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四川省资阳市2013届高三第一次模拟考试理科数学试卷

时间:2013-11-07


资阳市 2013 届高三第一次高考模拟考试

数 学(理工农医类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔

涂写在答题卡上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 用 如 需改劢,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,丌能答在试题卷上. 3.考试结束时,监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一幵收回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么
P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

球是表面积公式
S ? 4? R2

如果事件 A、B 相互独立,那么
P( A ? B) ? P( A) ? P(B)

其中 R 表示球的半径 球的体积公式 4 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P)n ? k

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目的要求的. 1.已知全集 U=N,集合 A ? {1,3,5,7,9} , B ? {0,3,6,9} ,则 A ? (? N B) ? (A) {1, 2,3} (B) {1,3,9} (C) {3,5,7} (D) {1,5,7}

2.已知 i 是虚数单位,复数 z ? (m2 ? 4) ? ? m ? 2 ? i (其中 m?R )是纯虚数,则 m= (A)-2 (B)2 (C) ?2 (D) ?4
1 1

3.已知命题 p:“若直线 ax+y+1=0 不直线 ax-y+2=0 垂直,则 a=1” ;命题 q:“ a 2 ? b 2 ” 是“ a ? b ”的充要条件,则 (A)p 真,q 假 (B)“ p ? q ”真 (C)“ p ? q ”真 (D)“ p ? q ”假

4.当前,某城市正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题.已知甲、乙、 丙三个社区现分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户,若第一批经济适用房中有 90 套住 房用亍解决这三个社区中 90 户低收入家庭的住房问题,先采用分层抽样的方法决定各社区 户数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为 (A)40 (B)36 (C)30 (D)20

5.在抛物线y2=2px(p>0)上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则该抛物线的准线方 程为
1 1 (C) x ? ?1 (D) x ? ? 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 6.已知向量 a,b 丌共线,设向量 AB ? a ? kb , CB ? 2a ? b , CD ? 3a ? b ,若 A,B,

(A) x ? 1

(B) x ?

D 三点共线,则实数 k 的值为 (A)10 (C)-2 (B)2 (D)-10

7.如果执行右面所示的程序框图,那么输出的 S ? (A)2352 (B)2450 (C)2550 (D)2652 8.某家电生产企业根据市场调查分析,决 定调整产品生产方案,准备每周(按 40 个工时 计算)生产空调器、彩电、冰箱共 120 台,且 冰箱至少生产 20 台. 已知生产这些家电产品每 家电名称 工 时 空调器
1 2

彩电
1 3

冰箱
1 4

产值(千元)

4

3

2

台所需工时和每台产值如右表所示.该家电生产企业每周生产产品的最高产值为 (A)1050 千元 (B)430 千元 (C)350 千元 (D)300 千元

9.含有数字 0,1,2,且有两个相同数字 1 或 2 的四位数的个数为 (A)12 (B)18 (C)24 (D)36

1 ? ?ax ? , x ? 0, 10.已知函数 f ( x) ? ? (其中 a ?R ) ,函数 g ( x) ? f ( f ( x)) ? 1 .下列关亍函 2 ?log 2 x, x ? 0 ?

数 g ( x) 的零点个数的判断,正确的是 (A)当 a>0 时,有 4 个零点;当 a<0 时,有 2 个零点;当 a=0 时,有无数个零点

(B)当 a>0 时,有 4 个零点;当 a<0 时,有 3 个零点;当 a=0 时,有 2 个零点 (C)当 a>0 时,有 2 个零点;当 a≤0 时,有 1 个零点 (D)当 a≠0 时,有 2 个零点;当 a=0 时,有 1 个零点

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷共 2 页,请用 0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,丌能直接答在此试 题卷上. 2.答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题目中的横 线上.
1 11.在二项式 (2 x ? )6 的展开式中,常数项为_________. x 12.在钝角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边,b=1,c= 3 ,∠B=30°,则

△ABC 的面积等亍___________. 13.已知非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? __________.
2 3 | a | ,则向量 a ? b 不 a ? b 的夹角为 3

y2 ? 1 上的一点, F1 、 F2 分别是该双曲线的左、右焦点,若△ 12 PF1 F2 的面积为 12,则 ?F1 PF2 ? _________.
14. 设 P 是双曲线 x2 ? 15.若函数 y ? f ( x) 对定义域的每一个值 x1 ,在其定义域内都存在唯一的 x2 ,使 1 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 成立,则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题:① y ? 2 是“依赖函数”; x ? ? ② y ? 2 ? sin x ( x ? [? , ] )是“依赖函数”;③ y ? 2 x 是“依赖函数”;④ y ? ln x 是“依赖 2 2 函数”;⑤ y ? f ( x) , y ? g ( x) 都是“依赖函数”,且定义域相同,则 y ? f ( x) ? g ( x) 是“依赖函 数”.其中所有真命题的序号是_____________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 某校团委会组织该校高中一年级某班以 小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活劢,且每个小组有 5 名 同学, 在实践活劢结束后, 学校团委会对该班的所有同学都进行了测评, 该班的 A、B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示, 其中 B 组一同学的分数已被污损,但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1 分. (Ⅰ)若在 A,B 两组学生中各随机选 1 人,求其得分均超过 86 分的概率; (Ⅱ)若校团委会在该班 A,B 两组学生得分超过 80 分的同学中随机挑选 3 人参加下 一轮的参观学习活劢,设 B 组中得分超过 85 分的同学被选中的个数为随机变量 ? ,求 ? 的

分布列和数学期望.

? 17. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x . 6 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; 1 ? 1 ? (Ⅱ)若 f ( ? ? ) ? ,且 ? ? ( , ? ) ,求 f (? ) 的值. 2 6 3 2

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2an ? 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) bn ? nan ? log 1 an , 令 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 若丌等式 (n ? 1)(Sn ? 2) ? Tn ? t ?
2

19 2 n 32

对任意 n ? N 恒成立,求实数 t 的取值范围.
*

19. (本小题满分 12 分)如图,边长为 a 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 AB、BC 上, 1 且 BE ? BF ? BC ,将△AED、△CFD 分 2 别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点重合亍点

A? ,连结 A?B.
(Ⅰ) 判断直线 EF 不 A?D 的位置关系, 幵说明理由; (Ⅱ)求二面角 F-A?B-D 的大小.

20. (本小题满分 13 分)如图,已知点 M 在圆 O: x2 ? y 2 ? 4 上运劢,MN⊥y 轴(垂 足为 N) ,点 Q 在 NM 的延长线上,且 | QN |? 2 | MN | . (Ⅰ)求劢点 Q 的轨迹方程; 1 (Ⅱ)直线 l : y ? x ? m 不(Ⅰ)中劢点 Q 的轨迹交亍两个丌 2 同的点 A 和 B, O 上存在两点 C、 满足 | CA |?| CB | , DA |?| DB | . 圆 D, | (ⅰ)求 m 的取值范围; | CD | (ⅱ)求当 取得最小值时直线 l 的方程. | AB |

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? b) ,g ( x) ? ae x ? 1 (其中 a ? 0 , ? 0 ) , b 且函数 f ( x) 的图象在点 A(0, f (0)) 处的切线不函数 g ( x) 的图象在点 B(0, g (0)) 处的切线重 合. (Ⅰ)求实数 a,b 的值;

(Ⅱ)若 ?x0 ,满足

x0 ? m ? x0 ,求实数 m 的取值范围; g ( x0 ) ? 1

(Ⅲ)若 x2 ? x1 ? 0 ,试探究 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 不 g ( x2 ? x1 ) 的大小,幵说明你的理由.

资阳市高中 2010 级第一次高考模拟考试

数学(理工农医类)参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5. DBDCC;6-10.BCCBA. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.160; 12.
3 ? ; 13. 60? ;14. ;15.②③. 4 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 94 ? 88 ? 86 ? 80 ? 77 16.解析: (Ⅰ)A 组学生的平均分为 , ? 85 (分) 5 ∴B 组学生平均分为 86 分, 设被污损的分数为 x, 由
9 ?3 8 1 9 ? 3 5 ? x5? 7

∴ ? 86 , x ? 88 ,

故 B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75,···························· 4 分 ····························
2 3 6 则在 A,B 两组学生中各随机选一人的得分均超过 86 分的概率 P ? ? ? . ··6 分 · 5 5 25

(Ⅱ)B 组中得分超过 85 分的同学有 3 人,故 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,则:
P(? ? 0) ?
3 C 2C1 18 C1C 2 12 C3 1 C4 4 , P(? ? 1) ? 4 3 3 ? ,P(? ? 2) ? 4 3 3 ? ,P(? ? 3) ? 3 ? , ? 3 3 C7 35 C7 35 C7 35 C7 35

······································································ 10 ······································································ 分 ∴? 的分布列为

?
P

0
4 35

1
18 35

2
12 35

3
1 35

······································································ 11 ······································································ 分

故 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 分

4 18 12 1 9 ····················· ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ····················· 12 35 35 35 35 7

17.解析: f ( x) ? cos(2x ?

?
6

) ? sin 2x

= cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? sin 2 x ?
? 2k? ?

3 1 ? ·········· 2 cos 2 x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) . ··········· 分 2 2 3
, k ? Z ,则 k? ? 5? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12

(Ⅰ)令 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

?
2

∴函数 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

5? ? ······················ , k? ? ](k ? Z). ······················ 4 分 12 12

1 ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( ? ? ) ? sin ? ? , 2 6 3

2 2 ? ∵ ? ? ( , ? ) ,∴ cos ? ? ? , ··········· ··········· ····· 分 ··········· ·········· ····· 6 ·········· ··········· ····· 3 2
1 2 2 4 2 2 2 2 7 故 sin 2? ? 2 ? ? (? , cos 2? ? 2(? ·········· ········· )?? ) ? 1 ? , ··········10 3 3 9 3 9



? 1 3 1 4 2 3 7 7 3 ?4 2 ∴ f (? ) ? sin(2? ? ) ? sin 2? ? . ·12 · cos 2? ? ? (? )? ? ? 3 2 2 2 9 2 9 18
分 18.解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2 ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 , ∴ an ? 2an ?1 ,故数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列, 故 an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n . ····················································· 4 分 ····················································· (Ⅱ)由(Ⅰ)得, bn ? n ? 2n ? log 1 2n ? n ? 2n ? n ,
2

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ·············· 分 ············· 5 令 Rn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n , 则 2Rn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ,

两式相减得 ? Rn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2

∴ Rn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 ,···················································· 分 ··················································· 7 故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 ?
n(n ? 1) , ····························· 分 ···························· 8 2

又由(Ⅰ)得, Sn ? 2an ? 2 ? 2n?1 ? 2 , ···································· 9 分 ···································· 丌等式 (n ? 1)(Sn ? 2) ? Tn ? t ? 即为 t ? ? 分 设 f (n) ? ?
3 2 1 3 8 4 n ? n ? 2 ,则 f (n) ? ? (n ? )2 ? , 32 2 32 3 3 43 , 32

19 2 n(n ? 1) 19 n 即为 (n ? 1)2n?1 ? (n ? 1)2n?1 ? 2 ? ? t ? n2 , 32 2 32

3 2 1 ······························ n ? n ? 2 对任意 n ? N* 恒成立, ······························ 10 32 2

∵ n ? N* ,∴ f (n)max ? f (3) ? ? 故实数 t 的取值范围是 (? 分 19. (本小题满分 12 分)

43 ······································· 12 , ??) . ········································ 32

解析: (Ⅰ)A?D⊥EF. ···················································1 分 ·················································· 证明如下: 因为 A?D⊥A?E,A?D⊥A?F, 所以 A?D⊥面 A?EF, 又 EF? 面 A?EF, 所以 A?D⊥EF. ···································· ? 直线 EF 不 A?D 的位置关系是异面垂直···································· 4 分 (Ⅱ)方法一、设 EF、BD 相交亍 O,连结 A?O,作 FH⊥A?B 亍 H,连结 OH, 因为 EF⊥BD,EF⊥A?D.

所以 EF⊥面 A?BD,A?B? 面 A?BD, 故 A?B⊥面 OFH,OH? 面 OFH,

所以 A?B⊥EF,又 A?B⊥FH, 所以 A?B⊥OH,

故 ?OHF 是二面角 F-A?B-D 的平面角.
BF ?

2a a a ,A?E=A?F= ,EF= ,则 EF 2 ? A?E 2 ? A?F 2 , 2 2 2 1 2 EF ? a, 2 4

所以,△A?EF 是直角三角形,则 OA? ? 则 OB ? OF ?

1 2 3 2 2 2 1 , EF ? a ? OA? , OD ? a ,∴ sin A?DB ? , cos A?DB ? 2 4 4 3 3
2 2 3a 2a 2 3a 2 6a ,所以 OH ? ( , ? ) ?( ) ? 3 3 4 6 12

则 A?B= a 2 ? ( 2a) 2 ? 2 ? a ? 2a ?

OF ? 所以, tan?OHF= OH

2a 4 ? 3 ,故 ?OHF= 60? . 6a 12

所以二面角 F-A?B-D 的大小为 60? . ····································· 12 ····································· 分 方法二、设 EF、BD 相交亍 O,连结 A?O,作 A?G ? BD 亍 G,可得 A?G⊥面 BEDF,
BF ?

2a a a ,A?E=A?F= ,EF= ,则 EF 2 ? A?E 2 ? A?F 2 , 2 2 2 1 2 EF ? a, 2 4

所以,△A?EF 是直角三角形,则 OA? ? 则 OB ? OF ?

1 2 3 2 EF ? a ? OA? ,则 OD ? a, 2 4 4

2 2 1 ∴ sin A?DB ? , cos A?DB ? , 3 3

所以 A?G ? A?D ? sin A?DB ?

2 2a 2a a , DG ? A?D ? cos A?DB ? ,则 BG ? , 3 3 3

a a 分别以 BF、 为空间直角坐标系的 x、 轴, BE y 建立如图坐标系, E (0, ,0) ,F ( ,0,0) , 则 2 2

??? ? a a a a F (a, a,0) , A?( , , ) ,故 BF ? ( ,0 ) ,0 3 3 3 2

??? ? ???? a a a ??? ? a a ,BA? ? ( , , ) ,BD ? (a, a,0) ,EF ? ( , ? ,0) , 3 3 3 2 2

??? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ? a a 因 EF ? BD ? 0 , EF ? BA? ? 0 ,故面 A?BD 的一个法向量 EF ? ( , ? ,0) , 2 2

? ? ??? a ?n ? BF ? 2 x ? 0, ? 设面 A?BF 的一法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? 取 n ? (0, ?1,1) , ???? ?n ? BA? ? a x ? a y ? a z ? 0, ? 3 3 3 ?
??? ? n ? EF ??? ? ? 设二面角 F-A?B-D 的平面角为 ? ,则 cos ? ? | n | ? | EF | a 2 2? 2a 2 1 ,∴ ? ? 60? , 2

?

故二面角 F-A?B-D 的大小为 60? . ······································· 12 ······································· 分 20.解析: (Ⅰ)设劢点 Q( x, y) ,点 M ( x0 , y0 ) ,
2 2 因为点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上,所以 x0 ? y0 ? 4 ,

因为 | QN |? 2 | MN | ,所以 x ? 2 x0 , y ? y0 , 把 x0 ?

x2 y 2 x 2 2 , y0 ? y 代入 x0 ? y0 ? 4 得劢点 Q 的轨迹方程为 ? ········· ? 1 . ········· 4 分 16 4 2

1 ? ? y ? 2 x ? m, (Ⅱ) (ⅰ)联立直线 l 不(Ⅰ)中的轨迹方程得 ? 2 ∴ x2 ? 2mx ? 2m2 ? 8 ? 0 , ? 2 ? x ? y ? 1, ?16 4 ?

由亍有两个交点 A、B,故 ? ? 0 ,解得 | m |? 2 2 ,

① ······················ 5 分 ······················

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 的 中 点 E ( x3 , y3 ) , 由 根 不 系 数 的 关 系 得
x1 ? x2 ? ? x3 ? 2 ? ?m, ? ? ? y ? 1 ? (?m) ? m ? m , ? 3 2 ? 2

故 AB 的垂直平分线方程为 y ?

m 3m ············ 6 ? ?2( x ? m) ,即 2 x ? y ? ? 0 . ············· 分 2 2

由圆 O 上存在两点 C、D,满足 CA ? CB , DA ? DB ,可知 AB 的垂直平分线不圆 O

3m | 4 5 交亍 C、D 两点,由直线不圆的位置关系可得 2 ? 2 ,解得 | m |? , ② 3 5 |

由①、②解得 | m |? 2 2 , ······································ ? m 的取值范围是 ?2 2 ? m ? 2 2 . ······································ 8 分
? x1 ? x2 ? ?2m, ? (ⅱ)由(ⅰ)知 ? 所以 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 x1 x2 ? 2m 2 ? 8, ? ?
1 5 ··························· ? 1 ? ( )2 ? 4m2 ? 4(2m2 ? 8) ? ? 32 ? 4m2 , ··························· 10 2 2



3m | | 80 ? 9m2 3m 又直线 2 x ? y ? , ······ 11 ······ ? 0 不圆的相交弦 | CD |? 2 22 ? ( 2 )2 ? 2 20 2 5

2 80 ? 9m2 20

?

| CD | ? | AB |

5 ? 32 ? 4m2 2

?

2 80 ? 9m2 2 9 2 , ? ? 2 5 32 ? 4m 5 4 8 ? m2

由(ⅰ) ?2 2 ? m ? 2 2 ,故当 m ? 0 时, 分 故直线 l 方程为 y ? 分

| CD | 2 9 2 ? ? 取得最小值, ···12 ·· | AB | 5 4 8 ? m2

1 ················································ 13 x . ················································· 2

21.解析: (Ⅰ)∵ f ( x) ? a ln( x ? b) ,∴ f ?( x) ? 斜率 k ? f ?(0) ?

a ,则 f ( x) 在点 A(0, a ln b) 处切线的 x?b

a a ,切点 A(0, a ln b) ,则 f ( x) 在点 A(0, a ln b) 处切线方程为 y ? x ? a ln b , b b

又 g ( x) ? ae x ? 1 ,∴ g ?( x) ? aex ,则 g ( x) 在点 B(0, a ? 1) 处切线的斜率 k ? g ?(0) ? a ,切 点 B(0, a ? 1) ,则 g ( x) 在点 B(0, a ? 1) 处切线方程为 y ? ax ? a ? 1 ,

?a ? ? a, 由 ?b 解得 a ? 1 , b ? 1 . ········································ 分 ······································· 4 ?a ln b ? a ? 1, ?

(Ⅱ)由

x?m x?m ? x 得 x ? x ,故 m ? x ? x ? e x 在 [0, ??) 上有解, g ( x) ? 1 e

令 h( x) ? x ? x ? e x ,只需 m ? h( x)max . ····································· 分 ···································· 6 ①当 x ? 0 时, h( x) ? x ? x ? e x ? 0 ,所以 m ? 0 ; ··························· 7 分 ··························· ②当 x ? 0 时,∵ h?( x) ? 1 ? (
1 2 x
1 2 x
ex 2 x ? x ? ex ) ? 1 ? ( 1 2 x ? x )e x ,

∵ x ? 0 ,∴

? x ?2

1 1 ? 2 , e x ? 1 ,∴ ( ? x )e x ? 2 , 2 2 x

故 h?( x) ? 1 ? (

? x )e x ? 0 ,即函数 h( x) ? x ? x ? e x 在区间 [0, ??) 上单调递减,

所以 h( x)max ? h(0) ? 0 ,此时 m ? 0 . 综合①②得实数 m 的取值范围是 (??,0) . ··································9 分 ································· (Ⅲ)令 u( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ? ln( x ? 1)( x ? ?1) , u?( x) ? e x ?

xe x ? e x ? 1 1 . ? x ?1 x ?1

令 v( x) ? xe x ? e x ? 1( x ? ?1) ,则 v?( x) ? e x ( x ? 2) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, ∴当 x ? 0 时, v( x) ? v(0) ? 0 成立,∴ u ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 故函数 u( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增,∴当 x ? 0 时, u( x) ? u(0) ? 0 恒成立, 故对亍任意 x2 ? x1 ? 0 ,有 g ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) . ··························· ·························· 12 分 又∵ x2 ? x1 ? 1 ?
x2 ? 1 x1 ( x2 ? x1 ) x ?1 ? ? 0 ,∴ ln( x2 ? x1 ? 1) ? ln 2 ? ln( x2 ? 1) ? ln( x1 ? 1) . x1 ? 1 x1 ? 1 x1 ? 1

∴ f ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,从而 g ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) .···················14 ·················· 分


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