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刘鸿文版材料力学课件全套下

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§6-3 用积分法求弯曲变形





积分法求变形有什么优缺点?

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用,任意截面上的弯矩 为M(x),转角为 ? ,挠度为y,则有:
d2y EI 2 ? EIy'' ? M

( x ) dx

若梁上只有第i个载荷单独作用,截面上弯矩 为 M i ( x ) ,转角为 ? i ,挠度为 y i ,则有:
EIy''i ? M i ( x )

由弯矩的叠加原理知: M i ( x ) ? M ( x ) ?
i ?1 n

n

所以,
7-4

EI ? y' 'i ? EI ( ? yi )' ' ? M ( x )
i ?1 i ?1

n

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形

y' ' ? ( ? y i )' '
i ?1 n

由于梁的边界条件不变,因此

y ? ? yi
i ?1

n

? ? ?? i ,
i ?1

n

重要结论: 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角, 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示,q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ;B截面的 转角?B



1)将梁上的载荷分解

yC1

yC ? yC 1 ? yC 2 ? yC 3 ? B ? ? B1 ? ? B 2 ? ? B 3
2)查表得3种情形下C截面的挠度和B截 面的转角。

yC2 yC3

5ql 4 yC 1 ? ? 384 EI

ql 4 yC 2 ? ? 48 EI ql 4 yC 3 ? 16 EI
目录

ql 3 ? B1 ? 24 EI ql 3 ? B1 ? 16 EI ql 3 ? B3 ? ? 3EI

§6-4 用叠加法求弯曲变形
3) 应用叠加法,将简单载荷作用时的结 果求和

5ql 4 ql 4 ql 4 yC ? ? yCi ? ? ? ? 384 EI 48 EI 16 EI i ?1
3

yC1

11ql 4 ? ( ) 384 EI

ql 3 ql 3 ql 3 ? B ? ?? Bi ? ? ? 24 EI 16 EI 3EI i ?1
3

yC2 yC3

11ql 3 ?? ( ) 48 EI

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形
yC
例4 已知:悬臂梁受力如图示,q、l、 EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角?C



1)首先,将梁上的载荷变成有表可查 的情形 为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果,先将均布载荷延长至梁 的全长,为了不改变原来载荷作用的 效果,在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形
yC
2)再将处理后的梁分解为简单载荷作用 的情形,计算各自C截面的挠度和转角。

yC 1

ql 4 ql 3 yC 1 ? ? , ? C1 ? ? 8 EI 6 EI l ql 3 yC 2 ? y B 2 ? ? B 2 ? ?C 2 ? 2 48EI ql 4 ql 3 l ? ? ? , 128EI 48EI 2
3)将结果叠加

yB 2
yC 2

41ql 4 yC ? ? yCi ? ? 384 EI i ?1
2

7 ql 3 ? C ? ?? Ci ? ? 48 EI i ?1
2

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形





叠加法求变形有什么优缺点?

目录

§6-5 简单超静定梁
1.基本概念: 超静定梁:支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束:从维持平衡角度而言,多余的约束

超静定次数:多余约束或多余支反力的数目。 相当系统:用多余约束力代替多余约束的静定系统
2.求解方法:

解除多余约束,建立相当系统——比较变形,列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
7-6

目录

F MA A B C §6-5 简单超静定梁 a F (a)

FA y MA

2a

A
A

B

例6
C

求梁的支反力,梁的抗弯

刚度为EI。 解

FA y

2a (a) (b)

B

a

C

A A (b) (c)
MA

B B
FBy

F

C C F F F

1)判定超静定次数 2)解除多余约束,建立相当系统

A A A

B B B (c) (d) FBy

C C C

3)进行变形比较,列出变形协调条件

MA

A
A

B
B

F C

(d)
(d)

FBy

C

y B ? ( y B ) F ? ( y B ) FBy ? 0
目录

MA

A

B

§6-5 简单超静定梁 C
a F

F

F M AA y

2a
A

4)由物理关系,列出补充方程
C

(a)
2a (a) (b)

B

FA y

A

B

a

C

F ( 2a ) 2 14 Fa 3 ( yB ) F ? ? (9a ? 2a) ? ? 6 EI 3EI

MA
MA

A A

(b)

B B

F
C C

( y B ) FBy ?
所以

8 FBy a 3 3EI

FA y
A A A

(c)
B B B

FBy F F F C
FBy

(c)

C C
F

3 14 Fa 3 8FBy a ? ? ?0 3EI 3EI 7 FBy ? F 4

MA

A A

(d)

B B FBy

5)由整体平衡条件求其他约束反力
C C

(d) (d)

MA ?

Fa ( ), 2

3 FAy ? ? F ( ) 4
目录

§6-5 简单超静定梁
例7 梁AB 和BC 在B 处铰接,A、C 两端固定,梁的抗弯刚度均为EI,F = 40kN, q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。 解 从B 处拆开,使超静定结构变成两个悬臂 梁。

变形协调方程为: 物理关系 yB1
FA FB

yB1 ? yB 2

MA

FB

q ? 4 4 FB ? 43 y B1 ? ? 8EI 3EI
MC

FB ? FB?
yB2

yB 2
FC

FB ? 43 F ? 22 ? ?3? 4 ? 2? ? 6 EI 3EI
目录

§6-5 简单超静定梁
代入得补充方程:

q ? 44 FB ? 43 F ? 2 2 FB ? 43 ?3 ? 4 ? 2? ? ? ? 8EI 3EI 6 EI 3EI

3 ? 40 ? 10 20 ? 4 4 ? FB ? ? ? 6 ? 4 2 ? 8 ? 43 ? ? ?8.75 kN ? 2? ?
MA

确定A 端约束力 yB1

?F
MC

y

? 0,

FA ? FB ? 4q ? 0

FA FB

FB

FA ? 4q ? FB ? 4 ? 20 ? 8.75 ? 71.25 kN

?M

A

? 0,

M A ? 4q ? 2 ? 4FB ? 0

yB2

M A ? ?4q ? 2 ? 4FB
FC

? ?4 ? 20 ? 2 ? 4 ? ?? 8.75? ? ?125 kN? m
目录

§6-5 简单超静定梁
确定C 端约束力

FC ? F ? FB? ? 40 ? ?? 8.75?
MA

?F

y

? 0,

FB? ? FC ? F ? 0

? 48.75 kN
yB1

FA F?B

FB MC

?M

C

? 0,

MC ? 2F ? 4FB? ? 0

M C ? 4FB? ? 2F ? 4 ? ?? 8.75? ? 2 ? 40 ? ?115 kN.m
FC

yB2

目录

§6-5 简单超静定梁
A、C 端约束力已求出
MA MC FC

FA ? 71.25 kN( ) M A ? 125 kN? m( )

FA

71.25
? FS ? (? )

FC ? 48.75 kN( )
MC ? 115 kN? m(
8.75 1.94

)

?kN?

(? )
48.75
(? )

最后作梁的剪力图和弯矩图

?M? (kN ? m ) (? )

125

17 .5

115
目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
1)选择合理的截面形状

目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
2)改善结构形式,减少弯矩数值

改 变 支 座 形 式

目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
2)改善结构形式,减少弯矩数值

改 变 载 荷 类 型

wC 2 ? 62 .5% wC1

目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
3)采用超静定结构

目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施

目录

小结
1、明确挠曲线、挠度和转角的概念
2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法 3、学会用变形比较法解简单超静定问题

目录

第七章 应力和应变分析 强度理论

第七章
? ? ? ? ? ?

应力和应变分析 强度理论

7-1 应力状态的概念 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-n图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-11 四种常用强度理论

7—1 应力状态的概念
问题的提出 铸 铁
低碳钢

塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线?
目录

7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸 铁

脆性材料扭转时为什么沿45? 螺旋面断开?
目录

7—1 应力状态的概念
横力弯曲

FN

Mz

FQ

横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明:同一面上不同点的应 力各不相同,此即 应力的点的概念 。

7—1 应力状态的概念
直杆拉伸
F F
k

?
k k

F
??

{

? ? ? p? cos ? ? ? cos2 ?

? ? ? p? sin ? ? ? ? cos ? sin ? ? sin 2? 2

k ??

p?

直杆拉伸应力分析结果表明: 即使同一点不同方向面上的应力也是 各不相同的,此即应力的面的概念。

7—1 应力状态的概念
l
S平面
T y
1 4

S
T

F a
1

z
2 3

x Mz

Fa

?? ? ???

??
σ ?

T Wt

Mz Wz
T ?? Wt
目录

3
σ ?? Mz Wz

M
Fl

7—1 应力状态的概念
?z

z
? zy ? yz
?2
?3

? zx
x
?x

? xz

? xy? yx

?y

y

?1

单元体上没有切应力的面称为主平面;主平面上的正应力 称为主应力,分别用

该单元体称为主应力单元体。

? 1,? 2 ,? 3

表示,并且

?1 ? ? 2 ? ? 3
目录

7—1 应力状态的概念
(1)单向应力状态:三个主应力中只有一个不为零
(2)平面应力状态:三个主应力中有两个不为零 (3)空间应力状态:三个主应力都不等于零 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态

目录

7—1 应力状态的概念
S平面

F
S平面

F 2 Fl Mz ? 4

l/2

l/2

5 4 3 2 1
?3

?2

1

?1

2

?2

3

7-3 二向应力状态分析-解析法
1.斜截面上的应力

y
?x
?

? yx

? xy

?x α

?a

n

x
?y

? xy

?a
dA

? yx
?y

t
t

?F

n

?0
目录

?F ? 0

7-3 二向应力状态分析-解析法 ?a 列平衡方程

n

?F

?x α

n

?0

? ? dA ? ? xy (dAcos? ) sin ? ? ? x (dAcos? ) cos? ? ? yx (dAsin ? ) cos? ? ? y (dAsin ? ) sin ? ? 0

? xy

?a
dA

? yx
?y

t

?F ? 0
t

? ? dA ? ? xy (dAcos? ) cos? ? ? x (dA cos? ) sin ? ? ? yx (dAsin ? ) sin ? ? ? y (dAsin ? ) cos? ? 0
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
利用三角函数公式

{

cos 2 ? ?

1 (1 ? cos 2? ) 2 1 2 sin ? ? (1 ? cos 2? ) 2

2 sin? cos? ? sin2?

并注意到 ? yx ? ? xy 化简得
1 1 ? ? ? (? x ? ? y ) ? (? x ? ? y ) cos 2? ? ? xy sin 2? 2 2 1 ? ? ? (? x ? ? y ) sin 2? ? ? xy cos 2? 2
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则

y?
?x
?

yx

? xy

正应力:拉为正;压为负

x
?y
?a
?a

切应力:使微元顺时针方向 转动为正;反之为负。

?x

? xy

α
? yx

n
x

α角:由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正;反 之为负。

?

y

t
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
? ? ? (? x ? ? y ) ? (? x ? ? y ) cos 2? ? ? xy sin 2?
d? ? ? ?(? x ? ? y ) sin 2? ? 2? xy cos 2? d?
1 2 1 2

设α=α0 时,上式值为零,即
? (? x ? ? y ) sin 2? 0 ? 2? xy cos 2? 0 ? 0

?(σx ?σy ) ? ? 2? sin2α ?τ ycos2α ? ? ?2τ0 ? 0 0 x 0 α 2 ? ?

即α=α0 时,切应力为零
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
tan 2? 0 ? ? 2? xy

? x ?? y

由上式可以确定出两个相互垂直的平面,分别 为最大正应力和最小正应力(主应力)所在平面。

所以,最大和最小正应力分别为:
? max ? ? x ?? y
2 1 ? 2
1 ? 2

??
??

x

2 ? ? y ? ? 4? xy 2

? min ?

? x ?? y
2

x

2 ? ? y ? ? 4? xy 2

主应力按代数值排序:σ1 ? σ2 ? σ3
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
例题1:一点处的平面应力状态如图所示。

已知

? x ? 60 MPa, ? xy ? ?30MPa,
? y ? ?40 MPa, ? ? ?30?。

?y
? xy
?

试求(1)? 斜面上的应力; (2)主应力、主平面; (3)绘出主应力单元体。

?x

目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
解:(1)? 斜面上的应力 ? x ?? y ? x ?? y ?? ? ? cos 2? ? ? xy sin 2?

?y

2 2 ? xy ? 60 ? 40 ? 60 ? 40 cos(?60 ? ) ? 30 sin(?60 ? ) 2 2 ? 9.02MPa ? ?x ? x ?? y ?? ? sin 2? ? ? xy cos 2? 2 60 ? 40 ? sin(?60 ? ) ? 30 cos(?60 ? ) 2

? ?58.3MPa
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7-3 二向应力状态分析-解析法
(2)主应力、主平面

?y
? xy
?

? x ?? y ? x ?? y 2 2 ? max ? ? ( ) ? ? xy 2 2

? 68.3MPa

? x ? ? ? x ? ? y ? (? x ? ? y ) 2 ? ? 2 xy min 2 2
? ?48.3MPa

? 1 ? 68.3MPa, ? 2 ? 0, ? 3 ? ?48.3MPa
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7-3 二向应力状态分析-解析法
?y
? xy
? 主平面的方位:

tg 2? 0 ? ?

2? xy

?x

? x ?? y ? 60 ?? ? 0.6 60 ? 40

? 0 ? 15.5? ,

代入 ? ? 表达式可知

? 0 ? 15.5? ? 90? ? 105.5?
? ?
目录

? 主应力 ? 1 方向: 0 ? 15.5

主应力 ? 3 方向:? 0 ? 105 .5

7-3 二向应力状态分析-解析法
(3)主应力单元体:
?y
? xy
?

?3

?1
?x
15.5?

目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
纯剪切应力状态
tg 2? 0 ? ?2? xy ? ??

? x ?? y


? 0 ? ?45?

?135?
2

? 3 ? ??

?? max ? ? x ? ? y ? ? x ?? y ? ? ? ? ? ? xy 2 ? ? ? ? min ? 2 2 ? ? ?

? xy
?1 ? ?
?45?

? max ? ? 1 ? ? xy ? min ? ? 3 ? ?? xy

此现象称为纯剪切

7-4 二向应力状态分析-图解法
1 1 ? ? ? (? x ? ? y ) ? (? x ? ? y ) cos 2? ? ? xy sin 2? 2 2 1 ? ? ? (? x ? ? y ) sin 2? ? ? xy cos 2? 2

? x ?? y 2 2 ? x ?? y 2 2 (? ? ? ) ?? ? ? ( ) ? ? xy 2 2

这个方程恰好表示一个圆,这个圆称为应力圆
目录

7-4 二向应力状态分析-图解法
1.应力圆:
?
? x ?? y 2 2 ? x ?? y 2 2 (? ? ? ) ?? ? ? ( ) ? ? xy 2 2
? x ?? y 2 2 R? ( ) ? ? xy 2

R
C
? x ?? y 2

?

目录

7-4 二向应力状态分析-图解法
2.应力圆的画法
y ? y D

? yx

?
? xy
x

R? (

? x ?? y
2

) 2 ? ? 2 xy

R
c D/

D (?x ,?xy)

A

?x

?
? x ?? y
2
目录

(?y ,?yx)

7-4 二向应力状态分析-图解法
3、几种对应关系
点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一截面上的正应力和切应力 ? y
?y
? yx

n
? xy ? x ?x

H (? a ,? a )
2?

H

c

D (?x ,?xy)

(?y ,?yx)

D/

?
? x ?? y
2

目录

7-5 三向应力状态
定义
?2

?1
?3

三个主应力都不为零的应力状态
目录

7-5 三向应力状态
?
2 由三向应力圆可以看出:

? max ?
1
0

?1 ?? 3
2

?3

?2
3

?1

?

结论: 代表单元体任意斜 截面上应力的点, 必定在三个应力圆 圆周上或圆内。
目录

7-8 广义胡克定律
1. 基本变形时的胡克定律
1)轴向拉压胡克定律
y

? x ? E? x
横向变形

?x
x

? y ? ? ?? x ? ? ?
2)纯剪切胡克定律

?x
E

?

? ? G?
目录

7-8 广义胡克定律
2、三向应力状态的广义胡克定律-叠加法
?2 ?2

?1
?3

?1
?3

?1

=

?3 ?1 ?2 ( ) + (? ? ) + (? ? ) E E E

1 ?1 ? ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? E
目录

7-8 广义胡克定律
?2

1 ?1 ? ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? E
? 1 ? ? 1 ?? ? ? ?? ? ? ?? 2 2 3 1 E

?3

1 ? 3 ? ?? 3 ? ? ?? 1 ? ? 2 ?? E
目录

7-8 广义胡克定律
3、广义胡克定律的一般形式
1 ? x ? [? x ? ? (? y ? ? z )] E 1 ? y ? [? y ? ? (? z ? ? x )] E 1 ? z ? [? z ? ? (? x ? ? y )] E

?z

? zx
?x

? xz

? zy ? yz

? xy? yx

?y

? xy ?

? xy
G

? yz ?

? yz
G

? zx ?

? zx
G

目录

7-11 四种常用强度理论
杆件基本变形下的强度条件

(拉压)

? max

FN ,max ? ? [? ] A
M max ? ? [? ] W

(弯曲) ? max

(正应力强度条件) ? max ? [? ]

(弯曲)
(扭转)

? max
? max

Fs S ? ? [? ] bI z T ? ? [? ] Wp

* z

(切应力强度条件) ? max ? [? ]

目录

7-11 四种常用强度理论

? max

? max ? [? ] 满足 ? max ? [? ]
是否强度就没有问题了?

? max

目录

7-11 四种常用强度理论
强度理论: 人们根据大量的破坏现象,通过判断推理、概

括,提出了种种关于破坏原因的假说,找出引起破
坏的主要因素,经过实践检验,不断完善,在一定

范围与实际相符合,上升为理论。
为了建立复杂应力状态下的强度条件,而提出

的关于材料破坏原因的假设及计算方法。

目录

7-11 四种常用强度理论
构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) 脆性断裂:材料无明显的塑性变形即发生断裂, 断面较粗糙,且多发生在垂直于最大正应力的截面上, 如铸铁受拉、扭,低温脆断等。

关于断裂的强度理论: 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
(2) 塑性屈服(流动):材料破坏前发生显著的塑性 变形,破坏断面粒子较光滑,且多发生在最大剪应力面 上,例如低碳钢拉、扭,铸铁压。 关于屈服的强度理论: 最大切应力理论和形状改变比能理论
目录

7-11 四种常用强度理论
1. 最大拉应力理论(第一强度理论)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破 坏拉应力数值。

?1 ? ?

0

? 1 -构件危险点的最大拉应力

?

0-极限拉应力,由单拉实验测得

? ??b
0

目录

7-11 四种常用强度理论
最大拉应力理论(第一强度理论) 断裂条件 强度条件

?b ?1 ? ? ?? ? n

?1 ? ?b

铸铁拉伸

铸铁扭转
目录

7-11 四种常用强度理论
2. 最大伸长拉应变理论(第二强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,

都是由于微元内的最大拉应变(线变形)达到简单
拉伸时的破坏伸长应变数值。

? 1 -构件危险点的最大伸长线应变

?1 ? ?

0

?

? 1 ? [? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )] / E
? ??b / E
0
目录

0 -极限伸长线应变,由单向拉伸实验测得

7-11 四种常用强度理论
最大伸长拉应变理论(第二强度理论) 断裂条件

?b 1 [? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )] ? E E
? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? ? b


强度条件

?b ? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? ? [? ] n

实验表明:此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合,如铸铁受拉压比第一强度理论

更接近实际情况。
目录

7-11 四种常用强度理论
3. 最大切应力理论(第三强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。

? max

? max ? ?

0

-构件危险点的最大切应力

? max ? (? 1 ? ? 3 ) / 2
? ??s /2
0
目录

?

0 -极限切应力,由单向拉伸实验测得

7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论(第三强度理论) 屈服条件

强度条件

?s ?1 ? ? 3 ? ? ?? ? ns

低碳钢拉伸

低碳钢扭转
目录

7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论(第三强度理论) 实验表明:此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 塑性变形或断裂的事实。(?? max ? 0) 局限性:

1、未考虑

? 2 的影响,试验证实最大影响达15%。

2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。
目录

7-11 四种常用强度理论
4. 形状改变比能理论(第四强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是

由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。

? sf -构件危险点的形状改变比能
?
0 -形状改变比能的极限值,由单拉实验测得 sf

v sf ? v

0 sf

目录

7-11 四种常用强度理论
形状改变比能理论(第四强度理论) 屈服条件 强度条件

实验表明:对塑性材料,此理论比第三强度理
论更符合试验结果,在工程中得到了广泛应用。
目录

7-11 四种常用强度理论
强度理论的统一表达式: ? r ? [? ] 相当应力

? r ,1 ? ? 1 ? [? ]
? r , 2 ? ? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? [? ]

? r ,3 ? ? 1 ? ? 3 ? [? ]

目录

7-11 四种常用强度理论
例题
已知:? 和?。试写出最大切应力 准则和形状改变比能准则的表达式。

解:首先确定主应力

? r 3 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 2 ? 4? 2 ? ?
? r4 ?

{ ? ?

1 ?1 ? ? ? 2 ? 4? 2 2 2 ?2 ? 0 ? 1 ? 3 ? ? ? 2 ? 4? 2 2 2

?

1 [(? 1 ? ? 2 ) 2 ? (? 2 ? ? 3 ) 2 ? (? 3 ? ? 1 ) 2 ] 2

? ? 2 ? 3? 2 ? ?? ?

第八章

组合变形

目录

第八章
§8-1
§8-2

组合变形

组合变形和叠加原理
拉伸或压缩与弯曲的组合

§8-3
§8-4

斜弯曲
扭转与弯曲的组合



目录

§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例

压弯组合变形

10

目录

§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例

拉弯组合变形
目录

§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例

弯扭组合变形
目录

§8-1 组合变形和叠加原理
叠加原理 构件在小变形和服从胡克定理的条件下, 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的叠加 解决组合变形的基本方法是将其分解为 几种基本变形;分别考虑各个基本变形时构 件的内力、应力、应变等;最后进行叠加。

目录

§8-1 组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲 拉(压)弯组合变形 弯扭组合变形

l

S

F

a

外力分析

内力分析

应力分析
目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合

=

+

10

目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
? t ,max
Fl ? W Fl ?? W

=
? c ,max
? t ,max
F ?c ? ? A

+
? t ,max

? c,max
? c ,max

? t ,max

=

+

? c ,max

Fl F ? [? ] ? ? t W A Fl F ? ? ? ? [? c ] W A

目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例题8-1
铸铁压力机框架,立柱横截面尺寸如图所示,材料的许用拉应力[?t]= 30MPa,许用压应力[?c]=120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。 解:(1)计算横截面的形心、 面积、惯性矩

F F

350

F

350

M
y1

y
z0

z1

FN

A ? 15000 mm 2 z0 ? 75mm z1 ? 125 mm
I y ? 5.31 ?10 7 mm 4
50 (2)立柱横截面的内力

150 50 150

FN ? F M ? F ? 350 ? 75 ? ? 10 ?3
? 425 F ? 10 ?3 ? N ? m ?
目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
A ? 15000 mm 2

z0 ? 75mm

I y ? 5.31 ?10 7 mm 4 z1 ? 125 mm
F

FN ? F M ? 425 ?10 ?3 F ?N.m ?
Mz0 FN ? Iy A

(3)立柱横截面的最大应力

350

? t . max ?

M
FN

425 ? 10 ?3 F ? 0.075 F ? ? 5.31 ? 10 ?5 15 ? 10 ?3 ? 667 F ?Pa ?

? c. max ?

Mz1 FN ? Iy A

? t .max

? c.max

425 ? 10 ?3 F ? 0.125 F ? ? 5.31 ? 10 ?5 15 ? 10 ?3 ? 934 F ?Pa ?
目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
F

350

? t . max ? 667 F ? c. max ? 934 F
M
FN
(4)求压力F

? t . max ? 667 F ? ?? t ?

?? t ? ? 30 ?10 6 F?
667 667

? 45000 N

? c.max ? 934 F ? ?? c ?

? t .max

? c.max

?? c ? ? 120 ?10 6 F?
934 934
目录

? 128500 N

许可压力为 ? 45000 N ? 45kN F

§8-3

斜 弯 曲

平面弯曲

斜弯曲

目录

§8-3

斜 弯 曲
Fy ? F cos ? Fz ? F sin ?
(1) 内力分析
坐标为x的任意截面上
M z ? Fy (l ? x) ? F (l ? x) cos ? M y ? Fz (l ? x ) ? F (l ? x ) sin ?

固定端截面

M z max ? Fl cos ?
x

M y max ? Fl sin ?
目录

§8-3

斜 弯 曲
(2) 应力分析
x 截面上任意一点(y,z) 正应力

y cos ? z sin ? ? F (l ? x)( ? ) Iz Iy

Mz y M yz ?? ? Iz Iy

§8-3
中性轴上

斜 弯 曲
y0 cos ? z0 sin ? ? ?0 Iz Iy y0 Iz tan ? ? ? ? tan ? z0 Iy

中性轴方程

y0 cos ? z0 sin ? ? ? F (l ? x)( ? )?0 Iz Iy

目录

§8-3
? t max

斜 弯 曲
固定端截面

? t max ?

My

max

Wy My Wy

?

Mz

max

Wz Mz
max

? c max ? ?
? c max

max

?

Wz

强度条件:
D1点: D2点:

? t ,max ? [? t ]

? c,max ? [? c ]
目录

§8-3

斜 弯 曲
挠度:

f ?

f y2 ? f z2

fz

fy ?

Fy l 3 3 EI z

Fz l 3 fz ? 3 EI y

fz Iz tan ? ? ? tan? fy Iy

f

fy

矩形

I y ? Iz ? ??
斜弯曲

正方形

Iy ? Iz
? ??
平面弯曲

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
l
S平面
T y
1 4

S

F a
1

z
2 3

x Mz

Fa

T M
Fl

?? ? ???

τ ?

T Wp

σ ?

Mz Wz
τ ?
目录

3
T Wp

σ ??

Mz Wz

§8-4 扭转与弯曲的组合
1
T τ? Wp
Mz σ? Wz
T τ? Wp

3
σ?? Mz Wz

? max
M ?? W T ?? Wp

? min

? x ?? y 1 2 2 ? ? ?? x ? ? y ? ? 4? xy 2 2 ? 1 2 ? ? ? ? 4? 2 ? 0 2 2 ? x ?? y 1 2 2 ? ? ?? x ? ? y ? ? 4? xy 2 2 ? 1 2 ? ? ? ? 4? 2 ? 0 2 2
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
M ?? W

T ?? WP

? 1 2 ? 1 ? ? ? ? 4? 2 2 2 ?2 ? 0 ? 1 2 ? 3 ? ? ? ? 4? 2 2 2

第三强度理论:

圆截面
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
? 1 2 ? 1 ? ? ? ? 4? 2 2 2 M ?? ?2 ? 0 W T ? 1 2 ?? ? 3 ? ? ? ? 4? 2 Wp 2 2 第四强度理论:

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形

1 ? r3 ? M 2 ? T 2 ? [? ] 第三强度理论: W 1 ? r4 ? M 2 ? 0.75T 2 ? [? ] 第四强度理论: W
式中W 为抗弯截面系数,M、T 为轴危险截面

的弯矩和扭矩

W?

?d

3

W?

?D

3

32

32

?1 ? ? ?
4
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
例题8-2 传动轴左端的轮子由电机带动,传入的扭转力偶矩Me=300Nm。两轴承 中间的齿轮半径R=200mm,径向啮合力F1=1400N,轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径d。

150

200

解:(1)受力分析,作计算简图

目录

§8-4
300 N.m

扭转与弯曲的组合
F2 R ? M e
M e 300 F2 ? ? ? 1500 N R 0.2
(2)作内力图

1400 N

1500 N
200
150

128.6N.m

300 N.m

危险截面:E 左处

T ? 300 N.m
2 M ? M y ? M z2 ? 176 N.m

120 N.m

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
(3)应力分析,由强度条件设计d

??
??
T Wp

M W

M 2 ?T 2 ? r3 ? ? ?? ? W

? r4

M 2 ? 0.75T 2 ? ? ?? ? W
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
? r3 ?
M ?T ? ?? ? W
2 2

W?

?d

3

32

d ?3

32 M ? T
2

2

? ?? ?

?3
?3

32 176 2 ? 300 2 6 ? ? 100 ? 10

? 32.8 ?10 m ? 32.8mm
目录

小结
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握斜弯曲和拉(压)弯组合变形杆件

的应力和强度计算
3、了解平面应力状态应力分析的主要结论 4、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度

条件和强度计算
目录

第九章
压杆稳定

第九章
§9.1 §9.2 §9.3
§9.4 §9.5 §9.6

压杆稳定

压杆稳定的概念 两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下细长压杆的 临界压力
欧拉公式的适用范围 经验公式 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施



§9.1 压杆稳定的概念
在材料力学中,衡量构件是否具有足够的承载能力,要从三个方面来 考虑:强度、刚度、稳定性。

稳定性 — 构件在外力作用下,保持其原有 平衡状态的能力。

目录

§9.1 压杆稳定的概念
工程实际中有许多稳定性问题,但本章主要讨论压杆稳定问题,这类问 题表现出与强度问题截然不同的性质。

F

目录

§9.1 压杆稳定的概念

不稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来的 平衡位置

稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平衡 位置,但扰动撤销后小球回复到平衡 位置

目录

§9.1 压杆稳定的概念

压力小于临界力

压力大于临界力

压力等于临界力

目录

§9.1 压杆稳定的概念
压力等于临界力 压杆的稳定性试验

压杆丧失直线 状态的平衡,过渡 到曲线状态的平衡。 称为丧失稳定,简 称失稳,也称为屈 曲

目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的 最小轴向压力。

弯矩

M ? ?Fw



挠曲线近似微分方程 则 通解

目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力

边界条件: 若 则 (与假设矛盾)

所以

目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力

w



时,

临界压力 欧拉公式

挠曲线方程 得

w
目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
----欧拉公式
1、适用条件: ?理想压杆(轴线为直线,压力与轴线 重合,材料均匀) 2、

1 Fcr ? 2 l
杆长,Fcr小,易失稳

?线弹性,小变形
?两端为铰支座 3、在 Fcr作用下,

Fcr ? EI

刚度小,Fcr小,易失稳

k?

?
l

, w ? A sin

?x
l

挠曲线为一条半波正弦曲线 即 A 为跨度中点的挠度
目录

l x ? ,w ? A 2

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
例题
解:

截面惯性矩

临界压力

? 269 ?10 N ? 269kN
3
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
对于其他支座条件下细长压杆,求临界压力有两种方法: 1、从挠曲线微分方程入手 2、比较变形曲线
B

l

A

l
C

一端固定一端自由

Fcr ?

? 2 EI
( 2l ) 2
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力

Fcr
B D
l 2
l 4

Fcr
B

0.7l

l
C A
2

C A
l 4

两端固定 Fcr ?

? EI
(0.5l ) 2

一端固定 F ? 一端铰支 cr (0.7l ) 2
目录

? 2 EI

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
y

F

O

?
x

两端铰支

F

x

l

? 2 EI Fcr ? (l ) 2

π 2 EI 欧拉公式的普遍形式: Fcr ? 2 ( ?l )

?

长度系数(无量纲)

?l 相当长度(相当于两端铰支杆)
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力

目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 1、临界应力

? E ? cr ? 2 ?
2
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
?

{i

l ?

杆长 约束条件 截面形状尺寸

形状尺寸对

?集中反映了杆长、约束条件、截面
的影响。

? cr

2、欧拉公式适用范围 2 ? E 当 ? ?? p cr ? 2

?



??

? 2E ?p



?1 ?

? ? ?1 ? 2E ? p 欧拉公式只适用于大柔度压杆
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 3、中小柔度杆临界应力计算


? s ? ? cr ? ? p



?2 ? ? ? ?1 (中柔度杆)
a、b — 材料常数

经验公式
(直线公式)

? cr ? a ? b?
a ?? s ?? b

? cr ? ? s



a ?? s ?2 ? b

? ? ?2 (小柔度杆)

? cr ? ? s
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
?压杆柔度

??

?l
i

μ四种取值情况, i ?
? P — 比例极限
? s — 屈服极限

I A

? 2E ? ? ?1 欧拉公式 (大柔度杆) ? cr ? 2 ? ?1 ? ? ? ?2 (中柔度杆) ? cr ? a ? b? 直线公式

? 2E ?临界柔度 ?1 ? ?P a ?? s ?2 ? b ?临界应力

? ? ?2

(小柔度杆 )

? cr ? ? s

强度问题
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
临界应力总图

?2

?1
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式

?l i
Fcr ? ? cr ? A

?l

?

目录

§9.5

压杆的稳定校核

Fcr F ? [F ] ? nst
工作安全系数 或

nst— 稳定安全系数
? cr ? nst n? ?
Fcr ? nst n? F

压杆稳定性条件

Fcr ? nst n? F

Fcr

— 压杆临界压力

F—

压杆实际压力
目录

§9.5

压杆的稳定校核
例题 已知拖架D处承受载荷 F=10kN。AB杆外径D=50mm, 内径d=40mm,材料为Q235钢, E=200GPa, ?1 =100,[nst]=3。 校核AB杆的稳定性。
解: CD梁

?M

C

?0

F ? 2000 ? FN ? sin 30? ?1500

得 FN ? 26.6kN
AB杆

??
l? 1.5

?l
i
?

? ?1
? 1.732m
目录

cos30

§9.5

压杆的稳定校核
AB杆

??

?l
i

? ?1
l? 1.5 cos30
I ? A
?

1?1.732 ?10 3 得 ?? ? 108 ? ?1 16
AB为大柔度杆

? 1.732m
? D ?d 4 64 D 2 ? d 2 ?
4 4

? 2 EI Fcr ? ? 118kN 2 ??l ?

i? ?

? ?

? ?

FN ? 26.6kN
Fcr 118 n? ? ? 4.42 ? nst ? 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
目录

D2 ? d 2 ? 16mm 4

§9.5

压杆的稳定校核

例题 千斤顶如图所示,丝杠长度l=37.5cm, 内径d=4cm,材料为45钢。最大起重量 F=80kN,规定的稳定安全系数nst=4。试校 核丝杠的稳定性。

(1)计算柔度 d

l

i?

I ? A

?d 4 ? 4 d 4 ? ? ? 1cm 2 64 ? ?d 4 4

2 ? 37.5 ?? ? ? 75 i 1
查得45钢的?2=60,?1=100,?2<?<?1,属于中柔度杆。

?l

目录

§9.5

压杆的稳定校核

(2)计算临界力,校核稳定 查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝杠临界应力为

? cr ? ?a ? b? ? ? ?589 ? 3.82 ? 75? ? 302 .5MPa
Fcr ? ? cr A ? 302 .5 ?
此丝杠的工作稳定安全系数为

? ? 0.04 2
4

? 381000 N ? 381kN

Fcr 381 n? ? ? 4.76 ? 4 ? nst F 80
校核结果可知,此千斤顶丝杠是稳定的。

目录

§9.5
例题

压杆的稳定校核

F

截面为12?20cm2,l = 7m, E = 10GPa, 试求木柱的临界压力和临界 应力。

F

?1 ? 110
y z 12cm 20cm

解: (1)计算xoz平面的临界力

7m

和临界应力 如图(a),截面的惯性矩应为

7m

z 12cm

y 20cm

12 ? 20 3 Iy ? ? 8000 cm 4 12 Iy 8000 惯性半径为 i y ? ? ? 5.77 cm A 12 ? 20
两端铰支时,长度系数

? ?1
目录

§9.5
其柔度为

压杆的稳定校核
?l 1? 700 ?? ? ? 121 ? ?1 ? 110 iy 5.77

因 ? >?1 故可用欧拉公式计算。

F

Fcr ?

? 2 EI y

F

??l ?2

20cm

? cr ?

? E ?2
2

7m

z 12cm

12cm

7m

3.14 2 ? 10 ? 10 9 ? 8 ? 10 ?5 ? ? 161kN 2 ?1? 7 ?

y

z

y 20cm

3.14 2 ? 10 ? 10 9 ? ? 6.73MPa 2 121
目录

§9.5

压杆的稳定校核
F F

(2)计算xoy平面内的临界力 及临界应力。 如图(b),截面的惯性矩为

20 ?12 Iz ? ? 2880 cm4 12 相应的惯性半径为
3

y

z
12cm

20cm

7m

7m

z 12cm

y 20cm

iz ?

Iz 2880 ? ? 3.46 cm A 12 ? 20

两端固定时长度系数 柔度为

? ? 0.5
?l

0.5 ? 700 ?? ? ? 101 ? ?1 ? 110 iz 3.46
目录

§9.5


压杆的稳定校核

应用经验公式计算其临界应力,查表

F

F

a ? 29.3MPa, b ? 0.194

y 20cm 12cm



7m

? 29.3 ? 0.194 ?101 ? 9.7MPa
临界压力为

7m

? cr ? a ? b?

z

z 12cm

y 20cm

? 9.7 ?10 6 ? ?0.12 ? 0.2? ? 232 .8kN
木柱的临界压力 临界应力

Fcr ? ? cr A

Fcr ? 161kN
? cr ? 6.73MPa
目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施

? 2 EI Fcr ? 2 ( ?l )
Fcr 越大越稳定
?减小压杆长度 l

欧拉公式

?减小长度系数μ(增强约束) ?增大截面惯性矩 I(合理选择截面形状) ?增大弹性模量 E(合理选择材料)

目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施
?减小压杆长度 l

目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施

?减小长度系数μ(增强约束)

目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施

?增大截面惯性矩 I(合理选择截面形状)

目录

小结
1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界
载荷的概念 2、掌握压杆柔度的计算方法,以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则

3、熟知压杆临界应力总图,能根据压杆的
类别选用合适的公式计算临界应力 4、掌握简单压杆的稳定计算方法 5、了解提高压杆稳定性的主要措施
目录

第十章 动载荷

第十章 动载荷
§10-1 概述

§10-2 动静法的应用
§10-4 杆件受冲击时的应力和变形

§10-1 概



静载荷: 载荷由零缓慢增加至最终值,然后保持不变。
动载荷: 载荷随时间变化而变化。

在动载荷作用下,构件内部各点均有加速度。

构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。

实验证明,在动载荷作用下,如构件的应力不超过比例极限,

胡克定律仍然适用于动载荷下应力、应变的计算,弹性模量与
静载下的数值相同。
目录

§10-2 动静法的应用
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车,现在问3个问题

1.物体离开地面,静止地由绳索吊挂

l

2.物体匀速地向上提升
3.物体以加速度a向上提升

求这3种情况下的绳索应力?

目录

1. 物体离开地面,静止地由绳索吊挂
P
Q

绳子:

? st

Q ? A

Q Q
2. 物体匀速地向上提升

? 与第一个问题等价
目录

3. 物体以加速度a向上提升

FNd

? 按牛顿第二定律
或者说,按达郎伯原理(动静法):质点上所有外力同惯 性力形成平衡力系。 惯性力大小为ma,方向与加速度a相反

a
Q

FNd ? Q ?

Q a?0 g

a FNd ? Q(1 ? ) ? kd Q g
——动荷系数

其中
动应力

a kd ? (1 ? ) g

FNd Q ? kd ? kd? st ? 绳子动载应力(动载荷下应力)为:? d ? A A
目录

例10-1:吊笼重量为Q;钢索横截面面积为A,单 ? 位体积的重量为 ,求吊索任意截面上的应力。
解:

Fst ? ? Ax ? Q

a
a?Q?

FNd ? ? Ax ?

Q a g g a ? ?Q ? ? Ax ? ? ?Q ? ? Ax ? g ? a? ? ? Q ? ? Ax ?? 1 ? ? g? ? ? a? ? Fst ?1 ? ? ? g? ? ?
a —动荷系数 g

? Ax

F Nd
F st

x

?Ax

x

?Ax ? ? A x a
g

Kd ? 1 ?

FNd ? K d ? Fst

? d ? K d ? ? st

Q

Q Q? ga

二、构件作等速转动时的应力计算
薄壁圆环,平均直径为D,横截面面积为A,材料单位体积的重量为γ,以匀角速 度ω转动。

?

目录

A? D? 2 A? D? 2 qd ? ? g 2 2g

FNd

FNd

FNd

qd D A? D2 ? 2 ? ? 4g 2

FNd ? D2 ? 2 ? v2 ? ?d ? ? g 4g A

强度条件:? d ?

? v2
g

? [? ]

从上式可以看出,环内应力仅与γ和v有关,而与A无关。所以, 要保证圆环的强度,应限制圆环的速度。增加截面面积A,并 不能改善圆环的强度。

目录

§10-4

杆件受冲击时的应力和变形

目录

冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其加

速度a很难测出,无法计算惯性力,故无法使用动静法。在实用
计算中,一般采用能量法。
在计算时作如下假设: 1.冲击物视为刚体,不考虑其变形; 2.被冲击物的质量可忽略不计; 3.冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动; 4.不考虑冲击时热能的损失,即认为只有系统动能与势能 的转化。

?d

?a ?
目录

?b ?

设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为

T

动能T

根据机械能守恒定律,冲击物的动能T和势能V的变化应等于 弹簧的变形能 ,即

?d

V? d

T ? V ? V? d
1 V? d ? Fd ? d 2

?a ?

V ? Q? d

? b?

1 Q(h ? ? d ) ? Fd ? d 2
?d Q ? st

在线弹性范围内,载荷、变形和应力成正比,

即:

Fd ? d ? d ? ? Q ? st ? st

?a ?

?b ?

?Fd ?

1 ?2 d V? d ? Q 2 ? st

?c?
目录

V ? Q? d

? b?

T ? V ? V? d

?a ?

1 ?2 d V? d ? Q 2 ? st

?c?

将(b)式和(c)式代入(a)式,得:

2T ? st ? d ? 2? st ? d ? ?0 Q
2

?

? 2T ? d ? ? st ? 1 ? 1 ? ? Q? st ?

? ? ? ?

2T 2h Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? Q ? st ? st

?

Fd ? d ? d ? ? ? Kd Q ? st ? st

? Fd ? K d Q

? d ? K d ? st

? d ? K d ? st
目录

此时T=0 当载荷突然全部加到被冲击物上,

Kd ? 1 ? 1 ?

2T Q ? st

?2

Q

由此可知,突加载荷的动荷系数是2,这时所引 起的应力和变形都是静荷应力和变形的2倍。 1.若已知冲击物自高度 h 处无初速下落,冲击

物与被冲击物接触时的速度为v

Qv T? 2g

2

h

2T v Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? Q? st g ? st

2

Q

2.若已知冲击物自高度 h 处以初速度

v 0下落,则
h

v 2 ? v0 2 ? 2 gh
v2 v 0 ? 2 gh Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? g ? st g ? st
2

Q

3.当构件受水平方向冲击
1Q 2 v V ?0 2 g 1 ?d 1 Q ? Q? d ? ?d 2 U d ? Fd ? d 2 ? st 2 ? st 2 1Q 2 Q Fd ? d 2 ? v ? ?d Q ? st 2 g 2 ? st T?

v

?d

Q

?d ?

v2 ? ? st g ? st

Kd ?

v2 g ? st

例10-2:等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为 W,重
物Q自由下落时,求刚架内的最大正应力(不计轴力)。

解:

? st

4Q a 3 ? 3E I

? st max

Qa ? W
a a

Q h

3EIh 2h ? 1? 1? Kd ? 1 ? 1 ? ? st 2Qa 3

? d max ? ? Kd ? st max

Q
Qa Qa

? ? d max ? Kd? s max
? 3EIh ? ?1 ? 1 ? ? 2Qa 3 ? ? Qa ? ?W ?

a a

目录

例10-3:重物Q自由落下冲击在AB梁的B点处,求B点的挠度。
解:

? st

Ql3 4Q l 3 ? ? 3 E I E bh 3
l

h b

E b h4 2h Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? ? st 2 Ql 3

? Ebh4 wB ? ? d ? Kd ? ? st ? ?1 ? 1 ? 3 ? 2Ql ?

? 4Ql 3 ? ? Ebh3 ?
目录

例10-4:图示钢杆的下端有一固定圆盘,盘

上放置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩
短0.625mm。钢杆直径d=40mm, l =4m,许用 应力[σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下,求其许可高度h。
l

解:? st ? 15 ? 0.625 ? 10 ?3 ? Q l ? 9.62 ? 10 ?3 m EA
Kd ? 1 ? 1 ? 2h ? st

? st

Q 15 ? 10 3 ? ? ? 12 MPa 2 A ?d 4

? 2h ? ? d ? K d ? ? st ? ? 1 ? 1 ? ? ? 12 ? [? ] ? 120 ? ? st ? ? ?

h ? 0.385m=385 mm

第十一章

交变应力

第十一章

交变应力

§11-1 交变应力与疲劳极限 §11-2 影响持久极限的因数

目录

§11-1 交变应力 疲劳极限
动响应=Kd ×静响应 1、构件有加速度时动应力计算 (1)直线运动构件的动应力

Kd

(2)水平面转动构件的动应力
2、构件受冲击时动应力计算 (1)自由落体冲击问题

Kd

a ? 1? g a ? n g
2h ) Δst

K d ? (1 ? 1 ?
Kd ? v2 g? st
目录

(2)水平冲击问题

交变应力的基本参量

在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线,称为应力谱。 随着时间的变化,应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化, 应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环。

?

一个应力循环

Δ?

? max ? min
O t

目录

通常用以下参数描述循环应力的特征 (1)应力比 r
r = -1 :对称循环 ;

r?

? min ? max

r = 0 :脉动循环 。

r < 0 :拉压循环 ; r > 0 :拉拉循环 或压压循环。

(2)应力幅

??

?? ? ? max ? ? min
? m ? (? max ? ? min )
1 2

(3)平均应力

?m

一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 ?m 上叠加一个应力幅为 ?? 的对称循环应力组合构成。

目录

疲劳极限

将若干根尺寸、材质相同的标准试样,在疲劳试验机上依次进行r = -1 的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅 ?? 均不同,因此疲劳破坏所经历 的应力循环次数N 各不相同。 以 ?? 为纵坐标,以N 为横坐标(通常为对数坐标),便可绘出该材料的应 力—寿命曲线即S-N 曲线如图(以40Cr钢为例) 注:由于在r =-1时,?max = ??/2,故S-N 曲线纵坐标也可以采用?max 。
850

? max/MPa

750 650 550
4 10 5 10 6 10 7 10 8 10

N
目录

850

? max /MPa

750 650 550
4 5 6 7 8

10

10

10

10

10

N 从图可以得出三点结论: (1)对于疲劳,决定寿命的 最重要因素是应力幅?? 。 (2)材料的疲劳寿命N 随应力幅 ?? 的增大而减小。 (3)存在这样一个应力幅,低于该应力幅,疲劳破坏不会发生,该应力幅 称为疲劳极限,记为 ?-1 。

目录

对于铝合金等有色金属,其S-N曲线没有明显的水平部分,一般规定
N 0 ? 5?10 6 ~ 10 7 时对应的
N ? max 称为条件疲劳极限,用? ?10 表示。

对低碳钢,其 其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限

? b ? 400 ~ 500 MPa
(? -1 ) b ? 170 ~ 220 MPa

(? -1 ) t ? 120 ~ 160 MPa

目录

11-4. 影响持久极限的因数
1.构件外形的影响 构件外形的突然变化,例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等,将引起应力集中

有效应力集中因数

K?

?? ?1 ?d ? ?? ?1 ? K
? max ?n



K? ?

?? ?1 ?d ?? ?1 ? K

理论应力集中因数

K? ?

目录

2.零件尺寸的影响——尺寸因数

??

(? ?1 ) d

? ?1

(? ?1 ) d 光滑零件的疲劳极限

? ?1 试样的疲劳极限

查看表11.1 尺寸因数 3.表面加工质量的影响——表面质量因数

??

(? ?1 ) ?

? ?1

? ?1

磨削加工(试样)

?? ?1 ??

其他加工

一般情况下,构件的最大应力发生于表层,疲劳裂纹也多于表层生成。表面 加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中,降低持久极限。所以表面加工质量对 持久极限有明显的影响。
看表11.2 不同表面粗糙度的表面质量因数

?
目录

第十三章

能量法


§13-1 概

在弹性范围内,弹性体在外力作用下发
生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性应变能,

简称应变能。
物体在外力作用下发生变形,物体的变

形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位
移上所做的功,即

V?

=W

§13-2 杆件变形能计算
一、轴向拉伸和压缩

1 Fl 1 V? ? W ? F ? ?l ? F 2 EA 2
F l FN l ? ? 2 EA 2 EA
FN ( x) V? ? ? dx 2 EA( x ) l
2

F

2

2

F
?l ?l

二、扭转
m
??

m
??
2

??
2

M el M e l 1 1 T l ? ? V? ? W? M e ? ?? ? M e 2 G I p 2G I p 2G I p 2 2 T ( x) V? ? ? dx 2G I p ( x) l

三、弯曲

V? ? W 2 2 纯弯曲:? 1 M e ?? ? 1 M e M e l ? M e l ? M l 2E I 2E I 2 EI 2

横力弯曲:V ? M ( x ) dx ? ? 2 E I ( x) l

2

13-3 变形能的普遍表达式
F3
F2

F1

?1

?2 ?3

1 1 1 V? ? W ? F1?1 ? F2? 2 ? F3? 3 ? ? 2 2 2
即:线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的
总和。

M (x)
N (x)

M (x)
N (x)

T (x)
2

T (x)
2 2

FN ( x)dx M ( x)dx T ( x)dx V? ? ? ?? ?? 2 EA 2 EI 2GI P L L L
所有的广义力均以静力方式,按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移 整个力系有关,但与其相应的广义力 呈线性关系。 ?
i



Fi

例:试求图示悬臂梁的应变能,并利用功
能原理求自由端B的挠度。
F

解:

M ( x) ? ? F ? x
l

x

M 2 ( x) F 2l 3 V? ? ? dx ? 2E I 6 EI l

1 W ? F ? wB 2

由V? ? W,得 wB ? Fl 3EI

3

例题:悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。设EI为常数,试求 梁的应变能。

解: ⑴ 弯矩方程 B F A

M ( x) ? M e ? Fx
⑵ 变形能

Me
L

M 2 ( x) 1 V? ? ? dx ? ? ( M e ? Fx) 2 dx 2 EI 2 EI L L M e2 L M e FL2 F 2 L2 ? ? ? 2 EI 2 EI 6 EI

B

F A M0 L

⑶ 当F和M0分别作用时

MeL V? 1 ? 2 EI

V? 2

F 2 L3 ? 6 EI

V? 1 ? V? 2 ? V?

⑷ 用普遍定理

FL3 M e L2 wA ? (wA ) F ? (wA ) M 0 ? ? 3EI 2 EI FL2 M e L ? A ? (? A ) F ? (? A ) M e ? ? 2 EI EI 1 1 F 2 L3 M e F 2 M e2 L V? ? W ? FwA ? M e? A ? ? ? 2 2 6 EI 2 EI 2 EI

§13-4 互等定理
F1
?1

F2
?2

F1
? 11

?i j
荷载作用点

? 21

?位移发生点

F2
? 12

? 22

F1
? 11

F2
? 21

? 12

? 22

先作用F1,后作用F2,外力所作的功: 1 1 Ve ? F1? 11 ? F2? 22 ? F1? 12 2 2 先作用F2,后作用F1,外力所作的功:

1 1 Ve ? F2? 22 ? F1? 11 ? F2? 21 2 2

功的互等定理:

F1 ? 12 ? F2 ? 21

若F1 ? F2,则得
位移互等定理:

? 12 ? ? 21

例:求图示简支梁C截面的挠度。

F

? B2

wC1

解:由功的互等定理F ? wC1 ? M ? ? B 2

得:F ? wC1

Fl ?M? 16 E I Ml ? 16 E I
2

2

由此得:wC1

例:求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移? C 。

wC1
F

? B2

解:由功的互等定理F ? wC1 ? M ? ? B 2

?l? F? ? ?2? 得:F ? wC1 ? M ? 2E I 2 Ml 由此得: wC1 ? 8E I

2

13-5 卡氏定理
F3
F2

F1

?1

?2 ?3
?i

1 1 1 V? ? W ? F1? 1 ? F2? 2 ? F3? 3 ? ? 2 2 2

? ?Fi

若只给 Fi 以增量 ,其余不变,在?Fi 作用下,原各力作用点将 产生位移?? , ?? ,??, ?? ,??
1 2 i

变形能的增加量:

1 ?V? ? ?Fi ?? i ? F1?? 1 ? F2 ?? 2 ? ? ? Fi ?? i ? ? 2

略去二阶小量,则:

?V? ? F1?? 1 ? F2 ?? 2 ? ? ? Fi ?? i ? ?
如果把原有诸力看成第一组力,把 ?Fi 看作第二组力,根据互等 定理:

?Fi ? i ? F1?? 1 ? F2 ?? 2 ? ? ? Fi ?? i ? ?
所以:?V
?

? ?Fi ? ? i

?V? ? ?i ?Fi
卡氏第二定理

?Fi ? 0

?V? ? ?i ?Fi

变形能对任一载荷Fi 的偏导数,等于Fi作用点沿Fi方向的位移

推导过程使用了互等定理,所以只适用线弹性结构。

横力弯曲:

?V? ? M 2 ( x) ?i ? ? (? dx) ?Fi ?Fi L 2 EI M ( x) ?M ( x) ?? ? dx EI ?Fi L

桁架杆件受拉压:

V? ? ?
j ?1

n

FN j L j 2 EA j

2

n F L ?V? N j j ?FN j ?i ? ?? ? ?Fi ?Fi j ?1 EA j

轴受扭矩作用:

?V? T ( x) ?T ( x) ?i ? ?? ? dx ?Fi L GI P ?Fi

13-6 单位载荷法 莫尔积分
F1 F2

C
?

F1 F2
C

M ( x)

M ( x) V? ? ? dx 2E I l

2

F0 ? 1
C

M ( x)

0

V? 0

[ M ( x)] ?? dx 2E I l

0

2

F1 F2

F0

M ( x) ? M 0 ( x)
C

[( M ( x) ? M 0 ( x)] 2 V? 1 ? ? dx 2E I l

V? 0 ? ? 共做功 ? F1、F2 作功: V? ? W1 ? V? 0 ? V? ? 1 ? ? ? 1? ? F0 在?上又作功: ? ?
F1 F2
F0 ? 1

F0 作功:

C

?

W1 ? V? 1

[( M ( x) ? M 0 ( x)] 2 V? 0 ? V? ? 1 ? ? ? ? dx 2E I l
?

?
l

M ( x) M 0 ( x) M 2 ( x) [ M 0 ( x )]2 dx ? ? dx ? ? dx 2E I 2E I EI l l

M Mxx)MMx) ( x ) (( ) ( ? ? 1?? ? ? ? E I dx dx EI l
0 l

0

??

?
l l

M ( x) M ( x) dx 莫尔定理 EI (莫尔积分) M ( x) M ( x) dx EI
0

0

???
对于组合变形:

FN ( x) FN ( x) T ( x)T 0 ( x) M ( x)M 0 ( x) ??? dx ? ? dx ? ? dx EA GI p EI l l l

0

注意:上式中?应看成广义位移,把单位力看成与广 义位移对应的广义力

例:试用莫尔定
理计算图(a)所示
A
l

F
x
B

悬臂梁自由端B
的挠度和转角。
A

1
B

x

1
A B

x

解:)在B截面作用一单位力 如图(b)所示 (1 , M ( x) ? ? Fx,
vB ?

M 0 ( x) ? ? x
0
l

?
l

2 3 M ( x) M ( x) Fx Fl dx ? ? dx ? ? EI EI 3EI 0

??

(2)在B截面作用一单位力偶, 如图(c)所示 M ( x) ? ? Fx, M ( x) ? ?1
0

?B ? ?
l

M ( x) M ( x) Fx dx ? ? dx EI EI 0

0

l

Fl ? ? 2 EI

2

?

§13-7计算莫尔积分的图乘法
在应用莫尔定理求位移时,需计算下列

形式的积分:

M ( x)M ( x ) ??? dx EI l
对于等直杆,EI=const,可以提到积分号外,

故只需计算积分

? M ( x)M ( x)dx
l

直杆的M0(x)图必定是直线或折线。

? M ( x)M ( x)dx
l

? tg? ? ? x ? M ( x)dx
l

? tg? ? ? ? xC

???MC
M ( x) ? x ? tg?

M ( x)M ( x) ??? dx EI l ?

?M C
EI

顶点

顶点

2 ? ? lh 3
二次抛物线

1 ? ? lh 3

例:试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。
解(1)求自由端的挠度

F

wB ? ?

?
l

M ( x)M ( x) dx EI

L F

?M C

Fl

EI 1 ? Fl 2 2l ? ? ? ? 2 3 ? ? EI ? ? Fl 3 ?? ? ? 3E I

F

(2) 求自由端的转角

Fl
m=1

? Fl 2 ? 1 ? ?B ? ? 1? ? EI ? 2 ? ?

Fl ?顺时针? ? 2E I

2

例:试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大
转角。
q

解(1)简支梁的最大挠度

l
M

ql 2 / 8

wmax

? 2 l ql 2 5l ? 2 ? ? ? ? ? ? E I ? 3 2 8 32 ? ? ?

l/4

5ql ? 384 E I

4

???

(2)求最大转角 最大转角发生在两个支座处

? max

2 ?2 1 ql 1? ? ?l ? ? ? ? EI ? 3 8 2? ? ?

ql / 8

2

ql ? 24 E I

3

例:试用图乘法求所示简支梁C截面的挠
度和A、B截面的转角。

CL12TU34

解:

1 wC ? EI

?l2 M ? ? ? ? ?8 2 ? ? ?
2

ml ?? ? ? 16 E I
l/4

?A

1 ? EI

? ml 1? ? ? ? ? 2 3?

ml ? 6E I

? 顺时针?

?B

1 ? ml 2 ? ? ? ? ? E I ? 2 3?

ml ? 3E I

? 逆时针?

例:试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的
挠度和转角。

CL12TU35

解:

1 wB ? EI

? l ql 2 3l ? ? ? ?3 2 ? 4 ? ? ? ?
4

ql ? 8E I

???

ql 2 2

?B

? l ql 2 ? 1 ? ? 1? ? ? EI ?3 2 ?
3

ql ? 6E I

? 顺时针 ?

ql 2 2

例:试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的
铅垂位移。

CL12TU36

解:

1 wC ? EI

?l2 ? ? ? m? ?8 ? ? ?

ml ? 8E I

2

???

例:图示梁,抗弯刚度为EI,承受均布载 荷q及集中力X作用。用图乘法求:
(1)集中力作用端挠度为零时的X值; (2)集中力作用端转角为零时的X值。
F

CL12TU37

解:(1)
ql 2 / 8

F

1 ? Fal 2a Fa 2 2a ql 3 a ? ? ?C ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 12 ? 2 ? ? EI ? ?

?0
ql 3 F? 8a (l ? a )

(2)
ql / 8
2

1 ?C ? EI

? Fal 2 Fa 2 ql 3 1 ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 12 ? 2 ? ? ? ?

?0
ql 3 F? 4a ( 2l ? 3a )

例:图示梁的抗弯刚度为EI,试求D点的
铅垂位移。

CL12TU38

解:

? Pa 2 2a ? Pa 3 3 ? ?C ? ? 2 ? 3 ?? ? EI ? EI ?

例:图示开口刚架,EI=const。求A、B
两截面的相对角位移 θ
AB

和沿P力作用线方向

的相对线位移 ΔAB 。

CL12TU39

解:

? AB

2 Pa 3 ? 1 1 1 1? ? ? ? ?2? ? ? EI ?8 3 2 2?

2 Pa ? 3EI

3

? AB ? 0

例:用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转
角及E截面的挠度。

CL12TU40

解:

?A

Pa 2 ? EI

? 1 5 1 1? ? ? ? ? ? ? 2 6 2 6?
2

Pa ? 1? ? ?2 ? ? 2E I ? 2?

Pa 2 ? EI

Pa ? 1 1 ? ?E ? ? ? ? 2? EI ? 2 3 ?
3

Pa ? 2EI

3

?3 ? ? ? 1? ?2 ?

13 Pa 3 ? 12 EI

例:图示刚架,EI=const。求A截面的水
平位移 ΔAH 和转角θ
A



CL12TU41

解:? AH

qa 4 ? EI
qa 2

1 2 1 5? 3qa 4 ? ??? ? ? ? ? ?? ? 4 3 3 8? 8E I

qa 2 2

qa qa / 2

第十四章

超静定结构

第十四章

超静定结构

14-1
14-2 14-3

超静定结构概念
用力法解超静定结构 对称及反对称性质的利用

目录

14-1 超静定(静不定)结构概述 在超静定系统中,按其多余约束的情况,可以分为: 外力超静定系统和内力超静定系统。 外力超静定: 支座反力不能全由平衡方程求出; 内力超静定: 支座反力可由平衡方程求出,但杆件 的内力却不能全由平衡方程求出.
目录

例如
P
C

P
C
a

a

B

Pl
A
B

A

目录

我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。 求解超静定系统的基本方法是:

解除多余约束,代之以多余约束反力然后
根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程

进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构,称为原 超静定系统的基本静定系统或相当系统。 (本章主要学习用力法解超静定结构)
目录

§14-2 用力法解超静定结构
在求解超静定结构时,
代之以多余约束力, 一般先解除多余约束,

得到基本静定系,

再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。

我们把这种以“力”为未知量,求解超静定的方法 称为“力法”。

目录

例如: 该体系中多出一个外部约束,为一次超静定梁
A a
C

解除多余支座B,并以多余约束X1代替
X1
A
C

B

B
F

a

l

F

l

若以

?1 表示B端沿竖直方向的位移,则:
A C F
?1F

?1 ? ?1F ? ?1X 1 ? 0

(*)
X1

A

C

B

B ? 1X 1

?1F 是在F单独作用下引起的位移

?1 X 1 是在X1单独作用下引起的位移
目录

1 A
C

B ?11

对于线弹性结构,位移与力成正比,X1是单位力“1”的X1倍,故?
的X1倍,即有

1X1

也是 ?

11

?1 X1 ? ?11 X 1

所以(*)式可变为:

? 11 X 1 ? ?1F ? 0
? 1F Fa 2 ?? (3l ? a) 6 EI

若:

l3 ? 11 ? 3EI
于是可求得

Fa 2 X 1 ? 3 (3l ? a) 2l
目录

例14.1:试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。 q 解: B
a
C

a

D

? 4a 3 1 ? a 2 2a 2 ? ? ? 11 ? ? 2 3 ? a ? a ? ? 3EI ? EI ? ?

X1
B

a
A

q

? 1P

? 1 ? qa qa ? ?? ? 2 ? a ? ? ? 2 EI ? EI ? ?
3 4

1

a

C

a

D

a A

由? 11 X 1 ? ?1P

3qa ? 0 得 X1 ? 8

a a

3qa ? X B ? 0, YB ? 8
11qa X A ? 0, YA ? 8

???
qa 2 MA ? 8

???,

?逆时针?
目录

qa 2 2

qa 2 2

例14.2:两端固定的梁,跨中受集中力P作用,设梁的抗弯刚度 为EI,不计轴力影响,求梁中点的挠度。
P
A
B

C

1 l 解: ? 11 ? ?l ?1? ? EI EI
? 1P 1 ? Pl 2 ? Pl 2 ? ?? ? 8 ? 1? ? ? 8 EI ? EI ? ?

l 2

l 2

P

X1

P 2

由? 11 X 1 ? ?1P ? 0
Pl 得X 1 ? 8

1 Pl 4
P

Pl 2 l Pl 3 Pl 3 ? wC ? ? 2? 8 ? ??? 48EI 16 EI 192 EI

Pl 8

Pl 8

A
C
l 2
目录
l 2

B

例14.3:求图示刚架的支反力。
C

q

q
B

a a

C

B

a

解:

? 11
? 1P

2 ? a 2 2a ? 2a 3 ? ? ?? ? EI ? 2 3 ? 3EI ? ?

a
A

A

1 ? 2 qa 2 a? qa 4 ? ?? ? 3 8 a ? 2 ? ? ? 24 EI ? EI ? ?
a

qa2 8

a
qa 2

由? 11 X 1 ? ?1P ? 0
qa 得X1 ? 16

qa 2

7qa qa qa 9qa ???,YB ? ??? X A ? 16 ???, YA ? 16 ??? ? XB ? 16 16
目录

上面我们讲的是只有一个多余约束的情况! 那么当多余约束不止一个时,力法方程是什么样的呢?

P2

P2

P 1

P 1

P3
X3
X2
目录

P3
X1

变形协调条件 : 作用点沿着 ? i 表示 X i 由叠加原理:

?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 0
方向的位移 X
i

?1 ? ?1X1 ? ?1X 2 ? ?1X 3 ? ?1P ? 0
?1 ? ? 11 X 1 ? ? 12 X 2 ? ? 13 X 3 ? ?1P ? 0
同理

? 2 ? ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ? 2 P ? 0

? 3 ? ? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? ? 3 P ? 0
目录

力法正则方程:

??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ? ? ?1n X n ? ?1F ? 0 ?? X ? ? X ? ? ? ? X ? ? ? 0 ? 21 1 22 2 2n n 2F ? ??????? ? ?? n1 X 1 ? ? n 2 X 2 ? ? ? ? nn X n ? ? nF ? 0 ?

矩阵形式:

??11 ?12 ?? ? 22 ? 21 ?? ? ? ?? n1 ? n 2

? ?1n ? ? X 1 ? ? ?1F ? ? ? 2 n ? ? X 2 ? ?? 2 F ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??0 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? nn ? ? X n ? ? ? nF ? ? ? ? ?

? ii 表示沿着 方向 Xi
? ij 表示沿着 方向 Xi

单独作用时所产生的位移 Xi ? 1 单独作用时所产生的位移 X j ?1

?iF 表示沿着 方向载荷F单独作用时所产生的位移 Xi
目录

X i ? 1引起的弯矩为 ?
设:

? ? X j ? 1引起的弯矩为 ? 载荷F引起的弯矩为 ?
? ii ? ?
l

Mi
Mj

MF

则:

Mi Mi dx EI

? ij ? ?
l

Mi M j EI

dx

?i F

Mi M F ?? dx EI l
目录

14-3 对称及反对称性质的利用
对称性质的利用:

对称结构:若将结构绕对称轴对折后, 结构在对称轴两边的部分将完全重合。
目录

对称载荷:将对称结构绕对称轴对折后,对称轴两边的载荷完 全重合(即对折后载荷的作用点和作用方向重合,且作用力的

大小也相等)。
P2 P2

P 1

P 1

目录

反对称载荷:将对称结构绕对称轴对折后,对称轴两边的载荷 作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。

P2

P2

P 1

P 1

目录

P

P 2

P 2

P

P 2

P 2

目录

? 对称结构在对称载荷作用下的情况:
F F

F

X3

X2

F

X1
X3 X2
P P

P

P

用图乘法可证明 当对称结构上受对称载荷作用时, 可得: 在对称面上反对称内力等于零。

? 12 ? ? 21 ? ? 23 ? ? 32 ? 0
? 11 X 1 ? ? 13 X 3 ? ? ? 1F ? 31 X 1 ? ? 33 X 3 ? ? ? 3 F ? 22 X 2 ? 0
目录

于是正则方程可化为

对称结构在反对称载荷作用下的情况:
F F

F

X3

X2

F

X1
X3 X2
P P

P

P

同样用图乘法可证明 当对称结构上受反对称载荷作用时, 可得: 在对称面上对称内力等于零。

? 12 ? ? 21 ? ? 23 ? ? 32 ? 0
? 11 X 1 ? ? 13 X 3 ? 0 ? 31 X 1 ? ? 33 X 3 ? 0 ? 22 X 2 ? ? ? 2 F
目录

于是正则方程可化为

例14.4:平面刚架受力如图,各杆 EI=常数。试求C处的约束力 q 及A、B处的支座反力。
a 2
C

a 2

解:

? 11

1 ? a 2 2a ? a 3 ? ? ?? ? EI ? 2 3 ? 3EI ? ?

a
A

a

q
a 2

B

? 1P

1 ? a 2 qa 2 ? qa 4 ? ? ??? ?? ? 2 EI ? 8 ? 16 EI ?

a

由力法正则方程 :

? 11 X 1 ? ?1P

3qa ? 0得: X 1 ? 16

A

3qa ?X C ? ,YC ? 0, M C ? 0 16
3qa X A (?) ? X B (?) ? , 16

qa 2 8 qa 2 8

qa YA ? YB ? ?? ? 2

qa 2 M A (顺时针) ? M B (逆时针) ? 16
a

例14.5:等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及 其作用位置。
P

A

B
a

解:载荷关于对角线AC和BD反对称
P P

由平衡条件可得:
2 Q ? P cos 45? ? P 2

a
D
P
C

a
Q

a
P

A

B

M max ?

Pa ( M max 发生在外载荷P作用点处) 2
C

P

Q

附录I
平面图形的几何性质

附录I平面图形的几何性质

§I-1
§I-2

静矩和形心
惯性矩和惯性半径

§I—1 静矩和形心
1.静矩

z

y

dA

Sz ?

?A

y dA

z
O

, Sy ?

?A z d A

y

形心坐标:

z
y

C
z

? y?

O
yd A A ,

y

A

? z?

A

zd A A

静矩和形心坐标之间的关系:

z
y

C
z

Sz y? A Sy z? A

O
S z ? y A,

y
Sy ? zA

例:计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面
图形对y轴和z轴的静矩,并确定图形的形心坐 标。

z
2 ? y ? z ? h? 1 ? 2 ? b ? ?

O

y

z 1 2? y ? 4bh 2 解: S ? y ? 2 dA ? ? 2 h ?1 ? b 2 ? d y ? 15 ? ? A 0
b 2
2 ? y2 ? b h S z ? ? y dA ? ? yh? 1 ? 2 ? d y ? 4 b ? ? 0 A
b

2

z
h

? y ? z ? h? 1 ? 2 ? b ? ?
2

O

y b

dy

y

? y2 ? 2bh A ? ? dA ? ? h? 1 ? 2 ? d y ? b ? 3 0 ? A
b

形心坐标为:

bh 2 Sz 4 ? 3b y? ? A 2bh 8 3 4bh Sy 15 ? 2h z? ? 2bh A 5 3
2

例:确定图示图形形心C的位置。

解: y ? S z ? 10 ? 120 ? 5 ? 70 ? 10 ? 45 ? 19.7 mm 1200 ? 700 A
10 ? 120 ? 60 ? 70 ? 10 ? 5 z? ? ? 39.7mm A 1200 ? 700 Sy

例:求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。

解:

? h2 h a? b ?h ?? 2? ?a ? S y ? b? ? a ? ? a ? ? ? ? ? ?2 ?? 4 2? 2 ? 4 ?

§I-2 惯性矩和惯性半径 一、惯性矩

z
y
ρ

dA

z
y

O
Iz ?

?A y

2

dA , I y ?

?A z

2

dA

工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与
某一长度平方的乘积,即

I y ? A iy

2

或 iy ?
或 iz ?

Iy A
Iz A

I z ? A iz

2

i y 、i z 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径

二、极惯性矩

z
y
dA

Ip ?
2

?A

? dA
2

?

? ? ? y ?z
2

2

z

? I p ? I y ? Iz
O
y

例:求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。

解:

Iy ?

?A

bh z dA ? ? z bdz ? 12 ?h/2
2

h/2

2

3

dz

z

例:求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。

Ip ?

?d

4

32

I y ? Iz ? I p I y ? Iz

惯性积

z
y
dA

z
O
I yz ?

y

?A

yz d A

如果所选的正交坐标轴中,有一个坐标轴 是对称轴,则平面图形对该对坐标轴的惯性积

必等于零。

I yz ? 0

z
y

dA dA

几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交

坐标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时,则坐标轴 y0、 z0称为主惯性轴。

因此,具有一个或两个对称轴的正交坐标
轴一定是平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的

惯性矩称为主惯性矩。

(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为
形心主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相 互垂直的形心主惯性轴。 (4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主

惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

附录I

平面图形的几何性质

附录I 平面图形的几何性质
§I-3 平行移轴公式 §I-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩

§I-3 平行移轴公式

z
y

a
C

zc yc
dA

y ? yc ? a z ? zc ? b
zc

yc

z b
O
y

z a
C

zc

yc

b

O

y

I z ? I zC ? a A
2

平行移轴公式:

Iy ? Iy ?b A
2
C

Iz ? Iz ? a A
2
C

I yz ? I y

z C C

? abA

例:求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy

z a
y

a
d

解:

z a a
y

d ( 2a ) Iy ? 12

3

?? d ? d ? 2d ? ? d ? 2d ? ? ? ?2 ? ? a? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 ? 3? 8 ? 3? ? ? 128 ?
4

d

CL6TU11
2 2

2

2

§I-4 转轴公式

主惯性轴和主惯性矩

? y1 ? y cos ? ? z sin ? ? ?z1 ? ? y sin ? ? z cos ?
I y1 ?

?A 2 ? ? ( ? y sin ? ? z cos ? ) dA A
z1 dA
2

? I z sin ? ? I y cos ? ? I yz sin 2?
2 2

?

I y ? Iz 2

?

I y ? Iz 2

cos 2? ? I yz sin 2?

转轴公式:

I y ? Iz Iy ? Iz ? ? cos 2? ? I yz sin 2? ? I y1 ? 2 2 ? Iy ? Iz Iy ? Iz ? ? cos 2? ? I yz sin 2? ? I z1 ? 2 2 ? Iy ? Iz ? I y1 z1 ? sin 2? ? I yz cos 2? ? 2 ?

主惯性轴方位:
设正交坐标轴y 0 、z0 是主惯性轴,其方位 角为? 0 ,则

I y0z0 ?

I y ? Iz 2

sin 2? 0 ? I yz cos 2? 0 ? 0
2 I yz I y ? Iz

tan 2? 0 ? ?

主惯性矩公式:
2 ? I y ? Iz ? I y ? Iz ? 2 ?I y ? ? ? ? I yz ? 0 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ?I ? I y ? Iz ? ? I y ? Iz ? ? I 2 ? ? yz ? z0 2 ? 2 ? ?

或简写成:
I y0 I z0 ? I y ? Iz 2 ? I y ? Iz ? 2 ? ? ? I yz ? ? 2 ?
2

求形心主惯性轴的位置及形心主惯性
矩大小的步骤: 1)找出形心位置; 2)通过形心c建立参考坐标 yoz, 求出 I y , I z , I yz 。

3)求 ? 0 , I y0 , I z0

例:求图示平面图形形心主惯性轴的方位 及形心主惯性矩的大小。

解: 将原平面图形分成上中下三个
矩形。过形心建立参考坐标系ycz ? 40 ? 53 ? 5 ? 60 3 ? 2? ? 40 ? 5 ? 27.52 ? ? I y ? 2 I y1 ? I y2 12 ? 12 ?
? 393333 mm ? 39.33 cm
4 4

I z ? 2 I z1 ? I z2

? 5 ? 40 3 ? 60 ? 53 2 ? 2? ? 40 ? 5 ? 22.5 ? ? 12 ? 12 ?

? 256458 mm 4 ? 25.65 cm 4
I yz ? 2 I yz1 ? 2? 40 ? 5 ? 27.5 ? 22.5? ? 247500 mm ? 24.75cm
4 4



2 ? 24.75 tan 2? 0 ? ? ?? ? ?3.618 I y ? Iz 39.33 ? 25.65 2 I yz

得形心主惯性轴的方位角 ? 0 ? ?37.3? 或 52.7?

形心主惯性矩的大小为: I y0 I z0 ? I y ? Iz 2 58.2 ? I y ? Iz ? 2 ? ? ? I yz ? cm 4 ? ? 2 ? 6.81
2