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专题四、直线与圆锥曲线的位置关系


专题四、直线与圆锥曲线的位置关系
【基础检测】 1、 在平面直角坐标系 xOy 中, 经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆
有两个不同的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围; (II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,
? ??? ??? ? ? ??? 使得向量 OP ? O

Q 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

x2 ? y2 ? 1 2

x2 y 2 2、已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?2, , F2 (2, ,点 0) 0) a b

P(3,7 ) 在双曲线 C 上.
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程;
2) (Ⅱ)记 O 为坐标原点,过点 Q(0, 的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点
E,F ,若 △OEF 的面积为 2 2 ,求直线 l 的方程.

【知识梳理】
直线与圆锥曲线的位置关系: (1)特点: 最大的优点是①思路自然;②规律性强;③格式、步骤明确. 最大的缺点是①字符运算较多, 运算较复杂; ②考查较强的运算能力, 稍不注意, 容易出错;③知识与胆量的考查. (2)策略:①几个重要运算:判别式、韦达定理、中点、弦长;②掌握 16 个字: 分解条件、等价转化、各个击破、顺其自然;③基本规律:建系、设点、列式、 化简. ④知多少,写多少,绝不能空白.

【典例分析】
1、如图,已知椭圆
x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点. (1, ) ,离心率为 ,左、右 2 a b 2 2

焦点分别为 F1 、 F2 .点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C 、 D , O 为坐标原点

(I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k2 . (i) 证明:
1 3 (ii) 问直线 l 上是否存在点 P , ? ?2; k1 k2

使得直线 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的斜率 kOA 、 kOB 、 kOC 、

kOD 满足 kOA ? kOB ? k OC ? k OD ? 0 ?若存在,求出所有满
足条件的点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 2、在平面直角坐标系 xoy 中,F 是抛物线 C : x2 =2 py ? p>0? 的焦点,M 是抛物线
C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物

线 C 的准线的距离为

3 。 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,

使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 说明理由;

【跟踪练习】
1、已知椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相 2 a b 3

交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (I)求 a , b 的值;

2 2

??? ??? ??? ? ? ? (II)C 上是否存在点 P, 使得当 l 绕 F 转到某一位置时, OP ? OA ? OB 成立? 有
若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 2、椭圆 C :
1 x2 y 2 + 2 =1? a >b>0 ? 的离心率为 ,其左焦点到点 P ? 2,1 的距离为 ? 2 2 a b

10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.


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