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利用均值不等式求最值的方法学生用

时间:2012-12-15


利用均值不等式求最值的方法
a ?b ? ab (a ? 0,b ? 0, 当且仅当 a=b 时等号成立) 是一个重要的不等式, 利用它可以求解函数最值问题。 2

均值不等式

对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方 法。

一、配凑 1. 凑系数 例 1. 当 0 ? x ? 4 时,求 y ? x (8 ? 2 x ) 的最大值。 2. 凑项 例 2. 已知 x ? 3. 分离 例 3. 求 y ?

5 1 ,求函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

x 2 ? 7 x ? 10 ( x≠ ? 1) 的值域。 x ?1
1 1 ? 的最小值。 a b

二、整体代换 例 4. 已知 a ? 0,b ? 0,a ? 2b ? 1 ,求 t ? 三、换元 例 5. 求函数 y ? 四、取平方 例 6. 求函数 y ? [练一练] 1. 若 0 ? x ? 2 ,求 y ? 2. 求函数 y ?

x?2 的最大值。 2x ? 5
1 5 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( ? x ? ) 的最大值。 2 2

x(6 ? 3x) 的最大值。

1 ? x ( x ? 3) 的最小值。 x?3

x2 ? 8 ( x ? 1) 的最小值。 3. 求函数 y ? x ?1
4. 已知 x ? 0,y ? 0 ,且

1 1 ? ? 9 ,求 x ? y 的最小值。 x y
3. 8 4.

参考答案:1.

3

2. 5

4 9

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