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第2讲 综合法、分析法、反证法


第2讲 综合法、分析法、反证法 ? 夯基释疑 考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 ? 课堂小结 例1 例2 例3 训练1 训练2 训练3 夯基释疑 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( ) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充 要条件.( ) (3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设

“a<b”.( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( ) 第2页 返回目录 结束放映 考点突破 考点一 综合法的应用 【例题 1】设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1, 1 a2 b2 c2 证明:(1)ab+bc+ac≤ ;(2) b + c + a ≥1. 3 证明(1) 由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1, 即 ab+bc+ca≤ . 3 2 2 2 a b c ( 2) 因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c, a2 b2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), a2 b2 c2 a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. 所以 + + ≥1. b c a 第3页 返回目录 结束放映 考点突破 考点一 综合法的应用 规律方法 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法 的适用范围: (1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证 无条件的等式或不等式. (2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近 结论的题型.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系 不明确,逻辑表达混乱. 第4页 返回目录 结束放映 考点突破 考点一 综合法的应用 → → 【训练 1】在△ABC 中,设CB=a,CA=b, 1 求证:S△ABC= |a|2|b|2-(a· b)2. 2 1 a· b 证明 ∵S△ABC=2|a||b|sin C,cos C=|a||b|, 1 2 2 2 1 2 2 2 ∴S△ABC= |a| |b| sin C = |a| |b| (1-cos2C) 4 4 ? a· b ?2? 1 2 2? = |a| |b| ?1-?|a||b|? ? 4 ? ? ? ? 1 2 2 = [|a| |b| -(a· b)2] 4 1 ∴S△ABC= |a|2|b|2-(a· b)2. 2 第5页 返回目录 结束放映 考点突破 考点二 分析法的应用 【例题 2】已知 a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b. 证明: 要证明 2a3-b3≥2ab2-a2b 成立, 只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0, 即 2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0, 即 2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0, ∵a≥b>0, ∴a-b≥0, a+b>0, 2a+b>0, 从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0 成立, ∴2a3-b3≥2ab2-a2b. 第6页 返回目录 结束放映 考点突破 考点二 分析法的应用 规律方法 (1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不 够明显、 直接, 或证明过程中所需要用的知识不太明确、 具体时, 往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从 正面不易推导时

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