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高考中的常用数学方法——配方法、待定系数法、换元法

时间:2015-03-29


高考中的常用数学方法 配方法、待定系数法、换元法
一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体 体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成 “完全平方” 的恒等变形, 使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问

题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系 中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换, 它是用一种变数形式去取代另一种变数形式 ,从而使问题得到 简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例 1. 已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角 线长为( ). (B ) 14 (C)5 (D)6

(A ) 2 3

分析及解:设长方体三条棱长分别为 x,y,z,则依条件得:
2 2 2 2(xy+yz+ zx)=11,4(x+y+ z)=24. 而欲求的对角线长为 x ? y ? z , 因此需将对称式

x 2 ? y 2 ? z 2 写成基本对称式 x+y+z 及 xy+yz+zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段
是配方法.故 x 2 ? y 2 ? z 2 ? ( x ? y ? z) 2 ? 2( xy ? yz ? xz) =6 -11=25
2



x 2 ? y 2 ? z 2 ? 5 ,应选 C.

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F1PF2 =90°, 例 2. 设 F 1 和 F 2 为双曲线 4
则Δ F 1 PF 2 的面积是( (A )1 (B ) ). (C)2 (D) 5 (1),而由已知能得到什么呢? (2),

5 2

分析及解:欲求 S ?PF1F2 ?
2

1 | PF1 | ? | PF2 | 2
2

由∠F 1 PF 2 =90°,得 | PF 1 | ? | PF 2 | ? 20

又根据双曲线的定义得|PF 1 |-|PF 2 |=4 (3),那么(2)、 (3)两式与要求的三角形面 积 有 何联 系 呢? 我们 发 现将 (3) 式完 全平 方 , 即 可找 到 三个 式子 之 间的 关系 . 即

|| PF1 | ? | PF2 || 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 |? 16 ,



| PF1 | ? | PF2 |?

1 1 (| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ?16) ? ? 4 ? 2 2 2



S ?PF1F2 ?

1 | PF1 | ? | PF2 |? 1 ,∴ 选(A). 2

注:配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化. 例 3.设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为 双曲线上的点的最近距离是 2,求双曲线方程. 分析及解:由题意可设双曲线方程为 线方程可写成: y 2 ? 4 x 2 ? a 2

5 ,已知点 P (0,5)到该 2

y2 x2 5 ,∴a=2b,因此所求双曲 ? 2 ? 1 ,∵ e ? 2 2 a b

(1),故只需求出 a 可求解.

设双曲线上点 Q 的坐标为(x,y),则|PQ|=

x 2 ? ( y ? 5) 2

(2),∵点 Q(x,y)在双曲线

上,∴( x,y) 满足(1)式, 代入(2)得|PQ|=

y2 a2 ? ? ( y ? 5) 2 4 4

(3), 此时|PQ|2 表示

为变量 y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.

5 a2 2 由(3)式有 | PQ | ? ( y ? 4) ? 5 ? (y≥a 或 y≤-a). 4 4
2

二次曲线的对称轴为 y=4,而函数的定义域 y≥a 或 y≤-a,因此,需对 a≤4 与 a>4 分类 讨论. (1)当 a≤4 时,如图(1)可知函数在 y=4 处取得最小值, ∴令 5 ?

a2 ? 4 ,得 a2 =4 4

y2 ? x2 ? 1. ∴所求双曲线方程为 4
(2)当 a>4 时,如图(2)可知函数在 y=a 处取得最小值, ∴令

5 a2 (a ? 4) 2 ? 5 ? ? 4 ,得 a2 =49, 4 4

∴所求双曲线方程为

y 2 4x 2 ? ? 1. 49 49

注: 此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问 题,由于二次函数的定义域与参数 a 有关,因此需对字母 a 的取值分类讨论,从而得到两个解, 同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题. 例 4. 设 f (x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又 f
?1

[ f ?1 ( x)] ? 4x ? 12 ,试求 f (x)

的表达式. 分析及解:因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式. 设一次函数 y=f (x)=ax+b ∴ f
?1

(a>0),可知

f ?1 ( x) ?

1 ( x ? b) , a

[f

?1

( x)] ?

1 1 1 1 [ ( x ? b) ? b] ? 2 x ? 2 (ab ? b) ? 4 x ? 12 . a a a a

比较系数可知:

?1 ? 4(且a ? 0) ? ?a2 ? ? 1 (ab ? b) ? 12 ? ?a2
a?

(1) (2)

解此方程组,得

1 1 ,b=2,∴所求 f (x)= x ? 2 . 2 2

例 5.如图,已知在矩形 ABCD 中,C(4,4),点 A 在曲线 x 2 ? y 2 ? 9 (x>0,y>0)上移动, 且 AB ,BC 两边始终分别平行于 x 轴,y 轴,求使矩形 ABCD 的面积为最小时点 A 的 坐标. 分析及解:设 A (x,y),如图所示,则 S ABCD ? (4-x)(4-y) (1)

此时 S 表示为变量 x,y 的函数,如何将 S 表示为一个变量 x(或 y)的函数呢?有的同学 想到由已知得 x2 +y2 =9,如何利用此条件?是从等式中解出 x(或 y),再代入(1)式,因为 表达式有开方,显然此方法不好. 如果我们将(1)式继续变形,会得到 S=16-4(x+y)+xy 这时我们可联想到 x2 +y2 与 x+y、xy 间的关系,即(x+y)2 =9+2xy. 因 此 , 只 需 设 t=x+y, 则 xy= (2)

t2 ?9 2

,





(2)





S=16-4t+

t2 ?9 1 7 ? (t ? 4) 2 ? (3)S 表示为变量 t 的二次函数, 2 2 2
7 . 2

∵0<x<3,0<y<3,∴3<t< 3 2 ,∴当 t=4 时,SABCD 的最小值为

? x ? y ? 4, 2 2 2 2 ? 得A的坐标为 (2 ? ,2 ? )或(2 ? ,2 ? ) 此时 ? 7 2 2 2 2 xy ? , ? 2 ?
注:换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误. 例 6.设方程 x2 +2kx+4=0 的两实根为 x1 ,x2 ,若 (

x1 2 x ) ? ( 2 ) 2 ≥3,求 k 的取值范围. x2 x1

解:∵ (

x1 2 x x x ( x ? x2 ) 2 ) ? ( 2 )2 ? ( 1 ? 2 )2 ? 2 ? [ 1 ? 2]2 ? 2 ≥3, x2 x1 x2 x1 x1 x2

以 x1 ? x2 ? ?2k , x1 x2 ? 4 代入整理得(k2 -2)2≥5,又∵Δ =4k 2 -16≥0,

∴?

2 ? ?| k ? 2 |? 5 2 ? ?k ? 4 ? 0

解得 k∈(- ?,? 2 ? 5 )∪[ 2 ? 5 ,+ ? ].

例 7.点 P (x,y)在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上移动时,求函数 u=x2 +2xy+4y2 +x+2y 的最大值. 4
∴可设 ?

x2 解:∵点 P(x,y)在椭圆 ? y 2 ? 1 上移动, 4

? x ? 2 cos? ? y ? sin ?

于是

u ? x 2 ? 2xy ? 4 y 2 ? x ? 2 y
= 4 cos2 ? ? 4 sin ? cos? ? 4 sin 2 ? ? 2 cos? ? 2 sin ? = 2[(cos ? ? sin? ) 2 ? cos? ? sin? ? 1] 令 cos ? ? sin ? ? t , ∵ sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ?

?
4

) ,∴|t|≤ 2 .

1 3 于是 u = 2(t 2 ? t ? 1) ? 2(t ? ) 2 ? ,(|t|≤ 2 ). 2 2
当 t= 2 ,即 sin(? ? ∴θ =2kπ +

?

? (k ∈Z)时,umax ? 6 ? 2 2 . 4
( x ? 3) 2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径 6 2

4

) ? 1 时,u 有最大值.

例 8.过坐标原点的直线 l 与椭圆

的圆恰好通过椭圆的左焦点 F ,求直线 l 的倾斜角.

解:设 A(x1 ,y1),B(x2 ,y2 ) 直线 l 的方程为 y=kx,将它代入椭圆方 程整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6x ? 3 ? 0 由韦达定理, x1 ? x 2 ? (*)

6 3 (1), x1 x 2 ? (2) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2


又 F(1,0)且 AF⊥BF,∴ k AF ? k BF ? ?1 , 将 y1 ? kx1 , y 2 ? kx2 代入上式整理得 将(1)式,(2)式代入,解得

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1

(k 2 ? 1) ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ,
故直线 l 的倾斜角为

k2 ?

1 . 3

? 5? 或 . 6 6

注:本题设交点坐标为参数, “设而不求”, 以这些参数为桥梁建立斜率为 k 的方程求 解. 例 9.设集合 A ={ x | 4 ? 2
x x ?1

? a ? 0, x ? R }

(1)若 A 中有且只有一个元素,求实数 a 的取值集合 B ; (2)当 a∈B 时,不等式 x -5x-6<a(x-4)恒成立,求 x 的取值范围.
2

解:(1)令 t=2x,则 t>0 且方程 4 x ? 2 x ?1 ? a ? 0 化为 t2 -2t+a =0 (*),A 中有且只有一 个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令 f (t)=t2-2t+a , 则Δ =0 或 ?

?? ? 0 即 a =1 或 a ≤0,从而 B=(- ? ,0]∪{1}. ? f (0) ? 0

(2)当 a =1 时,3 ? 11 <x<3+ 11 , 当 a≤0,令 g (a )=a (x-4)-(x2 -5x-6),则当 a ≤0 时不等式 立, 即当 a ≤0 时,g (a )>0 恒成立,故

x 2 ? 5x ? 6 ? a( x ? 4) 恒成

? g (0) ? 0 ? ?1 ? x ≤4. ? ?x ? 4 ? 0

综上讨论,x 的取值范围是( 3 ? 11 ,4).

高中数学解题思想之换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化这 叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研 究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简 单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、 变量代换法。 通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来, 隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和 推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究 方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者 未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式:4 +2 -2≥0,先变形为设 2 =t(t>0) ,而变为 熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识 中有某点联系进行换元。如求函数 y= 设 x=sin α ,α ∈[0,
2 x x x

x + 1 ? x 的值域时,易发现 x∈[0,1],

? ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设, 2
2 2

其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x +y = r (r>0)时,则可作三角代换 x=rcosθ 、y=rsinθ 化为三角问题。
2

均值换元,如遇到 x+y=S 形式时,设 x=

S S +t,y= -t 等等。 2 2

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范 围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例 中的 t>0 和α ∈[0,

? ]。 2

Ⅰ、再现性题组: 1.y=sinx?cosx+sinx+cosx 的最大值是_________。 2.设 f(x 2 +1)=log a (4-x 4 ) (a>1) ,则 f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a n }中,a 1 =-1,a n?1 ?a n =a n?1 -a n ,则数列通项 a n =___________。 4.设实数 x、y 满足 x 2 +2xy-1=0,则 x+y 的取值范围是___________。

5.方程

1 ? 3? x =3 的解是_______________。 1 ? 3x

6.不等式 log 2 (2 x -1) ?log 2 (2 x ?1 -2)〈2 的解集是_______________。

t2 1 【简解】1 小题:设 sinx+cosx=t∈[- 2 , 2 ],则 y= +t- ,对称轴 t=-1, 2 2
当 t= 2 ,y max =
2

1 + 2; 2
2

2 小题:设 x +1=t (t≥1),则 f(t)=log a [-(t-1) +4],所以值域为(-∞,log a 4]; 3 小题:已知变形为

1 a n ?1



1 1 =-1,设 b n = ,则 b 1 =-1,b n =-1+(n-1)(-1)= an an

-n,所以 a n =-

1 ; n
2 2

4 小题:设 x+y=k,则 x -2kx+1=0, △=4k -4≥0,所以 k≥1 或 k≤-1; 5 小题:设 3 =y,则 3y +2y-1=0,解得 y=
x x 2

1 ,所以 x=-1; 3 5 ,log 2 3)。 4

6 小题:设 log 2 (2 -1)=y,则 y(y+1)<2,解得-2<y<1,所以 x∈(log 2 Ⅱ、示范性题组: 例 1. 实数 x、 y 满足 4x -5xy+4y =5 的值。 (93 年全国高中数学联赛题)
2 2

( ①式) , 设 S=x +y , 求

2

2

1 Sm a x



1 S min

【 分 析 】 由 S = x 2 + y 2 联 想 到 cos 2 α + sin 2 α = 1, 于 是 进行 三 角 换元 , 设

? ? x ? S cos α 代入①式求 S max 和 S min 的值。 ? ? y ? S sin α ?
【解】设 ?

? ? x ? S cos α ? ? y ? S sin α
10 8 ? 5 sin 2α


代入①式得: 4S-5S?sinα cosα =5

解得 S=



∵ -1≤sin2α ≤1

3≤8-5sin2α ≤13



10 10 10 ≤ ≤ 13 8 ? 5 sin ? 3



1 S max



1 S min



3 13 16 8 + = = 10 10 10 5 8 S ? 10 的有界性而求,即解不等 S

此种解法后面求 S 最大值和最小值,还可由 sin2α = 式:|

8S ? 10 |≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法” 。 S

【另解】 由 S=x 2 +y 2 ,设 x 2 =

S S S S +t,y 2 = -t,t∈[- , ], 2 2 2 2

S2 S2 2 -t 代入①式得:4S±5 -t 2 =5, 则 xy=± 4 4
移项平方整理得 100t +39S -160S+100=0 。 ∴ 39S -160S+100≤0
2 2 2

解得:

10 10 ≤S≤ 13 3



1 S max



1 S min



3 13 16 8 + = = 10 10 10 5
2 2

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法” ,主要是利用已知条件 S=x +y 与三角公 式 cos α +sin α =1 的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域 问题。第二种解法属于“均值换元法” ,主要是由等式 S=x +y 而按照均值换元的思路, 设 x = S +t、y = S -t,减少了元的个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的
2 2 2 2 2 2

2

2

几种方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量 x、y 时,可以设 x =a+b,y=a-b,这称为“和差换元法” ,换元后有可能简化代数式。本题设 x=a+b,y

=a-b, 代入①式整理得 3a 2 +13b 2 =5 =2(a 2 +b 2 )=

, 求得 a 2 ∈[0,

5 ], 所以 S=(a-b) 2 +(a+b) 2 3

10 20 2 10 10 1 1 + a ∈[ , ],再求 + 的值。 13 13 13 3 S max S min

例 2. △ABC 的三个内角 A、B、C 满足:A+C=2B,

2 1 1 + =- ,求 cos A cos C cos B

cos

A?C 的值。 (96 年全国理) 2
【 分 析 】 由 已 知 “ A + C = 2B ” 和“ 三 角 形 内 角和 等 于 180 ° ” 的性 质 , 可 得

? A ? C ? 120 ° ? A= 60 ° ? α ;由“A+C=120°”进行均值换元,则设 ? ? ? B= 60 ° ?C= 60 °-α
求 cosα 即 cos

,再代入可

A?C 。 2

【解】由△ABC 中已知 A+C=2B,可得 ?

? A ? C ? 120 ° ? B= 60 °

,

由 A+C=120°,设 ?

? A= 60 ° ? α ?C= 60 °-α

,代入已知等式得:

1 1 + = cos A cos C

1 1 1 + = cos( 60??? ) cos( 60??? ) 1 3 cos ? ? sin ? 2 2



1 1 3 cos ? ? sin ? 2 2
解得:cos α =



cos ? cos ? = =-2 2 , 1 3 3 2 2 2 cos ? ? sin ? cos ? ? 4 4 4
即:cos

2 , 2

2 A? C = 。 2 2 2 1 1 + =- cos A cos C cos B

【另解】由 A+C=2B,得 A+C=120°,B=60°。所以

=-2 2 ,设

1 1 =- 2 +m, =- 2 -m , cos A cos C

所以 cosA=

1 1 ,cosC= ,两式分别相加、相减得: ? 2?m ? 2?m 2 2 A? C A? C A? C cos =cos = 2 , 2 2 2 m ?2

cosA+cosC=2cos

cosA-cosC=-2sin

A? C A? C A? C 2m sin =- 3 sin = 2 , 2 2 2 m ?2

即:sin

2 2 A? C A? C A? C 2m =- ,=- 2 ,代入 sin 2 +cos 2 =1 整理 2 2 2 2 m ?2 3( m ? 2) 2 2 2 A? C = 2 = 。 2 2 m ?2
1 1 + =-2 2 ”分别进行均值 cos A cos C

得:3m 4 -16m-12=0,解出 m 2 =6,代入 cos

【注】 本题两种解法由“A+C =120°” 、 “

换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对 三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:由 A+C =2B, 得 A+C=120°, B=60°。 所以

2 1 1 + =- =-2 2 , 即 cosA+cosC cos A cos C cos B

=-2 2 cosAcosC,和积互化得:

2cos

2 A? C A? C A? C cos =- 2 [cos(A+C)+cos(A-C), 即 cos = - 2 cos(A-C) 2 2 2 2



2 A? C A? C A? C - 2 (2cos 2 -1),整理得:4 2 cos 2 +2cos -3 2 =0, 2 2 2 2 2 A? C = 2 2
2

解得:cos

例 3. 设 a>0, 求 f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx? cosx-2a 的 最大值和最小值。 【解】 设 sinx+cosx =t,则 t∈[2

y , - 2 2 , 2 ],由(sinx+ ,
2

x

t 2 ?1 cosx) =1+2sinx?cosx 得:sinx?cosx= 2
1 1 2 (t-2a) + (a>0) ,t∈[- 2 , 2 ] 2 2 1 2 t=- 2 时,取最小值:-2a -2 2 a- 2 1 2 当 2a≥ 2 时,t= 2 ,取最大值:-2a +2 2 a- ; 2 1 当 0<2a≤ 2 时,t=2a,取最大值: 。 2
∴ f(x)=g(t)=-

?1 2 (0 ? a ? ) ? 1 ?2 2 2 ∴ f(x)的最小值为-2a -2 2 a- ,最大值为 ? 。 2 1 2 ? ? 2a 2 ? 2 2 a ? ( a ? ) ? 2 2 ?
【注】 此题属于局部换元法,设 sinx+cosx=t 后,抓住 sinx+cosx 与 sinx?cosx 的内在联系, 将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题, 使得容易求解。 换元过程中一定要注意新的参数的范围(t∈[- 2 , 2 ])与 sinx+cosx 对应,否则将会 出错。 本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法, 即由对称轴与闭区间的位 置关系而确定参数分两种情况进行讨论。 一般地,在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、差、积等而求三角式的最大 值和最小值的题型时,即函数为 f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法, 转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。 例 4. 设对所于有实数 x,不等式 x 2 log 2 恒成立,求 a 的取值范围。 (87 年全国理)

4( a ? 1) (a ? 1)2 2a +2x log 2 +log 2 >0 a a ?1 4a 2

4( a ? 1) ( a ? 1) 2 2a 【分析】不等式中 log 2 、 log 2 、log 2 三项有何联系?进行对 a a ?1 4a 2
数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。 【解】 设 log 2 log 2

4( a ? 1) 8( a ? 1) 2a a ?1 =t,则 log 2 =log 2 =3 +log 2 =3- a 2a a ?1 2a

(a ? 1)2 2a a ?1 =3-t,log 2 =2log 2 =-2t, 2 a ?1 2a 4a
2

代入后原不等式简化为(3-t)x +2tx-2t>0,它对一切实数 x 恒成立,所以:

?t ? 3 ?3 ? t ? 0 ,解得 ? ? 2 ? t ? 0或t ? 6 ?? ? 4t ? 8t (3 ? t ) ? 0 2a 0< <1,解得 0<a<1。 a ?1

∴ t<0 即 log 2

2a <0 a ?1

【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何 设元,关键是发现已知不等式中 log 2

4( a ? 1) (a ? 1)2 2a 、 log 2 、log 2 三项之间的联 a a ?1 4a 2

系。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法” 。另外,本题还要求对数运算十分熟 练。一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所 给的已知条件进行适当变形, 发现它们的联系而实施换元, 这是我们思考解法时要注意的一 点。

例 5. 已知 值。 【解】 设

sin θ cos 2 θ sin 2 θ 10 cos θ = ,且 + = 2 2 2 x x y 3( x ? y 2 ) y

(②式),求

x 的 y

sin θ cos θ = =k ,则 sinθ =kx,cosθ =ky,且 sin 2 θ +cos 2 θ = x y
y2 x2 即: 2 + 2 = x y

10 k 2 k2 y2 k 2x2 10 k (x +y )=1,代入②式得: + = = 3 x2 3( x 2 ? y 2 ) y2
2 2 2

10 3


1 x2 =t,则 t+ = 10 , 2 t 3 y

解得:t=3 或

1 3



x 3 =± 3 或± y 3

x sin θ cos 2 θ 【另解】 由 = =tgθ ,将等式②两边同时除以 ,再表示成含 tgθ y cos θ x2
的式子:1+tg 4 θ = (1 ? tg 2? ) ?

10 3(1 ? 1 ) tg 2?



10 2 tg θ ,设 tg 2 θ =t,则 3t 2 —10t+ 3 3

=0, ∴ t= 3 或

1 , 3

解得

x 3 =± 3 或± 。 y 3

【注】 第一种解法由

sin θ cos θ = 而进行等量代换, 进行换元, 减少了变量的个数。 x y

第二种解法将已知变形为

x sin θ = ,不难发现进行结果为 tgθ ,再进行换元和变形。两 y cos θ

种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。 例 6. 实数 x、y 满足

( x ? 1)2 ( y ? 1) 2 + =1,若 x+y-k>0 恒成立,求 k 的范围。 9 16

【分析】由已知条件 于是实施三角换元。

( x ? 1)2 ( y ? 1) 2 2 2 + =1,可以发现它与 a +b =1 有相似之处, 9 16

x ?1 ( x ? 1)2 ( y ? 1) 2 y ?1 【解】由 + =1,设 =cosθ , =sinθ , 3 4 9 16

即: ?

? x ? 1 ? 3 cos θ ? y ? ?1 ? 4 sin θ

代入不等式 x+y-k>0 得:

3cosθ +4sinθ -k>0,即 k<3cosθ +4sinθ =5sin(θ +ψ ) 所以 k<-5 时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式 恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一 般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等 有关问题时,经常使用“三角换元法” 。 本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法: 在平面直角坐标系, 不等式 ax+by +c>0 (a>0)所表示的区域为直线 ax+by+c=0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部 分。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的 点始终位于平面上 x+y-k>0 的区域。即当直线 x+y -k=0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭 y x

?16( x ? 1) 2 ? 9( y ? 1) 2 ? 144 圆相切时,方程组 ? 有相 ?x ? y ? k ? 0
等的一组实数解,消元后由△=0 可求得 k=-3,所以 k<-3 时原不等式恒成立。 Ⅲ、巩固性题组: 1. 已知 f(x 3 )=lgx A. 2lg2
4

k

x+y-k>0 平面区域

(x>0),则 f(4)的值为_____。 B.
1 lg2 3

C.

2 lg2 3

D.

2 lg4 3

2. 函数 y=(x+1) +2 的单调增区间是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞)
2

D. (-∞,+∞)

C. (-∞,-1]

3. 设等差数列{a n }的公差 d= 1 ,且 S 100 =145,则 a 1 +a 3 +a 5 +??+a 99 的值为_____。 A. 85
2 2

B.

72.5

C.

60

D.

52.5

4. 已知 x +4y =4x,则 x+y 的范围是_________________。 5. 已知 a≥0,b≥0,a+b=1,则 a ? 1 + b ? 1 的范围是____________。
2 2

6. 不等式 x >ax+ 3 的解集是(4,b),则 a=________,b=_______。
2

7. 函数 y=2x+ x ? 1 的值域是________________。 8. 在等比数列{a n }中,a 1 +a 2 +?+a 10 =2,a 11 +a 12 +?+a 30 =12,求 a 31 +a 32 +?+ a 60 。 9. 实数 m 在什么范围内取值,对任意实数 x,不等式 sin x+2mcosx+4m-1<0 恒成立。
2


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