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2013届高三数学第一轮复习 第11章计数原理


第十一章

计数原理

本章知识要点
【考纲要求】 1. 分类与分步计数原理、排列组合以及二项式定理都为 B 级要求. 2.掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它分析和解决一些简单的应用问题;理解排 列与组合的意义, 掌握排列数与组合数计算公式以及组合数性质, 并能用它们解决一些简单 的应用问题; 掌握二项式定理和二项展开式的性

质, 并能用它们计算和证明一些简单的问题. 3.排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问 题和解决问题的能力及分类讨论思想. 它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成 部分,是进一步学习概率论的基础知识.由于这部分内容概念性强,抽象性强,思维方法新 颖,同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误,而且结果数目较大,无法一一检验, 因此要学好本节有一定的难度. 解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解, 掌握 知识的内在联系和区别,严谨而周密地去思考分析问题. 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识, 高考重点考查展开式及通项, 难度 与课本内容相当.另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题, 在高考中也时有出现. 【知识回顾】 1.分类计数原理(也称加法原理) :做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中 有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种 不同的方法,那么完成这件事共有 N = 种不同的方法. 2.分步计数原理(也称乘法原理) :做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成 这件事共有 N = 3.一般地说, 出 m 个元素的一个排列. 4. 个元素的排列数,用符号 A 种不同的方法. __________________,叫做从 n 个不同元素中取 ______________________, 叫做从 n 个为不同元素中取出 m
m n 表示.排列数公式 m An =

.这里 m ? n ,其

中等式的右边是 个连续的自然数相乘,最大的是 ,最小的是 . 5. , 叫做 n 个不同元素的一个全排列, 全排列数用______表示, 它等于自然数从 1 到 n 的连乘积,也称为 n 的阶乘,用 表示. 6.一般地说,____________________________________________,叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个组合. 7.排列与组合的共同点:___________________________,而不同点___________________. 8.______________________________________,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组
m m 合数,用符号 Cn 表示.组合数公式 Cn =

____=



9.组合数性质:
m n?m ① Cn ? Cn

m m m ?1 ② Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1

③ Cn ?
m

n m ?1 Cn ?1 m

m m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 ④ Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 3 ? ? ? Cn ? m (m ? n)

⑤ C n ? C r C n ?r ? C r
m m 0

m?1

1 1 m 0 m Cn?r ? ... ? C r C n??1 ? Cr C n?r r

10. ? a ? b ? =
n

_______( n ? N ),这个公式称做二项式定理,右边的多项式叫

~ 209 ~

做 ? a ? b ? 的二项展开式,其中的系数
n

叫做二项式系数.式中的

叫做二项

展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项公式 Tr ?1 =

是表示展开式的第 r ? 1 项.

11.二项式定理中,二项式系数的性质有: ① 在二项式展开式中,与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等,即:
0 n 1 n 2 n r n Cn ? Cn , Cn ? Cn ?1, Cn ? Cn ?2 ,?Cn ? Cn ?r .

② 如果二项式的幂指数是偶数, 中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数, n ? 1 是奇数,展开式共有 n ? 1 项, 中间两项的二项式系数相等并且最大,即当 n 是偶数时, 中间一项,即: 第 项的二项式系数最大,为 ;当 n 是奇数时,n+1 是偶数,展开式共有 n+1 项,中间两项,即第 项及每 项,它们的二项式系数最大,为 . ③ 二项式系数的和等于 ,即 . ④ 二项展开式中,偶数项系数和等于奇数项的系数和= 即 . 【方法回顾】 例 1. 7 个排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头, (2)甲不排头,也不排尾, (3)甲、乙、丙三人必须在一起, (4)甲、乙之间有且只有两人, (5)甲、乙、丙三人两两不相邻, (6)甲在乙的左边(不一定相邻) , (7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序, 解答:分析:(1)有特殊元素或特殊位置优先考虑; (2)元素必须相邻---捆绑法; (3)元素 不相邻---插空法(4)元素有顺序限制---除序法.
6 6 (1)甲固定不动,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A6 ? 720 种; 6 1 1 6 (2)甲有中间 5 个位置供选择,有 A5 ,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A5 A6 ? 3600 种; 3 (3)先排甲、乙、丙三人,有 A3 ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当于 5 人 5 3 5 的全排列,即 A5 ,则共有 A5 A3 ? 720 种; 2 2 (4)从甲、乙之外的 5 人中选 2 个人排甲、乙之间,有 A5 ,甲、乙可以交换有 A2 , 2 2 4 把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于 4 人的全排列,则共有 A5 A2 A4 ? 960 种; 4 (5)先排甲、乙、丙之外的四人,有 A4 ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排 3 3 4 这五个空位,有 A5 ,则共有 A5 A4 ? 1440 种; 7 (6)不考虑限制条件有 A7 ,甲在乙的左边(不一定相邻) ,占总数的一半,即

1 7 A7 ? 2520 2

~ 210 ~

种;
4 (7)先在 7 个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有 A7 ,留下三个空位,甲、乙、丙三人按 4 从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即 A7 ? 840

例 2. 11 名工人中, 5 人只能当钳工, 人只能当车工, 在 有 4 另外 2 人能当钳工也能当车工。 现从 11 人中选出 4 人当钳工,4 人当车工,问共有多少种不同的选法? 解答:以两个全能的工人为分类的对象,考虑以他们当中有几个去当钳工分为以下几类:
2 4 第一类:这两个人都去当钳工,有 C5 C4 ? 10 种; 3 3 第二类:这两人有一个去当钳工,有 C5 C5 ? 100 种; 4 4 第三类:这两人都不去当钳工,有 C5 C6 ? 75 种.

因而共有 185 种.

1 ? ? 3.已知 ? x ? ? 的展开式中前三项的系数成等差数列. 2 x? ?
(1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项.

n

1 1 2 1 ? Cn ? 2 ? ? Cn , 4 2 即 n2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n ? 8 或 n ? 1 (舍去) .
0 解答: (1)由题设,得 Cn ?

1 r ?1 ?1 r ? 2r C8 ? 2r ?1 C8 ? (2)设第 r ? 1 的系数最大,则 ? 1 ? C r ? 1 C r ?1 ? 2r 8 2r ?1 8 ?
1 ? 1 ? 8 ? r ≥ 2(r ? 1) , ? 即? 解得 r ? 2 或 r ? 3 . ?1 ≥ 1 . ? 2r 9 ? 1 ?
所以系数最大的项为 T3

? 7 x5 , T4 ? 7 x 2 .

9

说明:掌握二项式定理,展开式的通项及其常见的应用.

~ 211 ~

74.计数原理
【基础训练】 1.小凡同学有课外参考书若干本,其中有 5 本不同的外语书,4 本不同的数学书,3 本不同 的物理书, 他欲带参考书到图书馆阅读。1) ( 若他从这些参考书中带一本去图书馆, 有_______ 种不同的带法. (2)若带外语、数学、物理参考书各一本,有_______种不同的带法. (3) 若从这些参考书中选 2 本不同学科的参考书带到图书馆,有______种不同的带法. 2.在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位数共有_______个. 3.将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有_________种. 4.从集合{1,2,3,?,10}中,选出由 5 个数组成的子集,使得这 5 个数中的任何两个数 的和不等于 11,这样的子集共有________个. 5.乘积 (a1 ? a2 ? a3 )(b1 ? b2 ? b3 ? b4 )(c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ) 的展开式中有______项. 6.设坐标平面内有一质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向正方向、负方向跳一个单位, 经过 5 次跳动,质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处,则不同的运动方法共有_____种. 【例题分析】 例1.在一次考试中,要求学生做试卷中 10 个考题的 6 个(只允许做 6 道题) ,并且要求 至少包含后 5 题中的 3 道题,问:考生有多少不同的选取方法?

例2.给程序模块命名,需要用 3 个字符,其中首字符要求用字母 A ~ G 或 U ~ Z ,后两 个要求用数字 1 ~ 9 .问最多可以给多少个程序命名?

~ 212 ~

例 3 . 已 知 f

是 集 合 M ? ?a, b, c, d ?

到 集 合 N ? ?0,1,2? 的 映 射 ,

f ?a ? ? f ?b? ? f ?c? ? f ?d ? ? 4 ,则不同的映射有多少个?

例 4.已知直线 ax ? by ? c ? 0 中, a , b , c 是取自集合 ?? 3,?2,?1,0,1,2,3?中的 3 个不同 的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么这样的直线最多有多少条?

【拓展提升】 例 5.将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能 种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种?

~ 213 ~

75.排列与组合(1)
【基础训练】 1.一个乒乓球队里有男队员 5 人,女队员 4 人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打, 共有 种不同的选法.
3 4 2.已知 A2n ? 2 An?1 ,则 logn 25 的值为_________.

3.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则不 同的选修方案共有________种. 4.在 1、2、3、4、5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的 共有______ 个. 5. 以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有_________个. 6.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“ ???????0000 ”到 “ ???????9999 ”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ” 的一律作为“优惠卡” ,则这组号码中“优惠卡”的个数为 . 【例题分析】 例 1.解下列各题:
1 2 3 n (1)化简 A1 ? 2 A2 ? 3A3 ? ? ? nAn ; 3 3 ?1 3 17 (2)计算 C13n?n ? C12n?n ? C11n?2 ? ? ? C2n?n ; ?n
m m C n ?1 C n C m?1 m ? ? n ,求 Cn?1 ; 6 14 21

(3)已知

例 2.假设在 100 件产品中有 3 件是次品,从中任意抽取 5 件,求下列抽取方法各多少种? (1)没有次品; (2)恰有两件是次品; (3)至少有两件是次品
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~ 214 ~

例 3.某年级开设语文、数学、政治、英语、数学、物理、化学和体育七门课程,满足下列 条件的课程表有多少种? (1)一天开设七门不同的课程,其中体育不排第一节,也不排第七节. (2)一天开设不同的四门课程,其中体育不排第一节也不排第四节.

例 4.已知平面 ? // ? ,在 ? 内有 4 个点,在 ? 内有 6 个点. (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面,最多可作多少个不同平面? (2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥? (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积?

【拓展提升】 例 5.男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中 各有多少种选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名; (2)至少有 1 名女运动员; (3)队长中至少有 1 人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.

~ 215 ~

76.排列与组合(2)
【基础训练】 1.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排 在两端,不同的排法共有_________种. 2.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成,如果第一棒火炬 手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递 方案共有 种. 3.在奥运选手选拔赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在 1、2、 3、 5、 7、 八条跑道的奇数号跑道上, 4、 6、 8 则安排这 8 名运动员比赛的方式共有 种. 4.如图所示,用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜 色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有 种. 5.某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的 8 种,1 元 1 本的 3 种.小张用 10 元钱 买杂志(每种至多买一本,10 元钱刚好用完),则不同买法的种数是__________. 6. 某校开设 9 门课程供学生选修, 其中 A, B, C 三门由于上课时间相同, 至多选一门, 学校规定每位同学选修 4 门,共有 种不同选修方案.

【例题分析】 例 1. 4 男 3 女坐成一排 (1)共有多少种不同的排法? (2)某人必须在中间,有多少种不同的排法? (3)某两人只能在两端,有多少种不同的排法? (4)某人不在中间,也不在两端,有多少种不同的排法? (5)甲乙两人必须相邻,有多少种不同的排法? (6)甲乙两人不相邻,有多少种不同的排法? (7)甲乙两人必须相隔 1 人,有多少种不同的排法? (8)4 男必须相邻,有多少种不同的排法? (9)3 女必须互不相邻,有多少种不同的排法? (10)4 男不在两端,有多少种不同的排法? (11)甲在乙左边,有多少种不同的排法? (12)4 男不等高,按高矮顺序排列,有多少种不同的排法? (13)男女相间而排,有多少种不同的排法? (14)若此 7 人坐两排,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不同的排法?

~ 216 ~

例 2.用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数 (1)可以组成多少个不同的四位数?(2)可以组成多少个不同的四位偶数?(3)可以组 成多少个能被 25 整除的四位数?(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一列数, 问第 85 个数是什么?

例 3.六本不同的书,按下列要求,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲3 本,学生乙2本,学生丙1本; ⑵分给甲、乙、丙3人,其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本; ⑶分给甲、乙、丙3人,每人2本; ⑷分成3堆,一堆3 本,一堆2 本,一堆1 本; ⑸分成3堆,每堆2 本; ⑹分给分给甲、乙、丙3人,其中一人4本,另两人每人1本; ⑺分成3堆,其中一堆4本,另两堆每堆1本
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例 4.将 4 个编号为 1,2,3,4 的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子中 (1)有多少种放法? (2)每盒至多一球,有多少种放法? (3)恰好有一个空盒,有多少种放法? (4)每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法? (5)把 4 个不同的小球换成 4 个相同的小球,恰有一个空盒,有多少种放法? (6)把 4 个不同的小球换成 20 个相同的小球, 要求每个盒内的球数不少于它的编号数, 有多 少种放法?

【拓展提升】 例 5.有 6 个人,穿红、黄、蓝 3 色衣服的各有 2 人,他们排成一排. (1) 若同种颜色衣服的人必须排在一起,共有多少种不同的排法? (2) 要求穿同种颜色衣服的人不能相邻,共有多少种不同的排法?

~ 217 ~

77.二项式定理
【基础训练】
1 2 n 0 1 2 n 1. 如果 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? ?? 2n Cn ? 2187 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn =_______.

2.若 ?1 ? x ?

n ?1

的展开式中含 x

n ?1

的系数为 an ,则

1 1 1 ? ? ? ? 的值为 a1 a2 an



3.在 (1 ? x) n (n 为正整数 ) 的二项展开式中,奇数项的和为 P ,偶数项的和为 Q ,则

(1 ? x 2 ) n 的值为________. 4. 1919 除以 5 的余数为________.
5. (a ? b ? c) 9 的展开式中 a 2 b 3 c 4 的系数是________.

? 1? 6.在 (1 ? 2 x ) ?1 ? ? 的展开式中常数项为________. ? x?
2

8

【例题分析】

1 ? ? 例 1. (1)求 ? x 2 ? ? 的展开式中的常数项; 2x ? ?
?a x? 9 3 (2)已知 ? ? ? 的展开式中 x 的系数为 4 ,求常数 a 的值; ?x 2? ? ?
(3)求 x ? 3x ? 2 的展开式中含 x 的项.
2

9

9

?

?

5

例 2.若 ( x ?

1 2 x
4

) n 展开式中前三项系数成等差数列,求:

(1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中所有含 x 的有理项; (3)展开式中系数最大的项.

~ 218 ~

例 3.设 (1 ? 2x) 5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,求 (1) a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值; (2) a1 ? a3 ? a5 的值; (3) | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? | a4 | ? | a5 | 的值.

例 4.利用二项式定理求证: 3n ? ?n ? 2? ? 2 n?1 n ? N ? , n ? 2 .

?

?

【拓展提升】 例 5.设 m, n ? N , m ? 3, n ? 3 , f ( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)n . (1)当 m ? n 时, f ( x ) 展开式中 x 的系数是 20,求 n 的值;
2

(2)利用二项式定理证明:
k ? (?1)k ?1 kCnk ? ? (?1)k ?1 kCm ? 0 . k ?1 k ?1 n m

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78.本章回顾
【基础训练】 1.某城市的街道如图,某人要从 A 地前往 B 地,则路程最 短的走法有____________种. 2.在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少 有 1 件次品的不同取法的种数是_________________.

?x 1 ? 3.在 ? ? 3 ? 的展开式中的常数项是_________. x? ?2
4.从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、 乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有____________种. 5.某班举行联欢会,原定的五个节目已排出节目单,演出前又增加了两个节目,若将这两 个节目插入原节目单中,则不同的插法总数为_____________. 6.已知 (3x ? 1) 7 ? a7 x 7 ? a6 x 6 ? ......? a1 x ? a0 ,则 a0 ? a2 ? a4 ? a6 = .

8

7.某单位有 7 个连在一起的停车位,现有 3 辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的 4 个空车位连在一起,则不同的停放方法有 【典型例题】 例 1. 6 个人坐在一排 10 个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4 个空位只 有 3 个相邻的坐法有多少种?(3) 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种? 种.

例 2.现有印着 0,l,3,5,7,9 的六张卡片,如果允许 9 可以作 6 用,那么从中任意抽 出三张可以组成多少个不同的三位数?

例 3. 有 6 本不同的书: (1)全部借给 5 人,每人至少 1 本,共有多少种不同的借法? (2)全部借给 3 人,每人至少 1 本,共有多少种不同的借法?

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例 4. 已知二项式 ? x ?

? ?

2? , n ? N ? ? 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的 2 ? ? x ?

n

比是 10:1, (1)求展开式中各项的系数和; (2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项.

【拓展提升】 例 5.高二(8)班 63 人演出大合唱,站成三排,每排 21 人,问女领唱在前排,班长在前 排中间,文娱班委站在班长旁边,两个高个子站在最后一排有多少种不同排法?

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