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江苏省南京市鼓楼区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


江苏省南京市鼓楼区 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上) 1. (3 分)过点(2,﹣2) , (﹣2,6)的直线方程是. 2. (3 分)命题“?x∈,x ﹣3x+1<0”的否定是. 3. (3 分)圆 C1: (x+1) +(y+1) =1 和圆

C2:x +y +4x﹣4y﹣1=0 的位置关系是. 4. (3 分)直线 x+2y﹣2=0 与 2x+a y﹣2a=0 垂直,则 a 的值是. 5. (3 分)过点(2,﹣2)的抛物线的标准方程是. 6. (3 分)点(﹣2,t)在直线 2x﹣3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是. 7. (3 分)已知△ ABC 和△ DEF,则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件 (填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中的一个) .
2 2 2 2 2

8. (3 分)椭圆 的面积为.

上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直,则△ PF1F2

9. (3 分)已知双曲线的中心是原点,焦点到渐近线的距离为 2 则其渐近线方程为.

,一条准线方程为 y=﹣1,

10. (3 分)圆心在 y 轴上,且与直线 2x+3y﹣10=0 相切于点 A(2,2)的圆的方程是. 11. (3 分)若“(x﹣a) (x﹣a﹣1)<0”是“1<2 <16”的充分不必要条件,则实数 a 的取值 范围是.
x

12. (3 分)直线 y=﹣x﹣b 与曲线

有且只有一个交点,则 b 的取值范围是.

13. (3 分) 曲线 在 C 上,则 C 的方程是.

=

(2﹣x) 的焦点是双曲线 C 的焦点, 点 ( 3, ﹣



14. (3 分)已知圆(x﹣a) +(y﹣b) =4 过坐标原点,则 a+b 的最大值是.
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2

2

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 15. (8 分)写出命题“若直线 l 的斜率为﹣1,则直线 l 在两坐标轴上截距相等”的逆命题, 否命题与逆否命题,并分别指出这三个命题是真命题还是假命题? 16. (9 分)某企业计划生产 A,B 两种产品.已知生产每吨 A 产品需 3 名工人,耗电 4kW, 可获利润 7 万元;生产每吨 B 产品需 10 名工人,耗电 5kW,可获利润 12 万元,设分别生 产 A,B 两种产品 x 吨,y 吨时,获得的利润为 z 万元. (1)用 x,y 表示 z 的关系式是; (2)该企业有工人 300 名,供电局只能供电 200kW,求 x,y 分别是多少时,该企业才能 获得最大利润,最大利润是多少万元? 17. (10 分)已知直线 l:2x+y+4=0,圆 C:x +y +2x﹣4y+1=0. (1)直线 m 与直线 l 平行,且与圆 C 相切,求 m 的方程; (2)设直线 l 和圆 C 的两个交点分别为 A,B,求过 A,B 的圆中面积最小的圆的方程. 18. (10 分)设直线 l 的方程是 x+my+2 =0,圆 O 的方程是 x +y =r (r>0) . (1)当 m 取一切实数时,直线 l 与圆 O 都有公共点,求 r 的取值范围; (2)r=4 时,求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围.
2 2 2 2 2

19. (10 分)已知双曲线 C1:

﹣8y =1(a>0)的离心率是

2

,抛物线 C2:y =2px 的准

2

线过 C1 的左焦点. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,4)是 C2 上三点,且 CA⊥CB,证明:直线 AB 过定点,并求出这个定点的坐标.

20. (11 分)椭圆

+

=1(a>b>0)的中心是 O,左,右顶点分别是 A,B,点 A 到右

焦点的距离为 3,离心率为 ,P 是椭圆上与 A,B 不重合的任意一点. (1)求椭圆方程; (2)设 Q(0,﹣m) (m>0)是 y 轴上定点,若当 P 点在椭圆上运动时 PQ 最大值是 求 m 的值.



江苏省南京市鼓楼区 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
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参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上) 1. (3 分)过点(2,﹣2) , (﹣2,6)的直线方程是 2x+y﹣2=0. 考点: 直线的两点式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 利用两点式即可得出. 解答: 解:过点(2,﹣2) , (﹣2,6)的直线方程是 化为 2x+y﹣2=0. 故答案为:2x+y﹣2=0. 点评: 本题考查了两点式,属于基础题. 2. (3 分)命题“?x∈,x ﹣3x+1<0”的否定是?x∈,x ﹣3x+1≥0. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题, 2 2 所以命题“?x∈,x ﹣3x+1<0”的否定是:?x∈,x ﹣3x+1≥0. 2 故答案为:?x∈,x ﹣3x+1≥0. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系. 3. (3 分)圆 C1: (x+1) +(y+1) =1 和圆 C2:x +y +4x﹣4y﹣1=0 的位置关系是相交. 考点: 专题: 分析: 解答: 圆与圆的位置关系及其判定. 计算题;直线与圆. 根据两圆的圆心距满足 3﹣1< <1+3,可得两圆的位置关系. 2 2 2 2 解:由题意可得,圆 C2:x +y +4x﹣4y﹣1=0 可化为(x+2) +(y﹣2) =9 = ,
2 2 2 2 2 2



两圆的圆心距 C1C2=

∵3﹣1< <1+3, ∴两圆相交. 故答案为:相交. 点评: 本题主要考查圆的标准方程,两个圆的位置关系的判定方法,属于中档题. 4. (3 分)直线 x+2y﹣2=0 与 2x+a y﹣2a=0 垂直,则 a 的值是﹣1. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用两直线垂直斜率之积等于﹣1,解方程求得实数 a 的值.

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解答: 解:直线 x+2y﹣2=0 的斜率是﹣ ,直线 2x+ay﹣2a=0 的斜率是



∵直线 x+2y﹣2=0 与 2x+ay﹣2a=0 互相垂直, 故两直线的斜率都存在, 且斜率之积等于﹣1, ∴﹣ × =﹣1,解得 a=﹣1,

故答案为:﹣1. 点评: 本题主要考查两直线垂直的性质,两直线垂直斜率之积等于﹣1,属于基础题. 5. (3 分)过点(2,﹣2)的抛物线的标准方程是 y =2x 或 x =﹣2y. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分别设焦点在 x 轴和在 y 轴上的抛物线的方程,然后将点代入即可. 2 解答: 解:①设焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为 y =ax,将点(2,﹣2)代入可得 a=2, 2 故抛物线的标准方程为 y =2x 2 ②设焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程为 x =by,将点(2,﹣2)代入可得 b=﹣2 2 故抛物线的标准方程为 x =﹣2y 2 2 故答案为:y =2x 或 x =﹣2y 点评: 本题主要考查抛物线的标准方程,考查学生的计算能力,正确分类是关键.
2 2

6. (3 分)点(﹣2,t)在直线 2x﹣3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是 t> .

考点: 专题: 分析: 解答:

两条直线的交点坐标. 计算题. 点在直线上方,点的坐标代入方程,有﹣4﹣3t+6<0,求出 t 的取值范围. 解:点(﹣2,t)在直线 2x﹣3y+6=0 的上方,

则﹣4﹣3t+6<0 则 t 的取值范围是:t> 故答案为:t> 点评: 本题考查点与直线的位置关系,是基础题. 7. (3 分)已知△ ABC 和△ DEF,则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的充分 不必要条件(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中的一个) . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 结合充分必要条件的定义,分别对充分性,必要性进行判断即可. 解答: 解:“这两个三角形全等”能推出“这两个三角形面积相等”,是充分条件, “这两个三角形面积相等”推不出“这两个三角形全等”,不是必要条件, 故答案为:充分不必要. 点评: 本题考查了充分必要条件,是一道基础题.
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8. (3 分)椭圆 的面积为 24.

上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直,则△ PF1F2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据椭圆的标准方程求出焦点坐标,利用点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互 相垂直以及点 P 在椭圆上,求出点 P 的纵坐标,从而计算出△ PF1F2 的面积. 解答: 解:由题意得 a=7,b=2 , ∴c=5,两个焦点 F1 (﹣5,0) ,F2(5,0) , 设点 P(m,n) , 则 由题意得
2

=﹣1,

+

=1,

∴n =

,n=±

, ×2c×|n|= ×10× =24,

则△ PF1F2 的面积为

故答案为:24. 点评: 本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识,考 查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基础题. 9. (3 分)已知双曲线的中心是原点,焦点到渐近线的距离为 2 则其渐近线方程为 y=± x. ,一条准线方程为 y=﹣1,

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 双曲线的焦点在 y 轴上,且 =1,焦点到渐近线的距离为 2 ,求出 a,b,c,

即可求出双曲线的渐近线方程. 解答: 解:∵一条准线方程为 y=﹣1, ∴双曲线的焦点在 y 轴上,且 ∵焦点到渐近线的距离为 2 ∴ ∴b=2 , ∴a=2,c=4 ∴渐近线方程为 y=± x=± x. =2 , , =1,

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故答案为:y=±

x.

点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、 点到直线的距离公式, 属于基础题. 10. (3 分)圆心在 y 轴上,且与直线 2x+3y﹣10=0 相切于点 A(2,2)的圆的方程是 x + 2 (y+1) =13. 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设圆心为 A(0,b) ,则 解答: 解:设圆心为 A(0,b) ,则 = = ,求出 b,即可得出圆的方程. ,
2

∴b=﹣1, 2 2 ∴圆的方程是 x +(y+1) =13. 2 2 故答案为:x +(y+1) =13. 点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆相切,求出圆心坐标是关键. 11. (3 分)若“(x﹣a) (x﹣a﹣1)<0”是“1<2 <16”的充分不必要条件,则实数 a 的取值 范围是(0,3) . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 将问题转化为“a<x<a+1”是“0<x<4”的充分不必要条件, 得不等式组, 解出即可. 解答: 解:若“(x﹣a) (x﹣a﹣1)<0”是“1<2 <16”的充分不必要条件 ?“a<x<a+1”是“0<x<4”的充分不必要条件 ? ,解得:0<a<3,
x x

故答案为: (0,3) . 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了转化思想,是一道基础题.

12. (3 分) 直线 y=﹣x﹣b 与曲线 或 .

有且只有一个交点, 则 b 的取值范围是﹣1<b≤1

考点: 直线与圆的位置关系;曲线与方程. 专题: 综合题;数形结合. 分析: 根据曲线方程可得曲线为一个圆心为原点,半径为 1 的半圆,根据图形可知,当直 线与圆相切时,切点为 A,直线与圆只有一个交点;当直线在直线 BC 与直线 ED 之间,且 与直线 BC 不能重合,与直线 ED 可以重合,此时直线与圆也只有一个交点,分别求出各自 直线的与 y 轴的截距的范围即可得出 b 的范围. 解答: 解:由题意可知:曲线方程表示一个在 y 轴右边的单位圆的一半, 则圆心坐标为(0,0) ,圆的半径 r=1,
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当直线 y=﹣x﹣b 与圆相切时, 圆心到直线的距离 d= =r=1,解得 b=﹣ ;

当直线在直线 ED 与直线 BC 之间时,直线 y=﹣x﹣b 与直线 ED 重合时,b=1,与直线 BC 重合时,b=﹣1, 所以﹣1<b≤1, 综上,b 的取值范围为﹣1<b≤1 或 b=﹣ . 故答案为:﹣1<b≤1 或 b=﹣

点评: 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系,灵活运用点到直线的距离公式化简求值, 是一道综合题.

13. (3 分) 曲线
2 2

=

(2﹣x) 的焦点是双曲线 C 的焦点, 点 ( 3, ﹣



在 C 上,则 C 的方程是 3x ﹣ y =1.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: = (2﹣x) 可化为
2

,焦点为(±1,0) ,设双曲线

方程为

,代入点(3,﹣

) ,求出 a = ,即可求出 C 的方程.

解答: 解:

= ,

(2﹣x) 可化为

,焦点为(±1,0) ,

设双曲线方程为

∵点(3,﹣

)在 C 上,

∴ ∴a = ,
2



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∴C 的方程是 3x ﹣ y =1. 故答案为:3x ﹣ y =1. 点评: 本题考查双曲线方程,考查椭圆的性质,考查学生的计算能力,属于中档题. 14. (3 分)已知圆(x﹣a) +(y﹣b) =4 过坐标原点,则 a+b 的最大值是 2
2 2 2 2

2

2



考点: 圆的标准方程;基本不等式. 专题: 计算题;直线与圆. 2 2 2 2 2 分析: 先确定 a +b =4,再利用(a+b) ≤2(a +b )=8,即可求出 a+b 的最大值. 2 2 解答: 解:∵圆(x﹣a) +(y﹣b) =4 过坐标原点, 2 2 ∴a +b =4, 2 2 2 ∴(a+b) ≤2(a +b )=8 ∴a+b 的最大值是 2 . 故答案为:2 . 点评: 本题考查圆的标准方程,考查基本不等式的运用,比较基础. 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 15. (8 分)写出命题“若直线 l 的斜率为﹣1,则直线 l 在两坐标轴上截距相等”的逆命题, 否命题与逆否命题,并分别指出这三个命题是真命题还是假命题? 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 集合四种命题之间的关系,分别写出相对应的另外 3 个命题即可. 解答: 解:逆命题 若直线 l 在两坐标轴上截距相等,则直线 l 的斜率为﹣1;该命题是假命题; 否命题 若直线 l 的斜率不为﹣1,则直线 l 在两坐标轴上截距不相等;该命题是假命题; 逆否命题 若直线 l 在两坐标轴上截距不相等,则直线 l 的斜率为不﹣1;该命题是真命题. 点评: 本题考查了四种命题之间的关系,考查了命题的真与假,是一道基础题. 16. (9 分)某企业计划生产 A,B 两种产品.已知生产每吨 A 产品需 3 名工人,耗电 4kW, 可获利润 7 万元;生产每吨 B 产品需 10 名工人,耗电 5kW,可获利润 12 万元,设分别生 产 A,B 两种产品 x 吨,y 吨时,获得的利润为 z 万元. (1)用 x,y 表示 z 的关系式是 z=7x+12y; (2)该企业有工人 300 名,供电局只能供电 200kW,求 x,y 分别是多少时,该企业才能 获得最大利润,最大利润是多少万元? 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;应用题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: (1)由题意写出 z=7x+12y;
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(2)由题意得到不等式组,从而作出可行域,z=7x+12y 可化为 y=﹣ 意义找到最优解,解出最优解代入求最值. 解答: 解: (1)由题意,z=7x+12y; 故答案为:z=7x+12y.

x

,从而由几何

(2)根据题意得

作出可行域如右图,

由 记点 A. 当斜率为﹣

解得,

的直线经过点 A 时,在 y 轴上的截距最大. (万元) . 万元.

此时,z 取得最大值,为

所以,x,y 分别是 20,24 时,该企业才能获得最大利润,最大利润是

点评: 本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及简单线性规划问题的处理方 法,属于中档题. 17. (10 分)已知直线 l:2x+y+4=0,圆 C:x +y +2x﹣4y+1=0. (1)直线 m 与直线 l 平行,且与圆 C 相切,求 m 的方程; (2)设直线 l 和圆 C 的两个交点分别为 A,B,求过 A,B 的圆中面积最小的圆的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)结合斜率为﹣2,利用待定系数法给出直线的方程,然后根据相切列出关于待 定系数的方程,解之即可; (2)显然以直线与圆相交弦 AB 为直径时,动圆的面积最小,只需求出两交点 A,B,则圆 心、半径可求. 解答: 解: (1)易得直线 l 的斜率为﹣2,圆 C 的圆心为点(﹣1,2) ,半径为 2. 设直线 m 的方程为 2x+y+k=0, 由直线与圆相切得 =2,解得 k=±2 .所以 m 的方程为 2x+y±2 =0.
2 2

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(2)由

可得两交点的坐标分别为(﹣

, ) , (﹣3,2) .

由题意,过 A,B 且面积最小的圆即以线段 AB 为直径的圆,由中点坐标公式得圆心为(﹣ ) ,半径 r= 故所求方程为(x+ ) +(y﹣ ) = .
2 2



点评: 本题考查了直线与圆的相切问题,主要是考虑圆心到直线的距离等于半径列方 程.本题的第二问则利用弦长和直径的关系进行分析,则 AB 变成直径时,对应的圆最小. 18. (10 分)设直线 l 的方程是 x+my+2 =0,圆 O 的方程是 x +y =r (r>0) . (1)当 m 取一切实数时,直线 l 与圆 O 都有公共点,求 r 的取值范围; (2)r=4 时,求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1) 只需直线所过的定点在圆内, 即可使得 m 取一切值时, 直线与圆都有公共点; (2)显然定点与圆心的连线垂直于直线时,弦长最短,直线过圆心时,弦长为直径最大. 解答: 解: (1)直线 l 过定点(﹣2 ,0) ,当 m 取一切实数时,直线 l 与圆 O 都有公共 点等价于点(﹣2 ,0)在圆 O 内或在圆 O 上, 所以 .解得 .
2 2 2

所以 r 的取值范围是 当直线过圆心时,弦长最大,即 x 轴被圆 O 截得的弦长为 2r=8; 所以直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系, 抓住圆心到直线的距离和半径, 以及直线的特征 是解题的关键.

19. (10 分)已知双曲线 C1:

﹣8y =1(a>0)的离心率是

2

,抛物线 C2:y =2px 的准

2

线过 C1 的左焦点. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,4)是 C2 上三点,且 CA⊥CB,证明:直线 AB 过定点,并求出这个定点的坐标. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)双曲线 C1: ﹣8y =1(a>0)的离心率是
2

,所以 a = ,c = ,即可求

2

2

抛物线 C2 的方程; (2)求出 A,B 的坐标,可得直线 AB 的方程,即可得出结论.
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解答: 解: (1)因为双曲线 C1: 所以 a = ,c = ,…(2 分)
2 2

﹣8y =1(a>0)的离心率是

2



所以抛物线 C2:y =2px 的准线方程是 x=﹣ , 所以 p=1,抛物线 C2 的方程是 y =2x. …(4 分) (2)不妨设 C(8,4) , 设 AC 的斜率为 k,则直线 AC 的方程是 y﹣4=k(x﹣8) , x= 代入并整理,得 ky ﹣2y+8﹣8k=0,
2 2

2

方程的两根是 4 和 ﹣4,所以 y1= ﹣4,x1=



A 点的坐标是(

, ﹣4) ,
2

同理可得 B 点的坐标(2(2+k) ,﹣2k﹣4) ,…(7 分) 直线 AB 的斜率 kAB= ,

直线 AB 的方程是 y﹣(﹣2k﹣4)=



即 y=

(x﹣10)﹣4,…(9 分)

直线 AB 过定点,定点坐标是(10,﹣4) . …(10 分) 点评: 本题主要考查了直线与曲线方程的位置关系及方程思想的转化, 方程的根与系数的 关系的应用, 抛物线的定义的应用. 综合的知识的较多, 还有具备一定的计算及推理的能力.

20. (11 分)椭圆

+

=1(a>b>0)的中心是 O,左,右顶点分别是 A,B,点 A 到右

焦点的距离为 3,离心率为 ,P 是椭圆上与 A,B 不重合的任意一点. (1)求椭圆方程; (2)设 Q(0,﹣m) (m>0)是 y 轴上定点,若当 P 点在椭圆上运动时 PQ 最大值是 求 m 的值. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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分析: (1)利用点 A 到右焦点的距离为 3,离心率为 ,求出 a,c,可得 b,即可求椭 圆方程; (2)求出 PQ =x0 +(y0+m) =﹣ (y0﹣3m) +4m +4,分类讨论,利用 PQ 最大值是 求 m 的值. 解答: 解: (1)由题意得 ,解得
2 2 2 2 2



所以,所求方程为
2 2 2

.…(4 分)
2 2

(2)PQ =x0 +(y0+m) =﹣ (y0﹣3m) +4m +4,…(6 分) ①当 0<m≤ ②当 m> 时,PQmax=2 时,PQmax=m+ ,令 2 ,令 m+ = = ,得 m= ;…(8 分) ﹣ (舍去) ;…(10 分)

,得 m=

所以 m 的值是 .…(11 分) 点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.

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江苏省南京市鼓楼区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷与解析(理科)

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江苏省南京市鼓楼区2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题 Word版含答案

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2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二(上)期中数学试卷(文科)

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