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高考数学(人教a版,理科)题库:立体几何中的向量方法(一)(含答案)


第7讲
一、选择题

立体几何中的向量方法(一)
)

1.直线 l1,l2 相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0) B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0) C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2) D.s1=(1,-1,1),s2=(-2

,2,-2) 解析 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项 B 中的两个向量垂直. 答案 B

3 5? 15? ? ? 2.已知 a=?1,- , ?,b=?-3,λ ,- ?满足 a∥b,则 λ 等于( 2 2? 2? ? ? A. 2 3 - 3 2 B. 9 2 C.- 9 2 D.- 2 3

).

解析

5 2 1 9 由 = = ,可知 λ = . -3 λ 15 2 - 2 B

答案

3.平面 α 经过三点 A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面 α 的法向量不垂直的是 ?1 ? A.?2,-1,-1? ? ? C.(4,2,2) B.(6,-2,-2) D.(-1,1,4) ( ).

→ → → → → 解析 设平面 α 的法向量为 n,则 n⊥AB,n⊥AC,n⊥BC,所有与AB(或AC、 → → → BC)平行的向量或可用AB与AC线性表示的向量都与 n 垂直,故选 D. 答案 D 4.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点, 则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A.2 B. 3 C. 2 D.1 ( ).

解析 连接 AC,交 BD 于点 O,连接 EO,过点 O 作 OH⊥AC1 于点 H, 因为 AB=2, 所以 AC=2 2, 又 CC1 =2 2,所以 OH= 2sin 45° =1. 答案 D 5.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5, λ ),若 a,b,c 三向量共面,则实数 λ 等于( A. 62 7 B. 63 7 C. 60 7 ). D. 65 7

解析

由题意得 c=ta+μ b

=(2t-μ ,-t+4μ ,3t-2μ ),

?7=2t-μ ∴?5=-t+4μ ?λ =3t-2μ
答案 D



?t= 7 ? 17 ∴?μ = 7 ?λ =65 ? 7
33

.

→ 1 → 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM=2MC1,N 为 B1B → 的中点,则|MN|为 21 A. 6 a 解析 6 B. 6 a 15 C. 6 a 15 D. 3 a ( ).

以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系

a? ? Dxyz,则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N?a,a,2?. ? ? 设 M(x,y,z), → 1 → ∵点 M 在 AC1 上且AM=2MC1, 1 ∴(x-a,y,z)=2(-x,a-y,a-z) 2 a a ∴x=3a,y=3,z=3.

?2a a a? 得 M? 3 ,3,3?, ? ? → ∴|MN|= 答案 A 二、填空题 8 7. 若向量 a=(1, λ, 2), b=(2, -1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为9, 则 λ=________. 2-λ+4 8 a· b 解析 由已知得9=|a||b|= , 5+λ2· 9 2 ∴8 5+λ2=3(6-λ),解得 λ=-2 或 λ=55. 2 答案 -2 或55 8.在四面体 PABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,则点 P 到 平面 ABC 的距离为________. 解析 根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 P-xyz,则 P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0, a).过点 P 作 PH⊥平面 ABC,交平面 ABC 于点 H, 则 PH 的长即为点 P 到平面 ABC 的距离. ∵PA=PB=PC, ∴H 为△ABC 的外心. 又∵△ABC 为正三角形, ?a a a? ∴H 为△ABC 的重心,可得 H 点的坐标为?3,3,3?. ? ? ∴PH= a? 3 ? a?2 ? a?2 ? ?0-3? +?0-3? +?0-3?2= a. 3 ? ? ? ? ? ? 21 ? 2 ?2 ? a?2 ?a a?2 ?a-3a? +?a-3? +?2-3? = 6 a. ? ? ? ? ? ?

3 ∴点 P 到平面 ABC 的距离为 3 a. 答案 3 3a

9.平面 α 的一个法向量 n=(0,1,-1),如果直线 l⊥平面 α ,则直线 l 的单 位方向向量是 s=________. 解析 直线 l 的方向向量平行于平面 α 的法向量, 故直线 l 的单位方向向量

? 2 2? 是 s=±?0, ,- ?. 2 2? ? ? 2 2? 答案 ±?0, ,- ? 2 2? ? 10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动点,O 为底面正方形 ABCD 的中心,M, N 分别为 AB, BC 的中点, 点 Q 为平面 ABCD 内一点, → → 线段 D1Q 与 OP 互相平分, 则满足MQ=λMN的实数 λ 的有____________个. 解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为 2, 则 P(x , y,2) , O(1,1,0) , ∴ OP 的 中 点 坐 标 为 ?x+1 y+1 ? ? ?,又知 D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+ , , 1 2 ? 2 ? 1,0),而 Q 在 MN 上,∴xQ+yQ=3, ∴x+y=1,即点 P 坐标满足 x+y=1.∴有 2 个符 合题意的点 P,即对应有 2 个 λ. 答案 2 三、解答题 11.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:

a,b,c.


x 4 1 因为 a∥b,所以 = = , -2 y -1

解得 x=2,y=-4, 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为 b⊥c, 所以 b·c=0,即-6+8-z=0, 解得 z=2,于是 c=(3,-2,2). 12.如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2, AF=1,M 是线段 EF 的中点. 求证:(1)AM∥平面 BDE;

(2)AM⊥平面 BDF. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AC∩BD=N,连接 NE. ? 2 ? 2 则 N? , ,0?,E(0,0,1), 2 ?2 ? ? 2 2 ? A( 2, 2,0),M? , ,1? 2 ?2 ? → ? ? 2 2 ∴NE=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? → ? 2 2 ? AM=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? → → ∴NE=AM且 NE 与 AM 不共线.∴NE∥AM. 又∵NE?平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. → ? ? 2 2 (2)由(1)知AM=?- ,- ,1?, 2 ? 2 ? ∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1), → ∴DF=(0, 2,1) → → ∴AM· DF=0,∴AM⊥DF. 同理 AM⊥BF. 又 DF∩BF=F,∴AM⊥平面 BDF. 13.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC, E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论. (1)证明 如图,以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x

轴,y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设 AD=a,则 a ? ? D(0,0,0)、 A(a,0,0)、 B(a, a,0)、 C(0, a,0)、 E?a,2,0?、 ? ? ?a a a? P(0,0,a)、F?2,2,2?. ? ? a? → → ? a EF=?-2,0,2?,DC=(0,a,0). ? ?

→ → → → ∵EF· DC=0,∴EF⊥DC,即 EF⊥CD. (2)解 a a? → ? a 设 G(x,0,z),则FG=?x-2,-2,z-2?, ? ?

若使 GF⊥平面 PCB,则由 a a? a → → ? a ? a? FG· CB=?x-2,-2,z-2?· (a,0,0)=a?x-2?=0,得 x=2; ? ? ? ? a a? → → ? a 由FG· CP=?x-2,-2,z-2?· (0,-a,a) ? ? a ? a? =22+a?z-2?=0, ? ? 得 z=0. ?a ? ∴G 点坐标为?2,0,0?,即 G 点为 AD 的中点. ? ? 14.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB =4 ,BC= 3 ,AD=5,∠ DAB=∠ABC=90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四 棱锥 P-ABCD 的体积. 解 如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所 在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐 标系.设 PA=h,则相关各点的坐标为: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4, 3,0), D(0,5,0), E(2,4,0), P(0,0,h). → → → (1)易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h). → → → → 因为CD· AE=-8+8+0=0,CD· AP=0,所以 CD⊥AE,CD⊥AP.而 AP,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. → → (2)由题设和(1)知,CD· PA分别是平面 PAE,平面 ABCD 的法向量.而 PB 与 → → 平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,所以|cos〈CD,PB〉| → → =|cos〈PA,PB〉|,

? → → ? ? → → ? CD· PB ? ? PA· PB ? 即? = ? → → ? ? → → ?. |PB|? ?|PA|· |PB|? ?|CD|· → → 由(1)知,CD=(-4,2,0),PA=(0,0,-h), → 又PB=(4,0,-h),
2 ? -16+0+0 ? ? 0+0+h ? 故? 2?=? 2?. ?2 5× 16+h ? ?h× 16+h ?

8 5 解得 h= 5 . 1 又梯形 ABCD 的面积为 S=2×(5+3)×4=16, 1 1 8 5 128 5 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V=3×S×PA=3×16× 5 = 15 .


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