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方程的根与函数的零点的一个新应用


方程的根与函数的零点的一个新应用 摘要:方程的根与函数的零点关系密切,联接着数学中两个重要 的内容:方程和函数。笔者们经过反复思考、讨论后,结合多年教学 实践,对高中数学里方程的根与函数的零点给出了一个新应用,旨在 抛砖引玉,与同仁切磋探讨。 关键词:函数 方程 根 零点 新应用 教材[1]中第 12 页的归纳中提到:一般地,我们可以用配方法求 抛物线的顶点坐标与对称轴。但是,细

心一点,笔者们结合多年教学 实践发现,对于初学者而言,用配方法求抛物线的顶点坐标的过程, 不但速度慢,而且很容易求错,对数学基础薄弱的学生,更是难上加 难。那我们就很自然要问:能不能有一种方法既能让学生轻松理解抛 物线的顶点坐标和对称轴为什么是那样的, 又能让学生熟练使用呢? 著名的数学家、教育家、中国科学院院士、曾任北京师范大学校长的 王梓坤教授说过:“解决问题,除了“从具体到抽象、从个别到一般” 的方法外,还可采用对称、类比、联想、移植、计算等方法。”本文 充分利用对称、类比、联想的方法,对方程的根与函数的零点 [2]这 个内容给出一个新的应用,顺利解决上述问题,供同仁参考。 教材[2]第 87 页提到:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数 有零点。很显然,在抛物线中, 。稍微思考一下,不难发现,其实抛 物线的顶点坐标就包含两点内容:一,对称轴;二,函数的最大(小) 值。我们知道:一方面,的图像与的图像只是沿轴上下移动个单位的 关系,所以与的对称轴一样。另一方面,当取最大(小)值时,也取 最大(小)值,并且求的最大(小)值与对应的的最大(小)值只相 差一个常数。所以只要求出的最大(小)值即可。综合上述分析,我 们分析的顶点坐标时,只需分析的对称轴以及最大(小)值即可。 因为函数的图像与轴有交点函数有零点,所以令,由于,所以轻 松解得图像与轴两个交点: , 。 不难观察出的对称轴为和的正中间, 即。 所以的对称轴为。而的最大(小)值即为把中的换成即可。对于所求 的的最大(小)值只需将的结果加一个常数即可。 至此,学生从图象上对抛物线就会有一个新的认识和新的理解 了, 而不是通过配方法死记顶点坐标和对称轴公式了。 在这篇文章中, 笔者们实际上是利用对称、类比、联想的方法,从几何的角度找到了 抛物线的顶点坐标以及对称轴, 这样对抛物线顶点坐标以及对称轴的 由来,学生会有一个非常直观的理解,并且在不知不觉中,我们也培 养和锻炼了学生的逻辑思维能力。 著名数学家、教育家、2009 年度国家最高科学技术奖得主谷超 豪院士曾说过:几何的内在逻辑性很强,是培养人的逻辑思维的最好 方式。笔者们通过对抛物线的几何分析,引出了高中数学里方程的根 与函数的零点的一个新的应用,旨在抛砖引玉,与同仁们一起探讨, 更好地培养学生的逻辑思维能力,而不是生搬硬套公式的能力。 参考文献 [1] 2009-03. [2] 2007-01. [3] 1989-06. 苏步青.谈谈怎样学好数学[M].1 版.上海: 上海教育出版社, 刘绍学.高中数学必修 1[M].2 版.北京:人民教育出版社, 李海东.数学九年级下册[M].2 版.北京:人民教育出版社,

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方程的根与函数的零点

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