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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件:专题1 第4讲 转化与化归思想

时间:2015-02-01


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第四讲 转化与化归思想

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1.转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用 某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种

数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为

简单的问题,将
难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通 过变换转化为已解决的问题.

2.转化与化归的常见方法
(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本 图形问题.
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(2)换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等, 把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问 题. 关系,通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价问题,以达 到化归的目的. (5)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊

(3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)

化后的问题的结论适合原问题.
(6)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决 的问题.
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(7)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转化方 法的一个重要途径. (8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于探求. (9)参数法:引进参数,使原问题转化为熟悉的问题进行解决. (10)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结果看 作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通 过解决全集U及补集?UA使原问题获得解决,体现了正难则反的 原则.

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角度一
[ 例 1]

特殊与一般的转化

2 k 2 已知函数 y=f(x)的导函数为 f′(x)=ex+4ex-k

(其中 e 为自然对数的底数,k 为实数),且 f(x)在 R 上不是 单调函数,则实数 k 的取值范围是( A.(-∞,- 2) C.(0, 2) )

B.(- 2,0) D.( 2,+∞)

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[思维流程]

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1 解析:取 k=-2,则 f′(x)=e +ex+1>0,所以 f(x)在 R 上是单调增函数,所以 k=-2 不满足,可排除 A. ? 1? 3 ? x ?2 2x x e - + ? ? e - e + 1 2 4 1 ? ? x 取 k=2,则 f′(x)=e +ex-1= = ex ex >0,所以 f(x)在 R 上是单调增函数,所以 k=2 不满足,可 排除 D. 1 x 取 k=-1,则 f′(x)=e +4ex+2>0,所以 f(x)在 R 上 是单调增函数,所以 k=-1 不满足,可排除 B.故选 C. 答案:C
x

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特殊与一般的转化步骤
特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊 化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法.这类转化法一 般的解题步骤是: 第一步:确立需转化的目标问题:一般将要解决的问题作为转化 目标. 第二步:寻找“特殊元素”与“一般元素”:把一般问题转化为

特殊问题时,寻找“特殊元素”;把特殊问题转化为一般问题时,
寻找“一般元素”.
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第三步:确立新目标问题:根据新确立的“特殊元素”或者“一 般元素”,明确其与需要解决问题的关系,确立新的需要解决的

问题.
第四步:解决新目标问题:在新的板块知识背景下用特定的知识 解决新目标问题. 第五步:回归目标问题. 第六步:回顾反思:常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函 数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.对于选择题,当题设在

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普通条件下都成立时,用特殊值进行探求,可快捷地得到答案; 对于填空题,当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答

案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到
答案.

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1. 已知函数 A.[0,1] C.[-1,1]
? a? ? x f(x)=?e +ex? e ?(a∈R, ? ?

是自然对数的底数), )

在区间[0,1]上单调递增,则 a 的取值范围是( B.[-1,0] D.(-∞,-e2]∪[e2,+∞)

因为函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增, 取a 1 1 x x =-1, 则函数 f(x)=e -ex, 当 0≤x≤1 时, f′(x)=e +ex>0, 解析: 选C 所以函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增,排除 A,D;取 a=1, 2x e -1 1 1 x x 则函数 f(x)=e +ex,当 0≤x≤1 时,f′(x)=e -ex= ex ≥0,所以函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增,排除 B,选 C.
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角度二
[例 2]

等与不等的转化

已知函数 f(x)=3e|x|.若存在实数 t∈[-1,+∞),

使得对任意的 x∈[1,m],m∈Z 且 m>1,都有 f(x+t)≤3ex, 则 m 的最大值为________.

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[思维流程]

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解析:因为当 t∈[-1,+∞)且 x∈[1,m]时,x+t≥0, 所以 f(x+t)≤3ex?ex t≤ex?t≤1+ln x-x.


所以原命题等价转化为:存在实数 t∈[-1,+∞),使 得不等式 t≤1+ln x-x 对任意 x∈[1,m]恒成立. 令 h(x)=1+ln x-x(x≥1). 1 因为 h′(x)=x-1≤0,所以函数 h(x)在[1,+∞)上为 减函数. 又 x∈[1,m],所以 h(x)min=h(m)=1+ln m-m. 所以要使得对 x∈[1,m],t 值恒存在, 只需 1+ln m-m≥-1.
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因为 h(3)=ln
?1 3? 1 ? ? 3-2=ln?e· ?>ln =-1,h(4)=ln e e ? ?

4-3=

?1 4 ? 1 ? ? · ln?e e2?<ln e =-1,且函数 ? ?

h(x)在[1,+∞)上为减函数,所

以满足条件的最大整数 m 的值为 3. 答案:3

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函数、方程与不等式间的转化

函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不
等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式 的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以 将问题化繁为简,一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题, 从而求出参变量的范围.

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2.若存在正数 x 使 3x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,+∞) C.(0,+∞) B.(-2,+∞) D.(-1,+∞)

解析: 选 D 存在正数 x 使 3x(x-a)<1 成立?存在正数 1 1 x 使 a>x-3x成立,因为函数 f(x)=x-3x(x>0)在(0,+∞)上 1 单调递增,所以 f(x)>f(0)=-1,即函数 f(x)=x-3x的值域 为(-1,+∞),所以 a 的取值范围是(-1,+∞).
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角度三
[例 3]

正与反的转化
3

若对于任意 t∈[1,2],函数 g(x)=x

?m ? ? 2 +? 2 +2? ?x - ? ?

2x 在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数 m 的取值范围是 ________.

[思维流程]

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解析: g′(x)= 3x2+(m+ 4)x-2,若 g(x)在区间 (t,3)上总为单调函数,则① g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立. 2 2 2 由①得 3x +(m+4)x-2≥0, 即 m+4≥x-3x 当 x∈(t,3)时恒成立, ∴m+4≥ t -3t 恒成立,则 m+4≥-1, 即 m≥-5; 2 2 37 由②得 m+4≤x-3x 当 x∈(t,3)时恒成立,则 m+4≤ -9,即 m≤- . 3 3 37 ∴函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为- <m<-5. 3 ? 37 ? ? 答案:?- 3 ,-5? ? ? ?

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正与反的转化法
正难则反,利用补集求得其解,这就是补集思想,一种充 分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地,题目若出现 多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简 单,因此,间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题 中.

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3. 由命题“存在 x0∈R, 使 e|x0-1|-m≤0”是假命题, 得 m 的取值范围是(-∞,a),则实数 a 的取值是( A.(-∞,1) C. 1 B.(-∞,2) D. 2 )

解析:选 C 命题“存在 x0∈R,使 e|x0-1|-m≤0” 是假命题, 可知它的否定形式“任意 x∈R, 使 e|x-1|-m>0” 是真命题, 可得 m 的取值范围是(-∞, 1), 而 (- ∞ , a)与(- ∞,1)为同一区间,故 a=1.故选 C.

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角度四
[例 4]

主与次的转化

已知函数 g(x)=3x2-ax+3a-5 对满足

-1≤a≤1 的一切 a 的值,都有 g(x)<0,则实数 x 的取 值范围为________.
[思维流程]

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[解析] 令 φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1. 对-1≤a≤1,恒有 g(x)<0,即 φ(a)<0, ?φ?1?<0, ?3x2-x-2<0, ? ? 2 ? ? ∴? 即? 2 解得-3<x<1. ?φ?-1?<0, ?3x +x-8<0, ? 2 ? ? 故当 x∈?-3,1? ?时,对满足-1≤a≤1 的一切 a 的值, ? ? 都有 g(x)<0. ? 2 ? ? [答案] ?-3,1? ? ? ?

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主与次的转化法
合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在, 通过变换主元,起到了化繁为简的作用.在不等式中出现了两 个字母:x及a,关键在于该把哪个字母看成变量,哪个看成常 数.显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[-1,1] 内关于a的一次函数小于0恒成立的问题.

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4.设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数,若 f(1-ax- x2)≤f(2-a)对任意 a∈[-1,1]恒成立,求 x 的取值范围.
解:∵f(x)是 R 上的增函数, ∴1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].(*) (*)式可化为(x-1)a+x2+1≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. 令 g(a)=(x-1)a+x2+1.
?g?-1?=x2-x+2≥0, ? 则? 2 ? ?g?1?=x +x≥0,

解得 x≥0 或 x≤-1,

即实数 x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的 转化”等,应用时还应遵循以下五条原则:

1.熟悉化原则
将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于运用熟知的知识和经 验来解答问题. 2.简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题,通过对简单问题的解决,达

到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.

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3.和谐化原则
转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表 示的和谐统一的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某 种数学方法或符合人们的思维规律. 4.直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决. 5.正难则反原则

当问题正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的反面,设法从
问题的反面去探求,使问题获得解决,或证明问题的可能性.
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