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不等关系与不等式的基本性质j


个性化教案

不等关系与不等式的基本性质
适用学科 适用区域 知识点
数学 北师大版 不等式的定义 不等式的基本性质

适用年级

初二

课时时长 (分钟) 60

教学目标

知识与技能:理解不等式的概念,学会列不等式,理解不等式的基本性

质, 并学会灵活运用; 过程与方法:通过对不等关系的理解,进而探索不等式的性质,使学生能 够从逻辑关系上严谨地分析问题, 提高分析和解决问题的能力,学会转化的 数学思想方法; 情感态度与价值观:使学生对逻辑思维产生兴趣,在积极参与性质的学习 活动中,不断增强主体意识,综合意识。

教学重点 教学难点

用不等式表示实际问题中的不等关系,并用不等式研究含有不等关系的问 题,掌握不等式的基本性质。 用不等式准确表示出不等关系,灵活运用不等式的性质。

教学过程
一、复习预习
1.理解不等号的意义: 大于:

?

小于: ? 不小于:

大于等于:

?

小于等于:

?

不大于: ?

?

2.用不等号连接下列式子: -2

?

-3,

a

2

?
?

0, x+5

?

x+2,

-a-1

? -a-6,

1 1 ? ? . 3 2

二、知识讲解
考点 1
不等式的概念:一般地,有符号 ? , ? , ? , ? , ? 连接的式子叫做不等式。

考点 2
列不等式: 列不等式同列方程一样, 关键是找出不等关系, 常用的表示不等式的关键词有 “大

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于” “小于” “不大于” ”不小于” “超过” “至多” “非负”等。

考点 3
不等式的性质: (1)不等式的两边都加上或者减去同一个整式,不等号的方向不变;用字 母表示:若 a>b,则有 a+c>b+c,a-c>b-c。 (2)不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数,不等号的方向不变;用字 母表示:若 a>0,b>0,则 ac>bc,

a b ? 。 c c

(3)不等式的两边都同时乘或者同一个负数,不等号的方向要改变,用字母 表示:若 a>b,c<0,则 ac<bc,

a b ? 。 c c

易错点 1
对文字语言理解不准确, 不等关系的表示有两种: 文字语言与符号语言, 对 “不大于” “不 小于” “至少” “非负数”等文字的理解是将文字语言转化为符号语言的关键,易出现的错误 是对某些文字语言理解的不准确,从而导致解题错误。

易错点 2
应用不等式的基本性质 3 时,忽略改变不等号的方向,一定要注意当不等式的两边同时 乘以 或者除以一个负数时要改变不等号的方向。

三、例题精析
【例题 1】
【题干】 某 市 最 高 气 温 是 33℃ , 最 低 气 温 是 24℃ , 则 该 市 气 温 t ( ℃ ) 的 变 化 范 围 是 ( ) A . t > 33 B . t≤ 24 C . 24 < t < 33 D . 24≤ t≤ 33

【答案】D 【解析】 根据不等式的性质,由题意某市最高气温是33℃,最低气温是24℃,用不等式把它表 示出来.

【例题 2】
【题干】
① x+y=1; ② x≤ y; ③ x -3y ; ④ x 2 -3y > 5 ; ⑤ x< 0 中 属 于 不 等 式 的 有 ( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

【答案】B 【解析】 ①中不含有不等号,所以不是不等式; ②中含有不等号,所以是不等式; ③中不含有不等号,所以不是不等式;

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④中含有不等号,所以是不等式; ⑤中含有不等号,所以是不等式. 故是不等式的有②④⑤. 故选 B.

【例题 3】
【题干】 下列不等式总成立的是( A . 4a > 2a 【答案】D 【解析】 A、a 为0或负数时不成立, B、a=0时不成立, C、a=0时不成立, D、正确. 故选 D. B.a > 0
2

) C .a > a
2

D. ?

1 2 a ?0 2

四、课堂运用
【基础】
已 知 ab=4 , 若 - 2≤ b≤ -1 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( B . a≥ -2 C . - 4≤ a≤ -1 ) D . - 4≤ a≤ -2

A . a≥ -4

【答案】D 【解析】 根据条件可以求得 b= 求得 a 的取值范围.

4 ,然后将 b 的值代入不等式-2≤b≤-1,通过解该不等式即可 a

【巩固】
若 a> b, 则 下 列 不 等 式 不 一 定 成 立 的 是 ( A . a+m > b+m 2 2 B . a ( m +1 ) > b ( m +1 ) C. ? )

a b ?? 2 2
2 2

D. a > b 【答案】D

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【解析】A、根据不等式的基本性质1,不等式两边同时加上同一个数,不等号的方向不变, 故 a+m>b+m 一定成立,故此选项不合题意; 2 B、 根据不等式的基本性质2, 不等式两边同时乘以同一个正数, 不等号的方向不变, 故a (m +1) 2 >b(m +1)一定成立,故此选项不合题意; C 、根据不等式的基本性质 2 ,不等式两边同时除以同一个负数,不等号的方向改变,

?

a b ? ? 一定成立,故此选项不合题意 2 2
2 2

D、根据不等式的基本性质,a,b 若都为负数,a >b 不成立,故 a>b,则不一定成立的是 2 2 a >b ,故此符合题意。

【拔高】
已 知 a > 0 , b < 0 , |a| < |b| < 1 , 那 么 下 列 判 断 正 确 的 是 ( A . 1-b > -b > 1+a > a C . 1-b > 1+a > -b > a 【答案】C 【解析】 ∵a>0,b<0,|a|<|b|<1, ∴-b>a,1+a>-b,∴1-b>1+a, ∴1-b>1+a>-b>a. 故选 C。 B . 1+a > a > 1-b > -b D . 1+a > 1-b > a > -b )

课程小结
不等关系的正确理解,以及不等式的基本性质: (1)不等式的两边都加上或者减去同一个整式,不等号的方向不变; (2)不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数,不等号的方向不变; (3)不等式的两边都同时乘或者同一个负数,不等号的方向要改变。

课后作业
【基础】 已知 a>b,若 c 是任意实数,则下列不等式中总是成立的是(
A、 a+c<b+c B、 a-c>b-c 【答案】B 【解析】 A、∵a>b,c 是任意实数,∴a+c>b+c,故本选项错误; B、∵a>b,c 是任意实数,∴a-c>b-c,故本选项正确; C、当 a>b,c<0时,ac<bc,而此题 c 是任意实数,故本选项错误; D、当 a>b,c>0时,ac>bc,而此题 c 是任意实数,故本选项错误. C、 ac<bc D、 ac>bc )

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故选 B.

【巩固】
下列不等关系中,正确的是( )

A、a 不是负数表示为 a>0; B、x 不大于5可表示为 x>5 C、x 与1的和是非负数可表示为:x+1>0 D、m 与4的差是负数可表示为 m-4<0 【答案】D 【解析】用不等式表达数量关系

【拔高】
若 ,则下列式子错误的是 A、 B、 C、

D、 【答案】B 【解析】 不等式的性质有三个 1,不等式两边同加同减一个数或一个式子,不等号不变。 2,不等式两边同乘同除一个数或一个式子(大于零) ,不等号不变。 3,不等式两边同乘同除一个数或一个式子(小于零) ,不等号改变。


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