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第三章直线的一般式方程


第三章

直线与方程

3.2.3

直线的一般式方程

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直线与方程

1.问题导航 (1)直线的方程与二元一次方程有什么关系? (2)直线的一般式方程是什么?它与直线方程的另外四种形式

有什么关系?
2.例题导读 通

过例5、例6的学习,应学会直线方程不同形式的互化.

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1.一般式方程
Ax+By+C=0 (1)定义:关于 x,y 的二元一次方程_____________________

(其中 A, B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式. (2)斜率: 直线 Ax+By+C=0(A, B 不同时为 0), 当 B≠0 时, A C 其斜率是-B,在 y 轴上的截距是-B.当 B=0 时,这条直线
x 垂直于_____________ 轴,不存在斜率.

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2.二元一次方程与直线的关系 (1)在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示
二元一次方程 ,任何关于 x、y 的二 这条直线的关于 x、y 的_____________ 直线 元一次方程都表示_____________ .

(2)二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一 个点的坐标,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方
一一对应 的. 程与平面直角坐标系中的直线是_____________
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3.直线方程的五种形式的对比 名称 方程的形式 常数的几何意义 (x1,y1)是直线上 一定点,k是斜率 适用范围 不垂直于 x轴 __________

点斜式

y-y1=k(x-x1)

斜截式

y=kx+b
y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 (x2≠x1,y2≠y1)

k是斜率,b是直线 不垂直于x轴 __________ 在y轴上的截距

两点式

(x1,y1),(x2,y2) ____________ 不垂直于x ________ 是直线上两定点 轴和 y轴
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名称

方程的形式

常数的几何意义 a是直线在x轴上

适用范围

x y 截距式 a+b=1(ab≠0)

的非零截距,b是 直线在y轴上的非

不垂直于 x轴 ____________

和 y轴,且不 ____________
过原点 _________

零截距

一般式

Ax+By+C=0(A2

+B2≠0)

A、B、C为系数

任何位置 ____________ 的直线 __________
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1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式.( √ ) (2) 任 何 一 条 直 线 的 一 般 式 方 程 都 能 与 其 他 四 种 形 式 互 化.( × ) (3)对于二元一次方程 Ax+By+C=0,当 A=0,B≠0 时,方 程表示垂直于 x 轴的直线.( × )

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2.经过两点P(2,0)与(0,-3)的直线的一般式方程是( C ) A.3x-2y-1=0 B.3x+2y+1=0

C.3x-2y-6=0

D.3x+2y+6=0

3.若直线x+2ay-1=0与(a-1)x-ay+1=0平行,则a的值 1 为________ . 2 1 解析:由 1×(-a)-2a(a-1)=0,解得 a=0 或 a= , 2

1 当 a=0 时两直线重合,所以 a= . 2

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4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实 1 数m=________. 解析:因为两直线垂直,所以1×2+(-2)m=0?m=1.

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1.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于 x,y 的二元一次方程. (2)方程中等号的左侧自左向右一般按 x,y,常数的先后顺序 排列. (3)x 的系数一般不为分数或负数. (4)虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条 件即可求得直线的方程.
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2.二元一次方程的系数和常数项对直线位置的影响 (1)当 A=0,B≠0,C≠0 时,方程表示的直线与 x 轴平行. (2)当 A≠0,B=0,C 为任意实数时,方程表示的直线与 x 轴垂直. (3)当 A=0,B≠0,C=0 时,方程表示的直线与 x 轴重合. (4)当 A≠0,B=0,C=0 时,方程表示的直线与 y 轴重合. (5)当 C=0,A,B 不同时为 0 时,方程表示的直线过原点.
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3.一般式化为其他形式 (1)直线的四种特殊形式的方程均可以化成一般式;但并不是 所有的一般式都能化成其他特殊形式. (2)若 B≠0,则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式,即 C? A C A ? y=- x- 与 y-?-B?=- (x-0). B B B x y (3)若 A≠0 且 B≠0,则可化为截距式,即 C+ C=1. -A -B
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4.两条直线平行与垂直的判断 l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1 不同时为 0). l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2 不同时为 0). (1)当 l1∥l2 时?A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0(或 A1C2- A2C1≠0). (2)当 l1 与 l2 重合时?A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0(或 A1C2-A2C1=0). (3)当 l1⊥l2 时?A1A2+B1B2=0.

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直线的一般式与其他形式的转化
4 (1)(2015· 台州高一检测)下列直线中,斜率为- ,且不经 3 过第一象限的是( B ) A.3x+4y+7=0 C.4x+3y-42=0 B.4x+3y+7=0 D.3x+4y-42=0
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[解析 ] 程.

将四个选项中直线的一般式方程都转化为点斜式方

4 由所求直线的斜率为- ,故 A、D 不合题意. 3 又因所求直线不经过第一象限,则在 y 轴上的截距为负值, 故排除 C,只有 B 项符合要求.

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(2)已知直线l经过点A(-5,6)和点B(-4,8),求直线l的一般式 方程和截距式方程.

[解] 因为直线 l 经过点 A(-5,6),B(-4,8), y-6 x+5 所以由两点式,得 = , 8-6 -4+5 整理得 2x-y+16=0, x y 化为截距式得 + =1, -8 16 x 所以直线 l 的一般式方程为 2x-y+16=0,截距式方程为 -8 y + =1. 16
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方法归纳 求直线方程时,结果在未作出要求的情况下,一般都整理成 一般式. (1)一般式化为斜截式的步骤: ①移项得 By=-Ax-C; A C ②当 B≠0 时,得斜截式:y=-Bx-B. (2)一般式转化为截距式 一是分别令 x=0,y=0,求得 b 和 a;二是移常数项,得 Ax +By=-C,两边同除以-C(C≠0),再整理即可.
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1. (1)根据下列条件分别写出直线的方程, 并化为一般式方程. ①经过 A(-1,5),B(2,-1)两点; ②在 x,y 轴上的截距分别是-3,-1.

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y-5 x-?-1? 解:①由两点式方程,得 = ,整理得 2x+y- -1-5 2-?-1? 3=0. x y ②由截距式方程,得 + =1, -3 - 1 整理得 x+3y+3=0.

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(2)已知直线mx+ny+12=0在x轴、y轴上的截距分别是-3 和4,求m、n.

x y 解: 将直线方程 mx+ny+12=0 化为截距式, 得 + = 12 12 -m - n

? 1,因此有? 12 ?- n =4,

12 - m =-3,

? ?m=4, 解得? ?n=-3. ?

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由直线的一般式方程求解两直线的平行与垂直问题
(1)求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点(1,2)的直线 l 的 方程; (2)求经过点 A(2,1),且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线 l 的 方程.

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[解] (1)法一:设直线 l 的斜率为 k, ∵l 与直线 3x+4y+1=0 平行, 3 ∴k=- . 4 又∵l 经过点(1,2),可得所求直线方程为 3 y-2=- (x-1),即 3x+4y-11=0. 4

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法二:设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为 3x+4y +m=0. ∵l 经过点(1,2),∴3×1+4×2+m=0,解得 m=-11. ∴所求直线方程为 3x+4y-11=0. (2)法一:设直线 l 的斜率为 k.∵直线 l 与直线 2x+y-10=0 1 垂直,∴k· (-2)=-1,∴k= . 2 1 又∵l 经过点 A(2,1),∴所求直线 l 的方程为 y-1= (x-2), 2 即 x-2y=0. 法二:设与直线 2x+y-10=0 垂直的直线方程为 x-2y+m =0. ∵直线 l 经过点 A(2,1),∴2-2×1+m=0,∴m=0. ∴所求直线 l 的方程为 x-2y=0.
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方法归纳 (1)直线 Ax+By+C=0 中系数 A、B 确定直线的斜率,因此, 与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程可设为 Ax+By+m= 0(m≠C),这是经常采用的解题技巧. (2)经过点 A(x0,y0),且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方 程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0. (3)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线可设为 Bx-Ay+m= 0(m 为参数).

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2.(1)直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y-2=0 平行,则 m 的值为( C ) A.2 C.2 或-3 B.-3 D.-2 或-3

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解析:若 l1∥l2,需 2×3-m(m+1)=0, 解得 m=-3 或 m=2. 当 m=- 3 或 2 时, A1C2 - A2C1= 2×(- 2) - m· 4=- 4- 4m≠0.∴m=-3 或 2 即为所求.∴应选 C.

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(2)直线l1:ax+(1-a)y-3=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y-

2=0垂直,求a的值.

2 解:法一:当 a=1 时,l1:x=3,l2:y= ,∴l1⊥l2; 5 3 3 6 4 当 a=- 时,l1:y= x+ ,l2:x=- ,∴l1 不垂直于 l2; 2 5 5 5 1-a a 3 当 a≠1,且 a≠- 时,k1= ,k = , 2 a-1 2 2a+3 1-a a 由于 l1⊥l2,则 × =-1,解得 a=-3. a-1 2a+3 综上可知,当 a=1 或 a=-3 时,l1⊥l2.
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直线与方程

法二:l1 中:A1=a,B1=1-a, l2 中,A2=a-1,B2=2a+3. 若 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0, 从而有 a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0, 解得 a=1 或 a=-3.

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直线方程的综合应用

已知直线 l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围.

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[解] (1)证明:将直线 l 的方程整理为 3 ? 1? y- =a?x-5?, 5 1 3? ? ∴l 的斜率为 a,且过定点 A?5,5?. 1 3? ? 而点 A?5,5?在第一象限, 故 l 必过第一 象限. 3 -0 5 (2)直线 OA 的斜率为 k= =3. 1 -0 5 ∵l 不经过第二象限,∴a≥3. 故 a 的取值范围是[3,+∞).
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方法归纳 针对这个类型的题目,灵活地把一般式 Ax+By+C=0 进行 变形是解决这类问题的关键.在求参数取值范围时,巧妙地 利用数形结合思想,会使问题简单明了.

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3.设直线 l 的方程为(a+1)x+y-2+a=0,若 l 经过第一象 限,求实数 a 的取值范围.

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解:直线 l 的方程可化为点斜式 y-3=-(a+1)(x+1),由点 斜式的性质,得 l 过定点 P(-1,3),如图. 3-0 ∴kPO= =-3. -1-0 由数形结合,知 l 经过第一象限, 只需 kl>-3, ∴kl=-(a+1)>-3,解得 a<2. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,2).

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易错警示

因考虑问题不全而致误

在坐标轴上求一点 P, 使得 P 与已知点 M(-3,2), N(3, -2)所确定的∠MPN 为直角.

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[解] 如图(1)所示,当 P 在 x 轴上时, 设 P(x,0),由题意知存在 kPM,kPN 使得 kPM· kPN=-1. 2 2 ∴ × =- 1 ,解得 x = -3-x x-3 ± 13. 如图(2)所示, 当 P 在 y 轴上时, 设 P(0,y),由题意知存在 kPM,kPN 使得 kPM· kPN=-1. y-2 y+2 ∴ × =-1,解得 y=± 13. 3 -3 综上可知,点 P 为( 13,0),(- 13,0)或(0, 13),(0,- 13).
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[错因与防范] (1)本题易出现考虑问题不全面,只考虑点 P 在 x(或 y)轴上的 情况,而漏掉了点 P 在 y(或 x)轴上的情况. (2)坐标轴上的点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,题中没有 明确的给出,不确定时要进行讨论.

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4. 已知直线 l1 经过点 A(3, a), B(a-2,3), 直线 l2 经过点 C(2, 3),D(-1,a-2),若 l1⊥l2,求 a 的值.

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解:由题意知 l2 的斜率一定存在,l1 的斜率可能不存在,可 对 a 进行讨论.当 k2=0 时,a=5,此时 k1 不存在,所以两 a-5 3-a 直线垂直.当 k2≠0 时,k1· k2=-1,即 × =-1, -3 a-5 解得 a=0.所以 a 的值为 0 或 5.

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1.直线 5x- 2y+6=0 在 y 轴上的截距等于( C A.5 C.3 2 B.- 2 6 D.- 5

)

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2.若两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标分别满足3x1-5y1+6= 0和3x2-5y2+6=0,则经过这两点的直线方程是 3x-5y+6=0 ________________________ .

解析:两点确定一条直线,点A、B均满足方程3x-5y+6=0.
3.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成45°角的直线方程 x-y-6=0或x+y+6=0 是____________________________________________ . 解析:设直线的点斜式方程为y=kx+b, 由题意得k=tan 45°=1或k=tan 135°=-1,b=-6, 所以y=x-6或y=-x-6,即x-y-6=0或x+y+6=0.
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