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数学奥林匹克高中训练题(57)及答案

时间:2017-09-18


数学奥林匹克高中训练题(57)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1 . ( 训练 题 57) 若 f ( x ) 是 R 上 的减 函数,且 f ( x ) 图 像经过 点 A(0,3) 和 点 B(3,? 1),则不 等式

f ( x ? 1) ?1 ? 2 的解集为(D).
(A) (??,3) (B) (

??, 2) (C) (0,3) (D) (?1, 2)

2.(训练题57)若函数 f ( x) ? a2 sin 2x ? (a ? 2) cos 2x 的图像关于直线 x ? ? (C). (A) 2 或 ? 2 (B)1 或 ? 1 (C) 1 或 ? 2

?
8

对称,则 a 的值等于

(D) ? 1 或 2

3.(训练题57)设椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, A(0, ?1) 为短轴的一个端点, M , N 为椭圆上相异两点,若 3
(C) (?1,1) (D) [?1,1]

总存在以 MN 为底边的等腰 ?AMN ,则直线 MN 的斜率 k 的取值范围是(C). (A) (?1, 0] (B) [0,1]

4.(训练题57) f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且对任意的 x 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) .已知当 x ? (2,3] 时,

f ( x) ? x .那么,当 x ? (?2, 0] 时, f ( x) 的表达式为(C).
(A) f ( x) ? x ? 4 (B) f ( x) ? ?

? x ? 4, x ? (?2, ?1] ?? x ? 2, x ? (?1,0] ?? x ? 1, x ? (?2, ?1] ? ? x ? 3, x ? (?1, 0]

(C) f ( x) ? ?

? x ? 4, x ? (?2, ?1] ? ? x ? 3, x ? (?1,0]

(D) f ( x) ? ?

P 5. (训练题57)已知 ABCD ? A Q 为底面 ABCD 1B 1C1D 1 是边长为1的正方体, 为线段 AB1 上的动点,
上动点.则 PC1 ? PQ 的最小值为(A). (A) 1 ?

2 2

(B) 3

(C) 2

(D)

1 5 ? 2 2

6.(训练题57)已知在数列 {an } 中, a1 ? 1, Sn 为前 n 项的和,且满足 Sn ? n2 an (n ? 1, 2, 表达式为(D).

) .则 an 的

(A)

1 ( n ? 2) n?2

(B)

1 (n ? 3) n(n ? 1)

(C)

1 (n ? 4) 2(n ? 1)

(D)

2 n(n ? 1)

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题57)在 ?ABC 中, AD ? BC 于 D ,且 2.(训练题57)已知函数 y ?

AD 1 AC AB ? .则 ? 的最大值为 BC 3 AB AC

13

. .

a?x 的反函数图像关于点 (?1, 4) 成中心对称.则实数 a 的值 3 x ? a ?1

3.(训练题57)集合 A ? {x | a 2 ? 4 x ? x 2 ? a( x ? 1)}, B ? {x | x ?

1 1 ? } ,当 A ? B 时, a 的取值范 2 2

围为

1? a ? 2



4.(训练题57)已知线段 AD // 平面 ? ,且到平面 ? 的距离等于8,点 B 是平面 ? 内的一动点,且满 足 AB ? 10 .若 AD ? 21 ,则点 D 与 B 距离的最小值为 17 .
2 5 4 5.(训练题57)已知多项式 x ? x ? 1 整除多项式 ax ? bx ? 1 .则实数 a ?

3

,b ?

?5



6.(训练题57)设 S ? [ 1] ? [ 2] ? [ 3] ?

? [ 2002] ,其中 [ n ] 表示不超过 n 的最大整数。则

[ S ] 值等于

242



三 、 ( 训 练 题 57)( 本 题 满 分 20 分 ) 已 知 ?ABC 的 三 内 角 平 分 线 分 别 为 AA 1 , BB1, CC 1 . 若 向 量

AA1, BB1, CC 1满足关系 AA1 ? BB1 ? CC1 ? 0 ,试证: ?ABC 为正三角形.
四、(训练题57)(本题满分20分)已知数列 {an }, Sn 表示其前 n 项和.若满足关系 Sn ? an ? n2 ? 3n ?1 , 求数列 {an } 的通项公式 an 的表达式.( an ? 2n ?

1 ) 2n

五、(训练题57)(本题满分20分)已知椭圆的半长轴为 a ,半短轴为 b ,短轴的一个端点为 O , P, Q 为 椭圆上异于点 O 的任意两点, OP ? OQ .若点 O 在线段 PQ 上的身影为 M ,试求点 M 的轨迹.

第二试
一、 ( 训练题57)( 本题满分50 分 ) 如图,已知在 Rt ?ABC 中, E G B

C

AC ? BC, ? C ? 90o , O为斜边 AB 的中点,CH 为斜边 AB
上的高,延长 CH 到 D ,使得 CH ? DH , F 为中线 CO 上任 意一点, 过 B 作 BE ? AF 的延长线于 E , 连结 DE 交 BC 于 G .求证: CF ? GF .

F H O A

D

二、(训练题57)(本题满分50分)设 x ? 0 .求函数 f ( x) ?

x?

1 1 [ x][ ] ? [ x] ? [ ] ? 1 x x

1 x

的值域.其中 [ x ] 表示不

超过 x 的最大整数. 三、(训练题57)(本题满分50分)圆周上分布着 2002 个点,现将它们任意地染成白色或黑色,如果从某 一点开始,依任一方向绕圆周运动到任一点,所经过的(包括该点本身白点总数恒大于黑点总数,则 称该点为好点.为确保圆周上至少有一个好点.试求所染黑点数目的最大值.


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