤ -1 2

(同上化得) 2 2 ≤log 2 x ≤log 2 2 ?2 2 ≤ x ≤ 2
3
1 1

∴1 2 ≤log 2 x ≤ 3

?log

3

2

?∴

2 ≤ x ≤ 8∴x ∈[ 2 ,8]

f(x)=log 2 4 ? log 2

x

x 2 =(log 2 x -log 2 4) ×(log 2 x -log 2 2)

= (log 2 x -2) × (log 2 x -1)= (log 2 x) 2 - 3 log 2 x + 2 = (log 2 x - 3 )2 - 2
9 4

+2= (log 2 x - 3 )2 -1 4 2
3 2

∵x∈[ 2 ,8] 而 对称轴 3/2 在定义域[ 2 ,8]之内。∴当 x = 当 x = 8 时,f(x)有最大值, 最大值为: (log 2 8 - 3 )2 -1 =(3 - 3 )2 - 1 = 2.。 4 4 2 2 21. 已知 x>0,y ? 0,且 x+2y=1,求 g=log 解题: 第①种解由 x+2y=1,得:
1 2

时,f(x)有最小值- 1 ; 4

(8xy+4y +1)的最小值

2

2y=1-x, ∴8xy+4y 2 +1=4x ? 2y+(2y) 2 +1=4x(1-x)+ (1-x) 2 +1 =4x-4x 2 +1-2x+x 2 +1 = -3x 2 +2x+2= -3(x 2 - 2 x+ 1 )+ 1 +2 3 9 3 = -3(x- 1 )2 +7 , 3 3 当 x= 1 时,有最大值: 7 , 3 3 而 y=log 1 x 在定义域上是减函数,
2

∴当 x= 1 ,y= 1 时, 3 3 log
1 2

(8xy+4y 2 +1)有最小值:log 1
2

7 3

=-log 2 7 - log 2 3

?1

=log 2 3-log 2 7.

第②种解∵x+2y=1, ∴8xy+4y 2 +1= x 2 +4xy+4y 2 +4xy-x 2 +1=(x+2y) 2 +4xy-x 2 +1=1+4xy -x 2 +1

1 1 = -x 2 +4xy+2= -x 2 +4x( 2 - x)+ 2= -x 2 + 2x -2x 2 +2

2

=-3x 2 +2x+2= -3(x 2 - 3 x+ 9 )+ 3 +2

2

1

1

7 1 = -3(x- 3 ) 2 + 3 ,
当 x= 1 时,有最大值: 7 , 3 3 而 y=log 1 x 在定义域上是减函数,
2

∴当 x= 1 ,y= 1 时, 3 3 log
1 2

(8xy+4y 2 +1)有最小值:log 1
2

7 3

=-log 2 7 - log 2 3

?1

=log 2 3-log 2 7.

22. 已知函数 f(x)=

10 x ? 10? x 。 10 x ? 10? x

(1)判断 f(x)的奇偶性与单调性; (2)求 f
?1

x

【注:反函数一般地,设函数 y=f(x)(x∈A)的值域是 C,若找得到一个函数 g(y)在每 一处 g(y)都等于 x,这样的函数 x= g(y)(y∈C)叫做函数 y=f(x)(x∈A)的反函数,记作 y=f
?1

(x) 。反函数 y=f

?1

(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域。

一般地,如果 x 与 y 关于某种对应关系 f(x)相对应,y=f(x) ,则 y=f(x)的反函数

为 x=f

?1

(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是

整个数域内的) 。注意:上标"? 1"指的并不是幂。 在微积分里,f
(n)

(x)是用来指 f 的 n 次微分的。

若一函数有反函数,此函数便称为可逆的(invertible) 。 简单的说,就是把 y 与 x 互换一下,比如 y=x+2 的反函数首先用 y 表示 x 即 x=y-2,把 x、y 位置换一下就行那么 y=x+2 反函数就是 y=x-2。在函数 x=f
?1

(y)中,y 是自变量,x 是函数,
?1

但习惯上,我们一般用 x 表示自变量,用 y 表示函数,为此我们常常对调函数 x=f 的字母 x,y,把它改写成 y=f 经过改写的形式。
?1

(y)中

(x),今后凡无特别说明,函数 y=f(x)的反函数都采用这种

函数及其反函数的图形关于直线 y=x 对称】

解题: ∵已知函数 f(x)= ∴是奇函数。 令 a=10 ,则 10
x ?x

10 ?10 10? x ?10x 10 x ? 10? x 10 x ? 10? x ?x ?( ? x ) = ? x x , ∴ f(-x)= = = - f(x), 10 ?10 10 ?10 10 x ? 10? x 10 x ? 10? x

?x

?(? x)

1 = a ,a>0。

a? 1 a
∴y=f(x)=

a? 1 a

,上下同 ? a

?

2 2 2 2 a 2 ?1 a ?1?2 a ?1 2 2 2 2 a 2 ?1 = a ?1 = a ?1 - a ?1 =1- a ?1

设 a 1 ,a 2 ∈(-∞,+∞) ,且 a 2 > a 1 , 则 f(a 2 ) -f(a 1 )
2 2 2 2 =1- a 2 ?1 -(1- a12 ?1 )=- a 2 ?1 + a12 ?1 2 2

= ? ( a 2 2 ?1)( a 2 ?1) 1

2 ( a12 ?1)

? ( a 22 ?1)( a 2 ?1) =
1

2 ( a 2 2 ?1)

2 ( a 2 2 ?1)?2 ( a12 ?1) ( a 2 2 ?1)( a12 ?1)
2 2

2 a 2 2 ?2 a12
= ( a 2 2 ?1)( a 2 ?1) 1

x 2 2 ∵a=10 >0,∴a >0,a +1>1。 ( a 2 ?1)( a1 ? 1) >0 ,∵a 2 >a 1

?∴ 2a

2 2

?2 a1

2

>0,

2 a 2 2 ?2 a12
∴ ( a 2 2 ?1)( a 2 ?1) >0 1

? f(a

2

)

-f(a 1 )>0, ∴f(x)为增函数。
2

2 2 2 2 a ? 1 a ∵f(x)= 1。设 y=1- ?1

?

1? y 2

1 = a 2 ?1

?

2 1? y

=a

2

?1

?y-1= - a ?1 ?1-y= a ?1 ? a = -1 ?a = 2?1(?1?y y)
2
2

2

2

2 1? y

2

?a

2

1? y 1? y x x x 2 = 1? y 。∵a=10 ,a =10 2 ∴10 2 = 1? y

?y ?2x=lg 1? y ?x= 12 lg 1 1? y

1? y

1 1? x ?1 1? x ?即 y= 1 f x lg , ∴ = 2 lg 1? x 。 2 1? x


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